幼儿园应急预案-马彩云

利用公式速解空间几何体的外接球半径
基础知识
三角形、矩形的外接圆半径为
r
，则
①
r
正三角形

②
r
直角三角形
3
a(a是边长)

3
a
2
b
2
斜边
(a和b是直角边)

22
③
r
矩形
a
2
b
2
对角线
 (a和b是长和宽)

22
④外接圆半径万能公式（正弦定理）
2r
abc


sinAsinBsinC

外接圆模型及方法
（1）汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）





图10-1
图10-2
图10-3

【探究】如图10- 1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可
以是任 意三角形）
C
1
C
1
C
1
A
1
O
2
A
1
A
1
O
2
O
B
1
O
2
O
B
1
B
1
O
C
C
C
A
O
1
A
O
1
B
A
O
1
B
B
第一步：确定球心
O
的位置，
O
1
是
ABC
的外心，则
OO
1

平面
A BC
；
第二步：算出小圆
O
1
的半径
AO
1r
，
OO
1

11
AA
1
h（
AA
1
h
也是圆柱的高）；
22
2
第三 步：勾股定理：
OA
2
O
1
A
2
O
1
O
2

R()r

R
【结论】各顶点都在球 面上,且有条棱垂直于底面,且垂点是顶点.
h
2
22
h
r
2
()
2
，解出
R

2
h
秒杀公式1 ：
R()
2
r
2
(
h
表示垂直于底面的棱长，
r
表示底面外接圆半径)
2

h
r

BAC120
，则◆ 例1 直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的各顶点都在同一球面上，若
ABACAA
1
2
,
此球的表面积等于 。
【秒解】
BC23，
2r
23h
2
4R()r
2
122
5
，
S20


hAA2
，,r2
1

2
sin120

AD2AB6< br>,则该球的◆ 例2 点
A,B,C,D
均在同一球面上，其中
ABC
是正三角形，
AD面ABC，
体积为

D


6
C

r

3
A
B
r
，
【秒解】
hAD6

◆ 例
33
h
4
a33
R()
2
r
2
9323
V

R
3
323


33
2
3
，，
3 已知
EAB
所 在的平面与矩形
ABCD
所在的平面互相垂直，
EAEB3,AD2,AEB 60

，则多面体
EABCD
的外接球的表面积为 。

【秒解】如图，可知
AEB
为正三角形，
r
33< br>a33

33
h
hAD2
，
R
2
()
2
r
2
4
，外接球的表面积
S4
R
2
16

.
AD面AEB，
2

E

3

2
A
D
3

3

C
B

（2）墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

【探究】长 方体的外接球直径
2Ra
2
b
2
c
2
，


c

2R

b

a

【结论】秒杀公式2：如以下四种情形的几何体，均可看成对应长方体的一部分，找三条两两垂直的线段 ，
直接用公式
(2R)abc
，即
2Ra
2
b< br>2
c
2
，求出
R

2222




图1





P
c
A
b
a
B
P
c
C
A
b
a
B
C
图2
P
P
O
2
c
C
A
b
a
B
c
C
B
b
a
A
图4
图3

◆ 例4 若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为
3
，则其外接球的表面积是
9


【秒解】
4R3339
，
S4< br>
R9


◆ 例5 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积 分别为
6
、
4
、
3
，那么它的外接球的表面积是
【秒解】三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为
a,b,c
（
a,b,c R

），则
22

ab12

2
22 22

bc8
，

abc24
，

a 3
，
b4
，
c2
，
(2R)abc29，
S4

R29

，

ac6


◆ 例6 已知某几何体的三视图如图所示，三视图 是腰长为
1
的等腰直角三角形和边长为
1
的正方形，则该
几何体外接 球的体积为






【秒解】
(2R)
2
a
2
b
2
c< br>2
3
，
R
2
3
34
3
4333
，
R
，
V

R


< br>，
4
2
3382

P


A
C

B

（3）对棱相等模型（补形为长方体）
【探究】三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（
ABCD
，ADBC
，
ACBD
）
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别 为
a,b,c
，
ADBCx
，
ABCDy
，
ACBDz
，列方程组，

a
2
b
2
 x
2

2
x
2
y
2
z
22222
22
，

bcy

(2R)ab c
2

c
2
a
2
z
2
< br>补充：
V
ABCD
abc
11
abc4abc
63
222
x
2
y
2
z
2第三步：根据墙角模型，
2Rabc
，
2
x
2
y
2
z
2
R
，
R
8
2
x
2
y
2
z
2
，求出
R
，
8

A


B
x
y
z
x
a
z
D
y
c
C
b
a
2
b
2
c
2
【结论】秒杀公式3：对棱相等的棱锥的外接球半 径：
R

8
◆ 例7 如图所示三棱锥
ABCD
，其中
ABCD5,ACBD6,ADBC7,
则该三棱锥外接球
的表面积为 .








【秒解】由条件可知，属于对棱相等的棱锥外接球问题，
a5,b6,c7
，
图12
a
2
b
2
c
2
55
R 
，外接球的表面积
S4

R
2
55
.
84

2
◆ 例8 正四面体的各条棱长都为
2
，则该正面体外接球的体积为
a
2
b
2
c
2
3

，外接球的表面【 秒解】这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，
abc2
，
R
84< br>积
S4

R
2
3

.

2
(4) 正棱锥模型
【结论】 棱锥各个顶点在球面上,顶点到底面的距离为h
,且顶点到底面的垂点为底面外接圆圆心,典型例
子为：正三棱锥,正四棱锥.
h
2
r
2
秒杀公式4：
R

2h






h
r
◆ 例9 已知正四棱锥的顶点都在同一个球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为
22
，则球的体积为
4
2
2
2
54
3
4
2
22
125

V

R
【秒解】
h4
，
r2
R

2423246

4
2
22

◆
例10
已知正三棱锥
SABC
及其正视图如图所示，则其外接球的半径为 33h
2
r
2
73
a232
h3
R 
【秒解】
ABC
边长为
23
，
r

332h6
，，
S


3
A
B
C

（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为
1
的球面上，其中底面的三个顶点
在该球的一个大圆上，则其外接球的半径为
3
3
h
2
r
2
1
【秒解】高
hr1
，底面外接圆的半径为
r1
，
R
2h
.< br>