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泰勒公式的几何意义及其表达式中n！的非唯一性

引言：泰勒公式（又称 泰勒中值定理）在高等数学中占有重
要的地位，一方面体现了复杂函数可以用多项式函数逼近的原
则，另一方面也反映了函数与高阶导数之间的关系[1]，在物理
学、化学等其他学科中也有广泛的应 用。但是目前普遍使用的高
等数学教材对该定理的证明过于追求简练[2]，对定理的解释不
够 清晰，导致学生的理解含糊不清，不能灵活使用，更不利于学
生解析思维的培养。
一、泰勒公式证明过程中存在的不足
高等学校多采用的高等数学教材中对泰勒公式的证明常采< br>用以下方法：为了近似表达函数f（x）在x点的值，先在x的
邻域内找一点x，然后构造一个含 有（x-x）的n次多项式的函
数，假设这两个函数从零阶直到n阶导数在x点的值分别相等[2]（而这个假设并非必须，详见下面的分析），再证明余项就是f
（x）与（x-x）的n次多项式的 差[2]；或直接通过柯西中值定
理证明[3]，这样的证明无疑是简洁的，缺点是几何意义模糊，掩盖了泰勒公式中值的含义，也没有体现出解断、分析从而逼近
这一重要的数学思想，更重要的是会 使人误解泰勒公式中n！为
唯一、必然的选择。不少教师对泰勒公式的几何意义的讨论[4]，
对学生更好地理解泰勒公式有极大的帮助，但是从几何意义上推
演泰勒公式的过程中，常常会不假思索地 利用本段提到的假设，

仍然会使人误解泰勒公式中的系数n！是唯一的选择。
二、泰勒公式的几何意义及n！的非唯一性
三、结论
本文详细描 述了泰勒公式几何意义，结合拉格朗日中值定理
得出泰勒公式中与高阶导数对应的分母取值n！并不是唯 一的选
择，而是为了满足一个并非普遍性的假设的需要，同时给出了泰
勒公式的其他表达形式； 并且还能清楚的看出，泰勒公式是拉格
朗日中值定理在原函数（即零阶导函数）、一阶导函数、二阶导< br>函数、一直到n+1阶导函数中的应用，这样泰勒公式又称为泰勒
中值定理的缘由也就清楚了；将 函数解断、分析、从而达到逼近
的方法也较好的呈现出来。