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§12.3 几何概型
考情考向分析 以理解几何概型的概念、概率公式为 主，会求一些简单的几何概型的概率，
常与平面几何、线性规划、不等式的解集等知识交汇考查．在高考 中常以填空题的形式考查，
难度为中档．


1．几何概型
设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区
域D内随机地取 一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视
为恰好取到区域D内的某个指定 区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、
面积、体积等)成正比，与d的形状和位置 无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何
概型．
2．几何概型的概率计算公式
一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，
则事件A 发生的概率P(A)＝
d的测度
.
D的测度
3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
4．随机模拟方法
(1)使用计 算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近
似值的方法就是模拟方法 ．
(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器
或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随
M
机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f
n
(A)＝作为所求概率的近似值．
N

题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )

< br>(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的
每一 点被取到的机会相等．( √ )
(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ )
(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ )
(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × )
1
(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝.( × )
9
题组二 教材改编
2．[P110习题T1]在线段[0,3]上任投一点，则此 点坐标小于1的概率为________．
1
答案
3
1
解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为.
3
3．[P116习题T6]有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在
阴影 部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是________．

答案 ①
3221
解析 ∵P(A)＝
，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
8863
∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．


0≤ x≤2，
4．[P120复习T10]设不等式组

表示的平面区域为D，在区域D内 随机取一个点，

0≤y≤2


则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．
答案
4－π

4
解析 如图所示，

正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域 D，且区域D的面积为4，而阴影部分
表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部 分的面积为4－π.因此满

4－π
足条件的概率是
.
4

题组三 易错自纠
5
5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝______ __.
6
答案 3
解析 由|x|≤m，得－m≤x≤m.
2m5
当066
m－－2
5
当2 66
6．在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于点M，则AM>AC 的
概率为________．
1
答案
6
解析 设事件D为“作射线CM，使AM>AC”．
在AB上取点C′使AC′＝AC，

因为△ACC′是等腰三角形，
180°－30°
所以∠ACC′＝＝75°，
2
事件D发生的区域μD＝90°－75°＝15°，
构成事件总的区域μΩ＝90°，
μD
15°1
所以P(D)＝＝＝
.
μΩ
90°6

题型一 与长度、角度有关的几何概型
1．某公司 的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐
班车，且 到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．

1
答案
2
解析 如图所示，画出时间轴．

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，
10＋10
1
才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，得所求概率P＝ ＝
.
402
2.如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，以A为圆心， 1为半径作四分之一个圆弧
DE
，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点 的概率为________．

1
答案
3
解析 因为在∠DA B内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当
射线AP与线段BC有公共点 时，射线AP落在∠CAB内，则区域H为∠CAB，所以射线AP
∠CAB
30°1
与线段BC有公共点的概率为＝＝
.
∠DAB
90°3
3．在区间[0,5 ]上随机地选择一个数p，则方程x
2
＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为
_ _______．
2
答案
3
解析 方程x
2
＋2px＋3p－2＝0有两个负根，


则有

x＋x＜0，


xx＞0，
Δ≥0，
12
12



即

－2p＜0，


3 p－2＞0，
4p
2
－43p－2≥0，


2
解得p≥2或＜p≤1，又p∈[0,5]，
3
110
3＋
33
2
则所求概率为P＝＝＝
.
553
思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法

求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转 化为长度(角
度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区
域(长度或角度)．

题型二 与面积有关的几何概型

命题点1 与平面图形面积有关的问题
典例 (2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD内 的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中
的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在 正方形内随机取一点，则此点取自
黑色部分的概率是________．

π
答案
8
解析 不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S
正方形
＝4.
1
π
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S
黑
＝ S
白
＝
S
圆
＝，所以
22
π
S
黑
2
π
由几何概型知，所求概率P＝＝＝
.
S
正方形
48
命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题
x≤0，


典例 由不等式组

y≥0，


y－x－2≤0

< br>
x＋y≤1，
确定的平面区域记为Ω
1
，由不等式组
确定的平

x＋y≥－2


面区域记为Ω
2
，若在Ω
1
中随机取一点，则该点恰好在Ω
2
内的概率为______．
7
答案
8
解析 如图，平面区域Ω
1
就是三角形区域O AB，平面区域Ω
2
与平面区域Ω
1
的重叠部分就
是区域OACD，

13
－，

，故由几何概型的概率公式，得所求概率 易知C

22

1
2－
S
四边形OACD
S
△
OAB
－S
△
BCD
4
7
P＝
＝＝＝< br>.
28
S
△
OAB
S
△
OAB
思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必 要时可根据题意构造两个
变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
y≤x，


跟踪训练 (1)设不等式组

y≥－x，


2x－y－4≤0
< br>所表示的平面区域为M，x
2
＋y
2
≤1所表示的平面
区域为 N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为________．
(2)如图，在 矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)
x＋1，x≥ 0，


＝

1
的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点 ，则此点取自阴影部分的概
－x＋1，x＜0


2
率为_____ ___．


3π
1
答案 (1) (2)
644
解析 (1)画出两不等式组表示的平面区域，则图中阴影部分为两不等式组的公共部分 ，易
44
14216
，－

，OA⊥OB，平面区域M的面积S△
AOB
＝
×
知A(4,4)，B

×42＝
，阴影部分
3

3
233
π
4
3π
1< br>π
S
的面积S＝
×π×1
2
＝
.由几何概型的概率计 算公式，得P＝
＝＝
.
44
S
△
AOB
1664
3

3
2
113
(2)由图形知C(1,2 )，D(－2,2)，∵S
四边形
ABCD
＝6，S
阴
＝×3×1＝ ，∴P＝＝.
2264
题型三 与体积有关的几何概型
典例 (1)已知正三棱锥 S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得
1
V
P—ABC
S—ABC
的概率是________．
2
7
答案
8
解析 当P在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，
由几何概型知，
17
P＝1－
＝
.
88
(2)如图，正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，在正方体内 随机取点M，则使四棱锥
1
M—ABCD的体积小于的概率为________．
6

1
答案
2
解析 过点M作平面RS∥平面AC，则 两平面间的距离是四棱锥M—ABCD的高，显然点
M在平面RS上任意位置时，四棱锥M—ABCD的 体积都相等．若此时四棱锥M—ABCD的
11111
体积等于，只要M在截面以下即可小于， 当V
M—ABCD
＝
时，即
×1×1×h＝
，解得h
666 36
1
1×1×
2
11
＝，即点M到底面ABCD的距离，所以所求 概率P＝＝
.
2
1×1×1
2
思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空

间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
跟踪训练 如 图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的
底面圆周与鱼缸的底面正方 形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入
一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外 面的鱼吃到”的概率是________．

π
答案 1－
4
解析 鱼缸底面正方形的面积为2
2
＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“ 鱼食能被鱼缸内在圆
π
锥外面的鱼吃到”的概率是1－
.
4

几何概型中的“测度”
典例 (1)在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上 任取一点M，则∠CAM<30°的概率
是________．
1
(2)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为________．
2
错解展示：
(1)∵∠C＝90°，∠CAM＝30°，
30°1
∴所求概率为
＝
.
90°3
11
(2) 当两点之间线段长为
时，占长为1的线段的一半，故所求概率为
.
22
11
错误答案 (1) (2)
32
现场纠错
解析 (1)∵点M在直角边BC上是等可能出现的，
∴“测度”是长度．设直角边长为a，
3
a
3
3
则所求概率为＝
.
a3
(2)设任取两点所表示的数分别为x，y，
则0≤x≤1，且0≤y≤1.

1
由题意知|x－y|<，所以所求概率为
2
111
1－2×××
222
3
P＝
＝
.
14
答案 (1)
33
(2)
34
纠错心得 (1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分
布等可能．
(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积．


1.如图 所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落
1
在阴影区 域内的概率是，则阴影部分的面积是________．
3

答案 3π
S1
解析 设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·3
2
＝9π.由几 何概型的概率，得＝，
S′
3
则S＝3π.
2．设复数z＝(x－1)＋y i(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为________．
11
答案 －
4
2π
解析 由|z|≤1可得(x－1)
2
＋y
2
≤1，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，满足y≥x
的部分为如图阴影部分所示，由 几何概型概率公式可得所求概率为
11
π
1
π×1
2
－< br>×1
2
－
4242
11
P＝
＝＝－
.
π
4
2π
π×1
2

→→→
3．已知P是△ABC所在平面内一点，PB＋PC＋2PA＝0，现将一粒黄豆随机撒 在△ABC内，
则黄豆落在△PBC内的概率是________．
1
答案
2
解析 以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，
→→→→→→
则PB＋PC＝PD，因为PB＋PC＋2PA＝0，
→→→→→
所以PB＋PC＝－2PA，得PD＝－2PA，
1
由此可得， P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC距离的，
2
1所以S
△
PBC
＝
S
△
ABC
，
2
S
△
PBC
1
所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PB C内的概率为＝
.
S
△
ABC
2
4．已知在△ABC中， ∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为
钝角三角形的概率为_ _______．
1
答案
2
解析 如图，当BE＝1时，

∠AEB为直角，则当点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则当点D在线段CF(不包含C，F点)上时，△ABD为钝角三角形，
1 ＋2
1
所以△ABD为钝角三角形的概率为＝
.
62
1
x ＋

≤1”发生的概率为________．5．在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事 件“－1≤
log
1



2

2
3
答案
4
1
11
x＋

≤1，得≤x＋≤2， 解析 由－1≤< br>log
1


2

22
2

3
得0≤x≤
.
2
由几何概型的概率计算公式，得所求概率
3
－0
2
3
P＝
＝
.
2－0
4
6．在棱长为2的正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，点O为底面ABCD的中心，在正方体
ABCD—A
1
B< br>1
C
1
D
1
内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概 率为________．
π
答案 1－
12
解析 记“点P到点O的距离大于1”为A，
14
2
3
－
×
π× 1
3
23
π
P(A)＝
＝1－
.
2
3< br>12
7．(2017·江苏)记函数f(x)＝6＋x－x
2
的定义域为D.在 区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D
的概率是________．
5
答案
9
解析 设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D”为事件A，由6＋x－x
2
≥0，解
得－2≤x≤3，
∴D＝[－2,3]．
如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D的长度为5，

5
∴P(A)＝.
9

S
8. 如图，在面积为S的矩形ABCD内任取一点P，则△PBC的面积小于的概率为________．
4

1
答案
2
解析 如图，设△PBC的边BC上的高 为PF，线段PF所在的直线交AD于点E，当△PBC
S111
的面积等于时，
BC ·PF＝BC·EF，所以PF＝EF.
4242

S
过点P作GH平行于 BC交AB于点G，交CD于点H，则满足条件“△PBC的面积小于
”
4
的点P落在 矩形区域GBCH内．
SS
设“△PBC的面积小于
”为事件A，则构成事件A的区 域的面积为
，而试验的全部结果
42
S
2
1
所构成的区域面 积为S，所以由几何概型概率的计算公式得P(A)＝＝
.
S2
S1
所以△PBC的面积小于的概率是
.
42
9.如 图，在长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱
锥A—A
1
BD内的概率为_ _____．

1
答案
6
1
解析 因为
V< br>A－A
1
BD
＝V
A
1
－ABD
＝AA1
×S
△
ABD

3
11
＝
×AA< br>1
×S
矩形ABCD
＝
V
长方体
，
66< br>故所求概率为
V
AA
1
BD
V
长方体
1< br>＝
.
6

x
2
y
2
10．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m和n，则方程
2
＋
2
＝1表示焦点在x轴
mn
上的椭圆的概率是________．
1
答案
2
x
2
y
2
解析 ∵方程
2
＋
2
＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.
mn

如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分 的概率即为所求
的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，
1
∴所求的概率为P＝.
2
11．在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a，b，求函数f(x)＝x
2
＋2ax－b
2
＋π
2
有零点
的概率．
解 由 函数f(x)＝x
2
＋2ax－b
2
＋π
2
有零点，可得Δ ＝(2a)
2
－4(－b
2
＋π
2
)≥0，整理得a
2
＋
b
2
≥π
2
，如图所示，(a，b)可看成坐标平面 上的点，

试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π} ，其面积S
Ω
＝(2π)
2
＝4π
2
.
事件A表 示函数f(x)有零点，所构成的区域为M＝{(a，b)|a
2
＋b
2
≥π
2
}，即图中阴影部分，
其面积为S
M
＝4π
2
－ π
3
，
23
S
M
4π
－π
π
故 P(A)＝＝＝1－
.
2
S
Ω
4π
4
12．已知 向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．
(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六 个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷
两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率；
(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．
解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，

由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，
所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个．
31
故满足a·b＝－1的概率为＝
.
3612
(2) 若x，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}．

满足a·b<0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}．
画出图象如图所示，矩形的面积为S
矩形
＝25，
1
阴影部分的面积为S
阴影
＝25－
×2×4＝21，
2
21
故满足a·b<0的概率为
.
25

13 ．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形
OAB内随机取 一点，则此点取自阴影部分的概率是________．

2
答案 1－
π
解析 设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连结OC，
DC.

不妨令OA＝OB＝2，

则OD＝DA＝DC＝1.
π
1
π
1

在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1
＝
＋
×1×1－


4
－
2
×1×1

＝1，
42
所以整体图形中空白部分面积S
2
＝2.
1
又因为S
扇形OAB
＝
×π×2
2
＝π， 4
π－2
2
所以阴影部分面积为S
3
＝π－2.所以P＝
＝1－
.
ππ
x＋y－8≤0，


14．已知关于x 的二次函数f(x)＝ax
2
－4bx＋1.设点(a，b)是区域

x>0 ，
内的一点，


y>0
求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上 是增函数的概率．
2b
解 ∵函数f(x)＝ax
2
－4bx＋1的图象的对称轴为直线x＝，
a


要使f(x)＝ax
2
－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，
2b
当且仅当a>0且
≤1，
a
即2b≤a.
如图所示，事件的全部结果所构成的区域为



a＋b－8≤0 ，

a>0，

a，b



< br>
b>0






，构成所求事件的区域为三角形部分(阴影部分)．



a＋b－8＝0，
168

，
由

a
得交点坐标为

33

，

< br>
b＝
2
，
18
×8×
23
1
故所 求事件的概率为P＝＝
.
13
×8×8
2

15．(2017·江苏阜宁中学质检)如图，在矩形区域ABCD的A，C 两点处各有一个通信基站，
假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域 内无其他信号来
源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率为__ ______．

π
答案 1－
4
π
2－
2
ππ
解析 由题意知，有信号的区域面积为×2 ＝
，矩形面积为2，故无信号的概率P＝＝
422
π
1－.
416．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是
等可能 的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等
待码头空出的概率．
解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻 分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空
出”，则0≤x≤24，0≤y≤24，要使两船 都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1
h以上或乙比甲早到达2 h以上，即y－x≥1或 x－y≥2.故所求事件构成集合A＝{(x，y)|y
－x≥1或x－y≥2，x∈[0,24]，y ∈[0,24]}．

A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．
所求概率为P(A)＝

Ω的面积
11
24－1
2×
＋24－2
2
×
22
＝

2
24
506.51 013
＝＝
.
5761 152

A的面积