空间日志伤感-旁观者清

平方差公式(二)

●教学目标
(一)教学知识点
1.了解平方差公式的几何背景.
2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.
3.体会符号运算对证明猜想的作用.
(二)能力训练要求
1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力.
.

2.培养学生观察、归纳、概括等能力.

(三)情感与价值观要求
1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣.
2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美.
●教学重点
平方差公式的几何解释和广泛的应用.
●教学难点
准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能.
【

●教学方法

启发——探究相结合
●教具准备
一块大正方形纸板，剪刀.
投影片四张
第一张：想一想，记作(§1.7.2 A)
第二张：例3，记作(§1.7.2 B)
第三张：例4，记作(§1.7.2 C)
]

第四张：补充练习，记作(§1.7.2 D)

●教学过程

Ⅰ.创设问题情景，引入新课
［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.
这个正方形的面积是多少
［生］a
2
.
［师］请你用手中的剪刀 从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方
形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形( 如上图阴影部分)，你能表示出阴
影部分的面积吗

。

图1－23

［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面 积
为(a
2
－b
2
).
［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗同学们可在小组内交流讨
论.
(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)
［生］老师，我们拼出来啦.
［师］讲给大伙听一听.
［生］我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿 上图虚线剪
开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a
－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和
小长方形 的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－
24所示的图形(阴影部分 )，它的长和宽分别为(a+b),(a－b),面积为(a+b)(a－b).

!

图1－24

［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么
［生］这两部分面积应该是相等的 ，即(a+b)(a－b)=a
2
－b
2
.
［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.
［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与 多项式相乘的法则验证了平方
差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙 了.
［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.
［师］由 此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方
差公式，也许你会发现它更“神奇”的 作用.
Ⅱ.讲授新课
》

［师］出示投影片(§1.7.2 A)

想一想：
(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点

79

1113

7981




8080

88

12 12
(2)从以上的过程中，你发现了什么规律
(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗
［生］(1)中算式算出来的结果如下

7963

111 3143

79816399



8864

1212144

80806400…

［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.

［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢
［生］我猜想是.我又找了几个例子如：


133

99101999 9

2426624






224100100100002525625

［师］你能用字母表示这一规律吗
［生］设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为 a－1,a+1,则有(a+1)(a－
1)=a
2
－1.
［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.
［生］可是，我有一个疑问，a必须是一个自然数，还必须大于2吗
—

(同学们惊讶，然后讨论)

［生］a可以代表任意一个数.
［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡.
［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时
有什么用途呢
(陷入沉思)
［生］例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为(30－1)(30+ 1)=30
2
－
1=900－1=899.
［师］的确如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”
的方法，太好了.
我们不妨再做几个类似的练习.
…

出示投影片(§1.7.2 B)

［例3］用平方差公式计算：
(1)103×97 (2)118×122
［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新
的奥妙.
［生］我发现了，103=100+3,97=100－3,因此103×97=(100+3)(100－3) =10000
－9=9991.太简便了！
［生］我观察也发现了第(2)题的“奥妙”.
118=120－2,122=120+2
118×122=(120－2)(120+2) =120
2
－4=14400－4=14396.

(

［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.

［师］我们再来看一个例题(出示投影片§1.7.2 C).
［例4］计算：
(1)a
2
(a+b)(a－b)+a
2
b
2
;
(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3).
分析：上面两个小题，是整式的混合 运算，平方差公式的应用，能使运算简
便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.
解：(1)a
2
(a+b)(a－b)+a
2
b
2

=a
2
(a
2
－b
2
)+a
2
b
2

【

=a
4
－a
2
b
2
+a
2
b
2

=a
4

(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)
=(2x)
2
－5
2
－(4x
2
－6x)
=4x
2
－25－4x
2
+6x
=6x－25
注意：在(2)小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们
是一个整体.
［例5］公式的逆用
《

(1)(x+y)
2
－(x－y)
2
(2)25
2
－24
2

分析：逆用平方差公式可以使运算简便.
解：(1)(x+y)
2
－(x－y)
2

=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］
=2x·2y
=4xy
(2)25
2
－24
2

=(25+24)(25－24)
！

=49

Ⅲ.随堂练习
1.(课本P
32
)计算
(1)704×696
(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
(3)x(x－1)－(x－
1
)(x+
1
)
33
(可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠)
解：(1)704×696=(700+4)(700－4)
^

=490000－16=489984

(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
=(x
2
－4y
2
)+(x
2
－1)
=x
2
－4y
2
+x
2
－1
=2x
2
－4y
2
－1
(3)x(x－1)－(x－
1
)(x+
1
)
33
=(x
2
－x)－［x
2
－(
1
)
2
］
3
=x
2
－x－x
2
+
1
=
1< br>－x
99
、

2.(补充练习)

出示投影片(§1.7.2 D)
解方程：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)
(先由学生试着完成)
解：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)
=(7x+1)(x－1)
(2x)
2
－1+3(x
2
－ 4)=7x
2
－6x－1
4x
2
－1+3x
2
－12=7x
2
－6x－1
！

6x=12 x=2

Ⅳ.课时小结
［师］同学们这节课一定有不少体会和收获.
［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理
解又多了一个层面.
［生］平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果
也能恰当地用了平方 差公式，也非常神奇.
［生］我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如a(a+1)－(a+ b)(a－b)
一定要先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(a－b),算出来一定先放在括号里， 然后
再去括号.就不容易犯错误了.
……
Ⅴ.课后作业
$$

课本习题.

Ⅵ.活动与探究
计算：1990
2
－198 9
2
+1988
2
－1987
2
+…+2
2
－1.
［过程］先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑
逆用平方差公式.
［结 果］原式=(1990
2
－1989
2
)+(1988
2
－ 1987
2
)+…+(2
2
－1)
=(1990+1989)(1 990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1)
=1990+1989+1988+1987+…+2+1
=
1990(19901)

2
=1981045


●板书设计

§1.7.2 平方差公式(二)
一、平方差公式的几何解释：
二、想一想
特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明
即(a+1)(a－1)=a
2
－1

三、例题讲解：例3 例4
四、练习
（

●备课资料

参考练习
1.选择题
(1)在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是( )
A.(－a－b)(a－b) B.(c
2
－d
2
)(d
2
+c
2
) < br>C.(x
3
－y
3
)(x
3
+y
3
) D.(m－n)(－m+n)
(2)用平方差公式计算(x－1)(x+1)(x
2
+1)结果正确的是( )
－1 +1
*

C.(x－1)
4
D.(x+1)
4

(3)下列各式中，结果是a
2
－36b
2
的是( )
A.(－6b+a)(－6b－a) B.(－6b+a)(6b－a)
C.(a+4b)(a－4b) D.(－6b－a)(6b－a)
2.填空题
(4)(5x+3y)·( )=25x
2
－9y
2

(5)(－－( )=－
(6)(－
3
x－11y)( )=－
9
x
2
+121y
2

24
<

(7)若(－7m+A)(4n+B)=16n
2
－49m
2
,则A= ，B= .

3.计算
(8)(2x
2
+3y)(3y－2x
2
).
(9)(p－5)(p－2)(p+2)(p+5).
(10)(x
2
y+ 4)(x
2
y－4)－(x
2
y+2)·(x
2
y－3).
4.求值
(11)(上海市中考题)已知x
2
－2x=2,将下式先化简，再求值
(x－1)
2
+(x+3)(x－3)+(x－3)(x－1)

5.探索规律
(12)(北京市中考)观察下列顺序排列的等式：
9×0+1=1
9×1+2=11
9×2+3=21
9×3+4=31
9×4+5=41
……
猜想：第n个等式(n为正整数)应为 .
答案：1.(1)D (2)A (3)D
2.(4)(5x－3y) (5)－
(6)(
3
x－11y) (7)A=4n,B=7m
2
3.(8)9y
2
－4x
4
(9)p
4
－29p
2
+100
(10)x
2
y－10
4.(11)原式=3(x
2
－2x)－5=3×2－5=1
5.(12)9×(n－1)+n=(n－1)×10+1(n为正整数).