解析几何公式定理全套汇编
黄山毛峰的泡法-无法打开文件
,.
解析几何中的基本公式
1、 两点间距离:若
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,则AB
2、
平行线间距离:若
l
1
:AxByC
1
0,
则:
d
(x
2
x
1
)
2
(y
2
y
1
)
2
l
2
:AxByC
2
0
C
1
C
2
AB
22
注意点:x,y对应项系数应相等。
3、 点到直线的距离:
P(x
,y
),l:AxByC0
则P到l的距离为:
d
Ax
By
C
AB
22
4、
直线与圆锥曲线相交的弦长公式:
2
ykxb
F(x,y)0
消y:
axbxc0
,务必注意
0
.
若l与曲线交于A
(x
1
,y
1
),B(x<
br>2
,y
2
)
则:AB(1k
2
)(x
2
x
1
)
2
5、 若A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,P(x,y)。P在直线AB上,且P分有向线段AB所成的比为
,
x
1
x
2
x
1
x
2
x
x
1
2
则
,特别地:
=1时,P为AB中点且
yyyy
22
y
1
y
1
1
2
变形后:
xx
1
yy
1
或
x
2
xy
2
y
6、 若直线
l
1
的斜率为k
1
,直线l
2
的斜率为k
2
,则l
1
到l
2
的角为
,(0,)
,.
适用范围:k
1
,k
2
都存在且k<
br>1
k
2
-1 ,
tan
k
2
k
1
1k
1
k
2
若l
1
与l
2
的夹角为
,则tan
k
1
k
2
,
(0,]
2
1k
1
k
2
注意:(1)l
1
到l
2
的角,指从l
1
按逆时针方向旋转到l
2
所成的角,
范围
(0,)
l
1
到l
2
的夹角:指
l
1
、l
2
相交所成的锐角或直角。
(2)l
1
l
2
时,夹角、到角=
。
2
(3)当l
1
与l
2
中有一条不存在斜率时,画图,求到角或夹角。
7、 (1)倾斜角
,
(0,)
;
(2)
a,b夹角,[0,]
;
(3)直线l与平面
的夹角,[0,]
;
(4)l
1与l
2
的夹角为
,
[0,]
,其中l<
br>1
l
2
时夹角
=0;
(5)二面角
,(0,]
;
(6)l
1
到l
2
的角
,(0,)
8、 直线的倾斜角
与斜率k的关系
a)
每一条直线都有倾斜角
,但不一定有斜率。
2
2
,.
b)
若直线存在斜率k,而倾斜角为
,则k=tan
。
9、
直线l
1
与直线l
2
的的平行与垂直
(1)若l
1
,l
2
均存在斜率且不重合:①l
1
l
2
k
1
=k
2
②l
1
l
2
k
1
k
2
=-1
(2)若
l
1
:A
1
xB
1
yC
1
0,
若A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零
① l
1
l
2
l
2
:A
2xB
2
yC
2
0
A
1
B
1
C
1
;
A
2
B
2
C
2
②
l
1
l
2
A
1
A
2
+B
1
B
2
=0;
③
l
1
与l
2
相交
A
1
B
1
A
2
B
2
A
1
B
1C
1
;
A
2
B
2
C
2
④ l
1与l
2
重合
注意:若A
2
或B
2
中
含有字母,应注意讨论字母=0与
0的情况。
10、 直线方程的五种形式
名称 方程 注意点
斜截式: y=kx+b
应分①斜率不存在
②斜率存在
点斜式:
yy
k(xx
)
(1)斜率不存在:
xx
(2)斜率存在时为
yy
k(xx
)
两点式:
截距式:
yy
1
xx
1
y
2
y
1
x
2
x
1
xy
1
其中l交x轴于
(a,0)
,交y轴于
(0,b)
当直线l在坐标轴上,截<
br>ab
距相等时应分:
(1)截距=0 设y=kx
(2)截距=
a0
设
xy
1
aa
,.
即x+y=
a
一般式:
AxByC0
(其中A、B不同时为零)
10、确定圆需三个独立的条件
圆的方程
(1)标准方程:
(xa)(yb)r
,
(a,b)圆心,r半径
。
(2)一般方程:
xyDxEyF0
,(
DE4F0)
2222
222
DE
(,)圆心,
r
22
222
D
2E
2
4F
2
11、直线
AxByC0与圆
(xa)(yb)r
的位置关系有三种
若
d
A
aBbC
AB
22
,
dr相离0
dr相切0
dr相交0
12、两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为
O
1
,O
2
,半径分别为r
1
,r
2
,<
br>O
1
O
2
d
dr
1
r
2
外离4条公切线
dr
1
r
2
外切3条公切线
r
1
r
2
dr
1
r
2
相交2条公切线<
br>
dr
1
r
2
内切1条公切线
0dr
1
r
2
内含无公切线
,.
外离
外切
相交
内切 内含
13、圆锥曲线定义、标准方程及性质
(一)椭圆
定义Ⅰ:若F
1
,F
2
是两定点,P为动点,且
PF
1
PF
2
2aF
1
F
2
(
a
为常数)则P点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ:若F
1
为定点,l为
定直线,动点P到F
1
的距离与到定直线l的距离之比为常数e(0
x
2
y
2
标准方程:
2
2
1
(ab0)
ab
定义域:<
br>{xaxa}
值域:
{xbyb}
长轴长=
2a
,短轴长=2b
焦距:2c
a
2
准线方程:
x
c
,.
a
2
a
2
)
,
PF
2
e(x
)
,
PF
1
2aPF
2
焦半径
:
PF
1
e(x
cc
①用点P坐标表示,②第一定义。)
,
acPF
1
ac
等
(
注意涉及焦半径
注意:(1)
图中线段的几何特征:
A
1
F
1
A
2
F
2
ac
,
A
1
F
2
A
2
F
1
ac
B
1
F
1
B
1
F
2
B
2
F
2
B<
br>2
F
1
a
,
A
2
B
2
A
1
B
2
离分别与
a,b,c
有关。
(2)
PF
1
F
2
中经常利用余弦定理、三角
形面积公式将有关线段
PF
1
...........
建立
PF1
a
2
b
2
等等。顶点与准线距离、焦点与准线距
、
PF
2
、
2c,有关角
F
1
PF
2结合起来,
+
PF
2
、
PF
1
•
PF
2
等关系
xacos
;
ybsin
(3)椭圆上的点有时常用到三角换元:
(4)注意题目中椭圆的焦点在x轴上还
是在y轴上,请补充当焦点在y轴上时,其相应的性质。
二、双曲线
(一)定义
:Ⅰ若F
1
,F
2
是两定点,
PF
,则动点P的轨迹是双曲
线。
1
PF
2
2aF
1
F
2
(<
br>a
为常数)
Ⅱ若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e(e>1),则动点P的
轨迹是双曲线。
(二)图形:
,.
(三)性质
x
2
y
2
y
2
x
2
方程:
2
2
1
(a0,b0)
2
2
1
(a0,b0)
abab
定义域:
{xxa或xa}
; 值域为R;
实轴长=
2a
,虚轴长=2b
焦距:2c
a
2
准线方程:
x
c
焦半径
:a
2
a
2
PF
1
e(x)
,
PF
2
e(x)
,
PF
1
PF
2
2a
;
cc
注意:(1)图中线段的几何特征:
AF
1
BF
2
ca
,
AF
2
BF
1
ac<
br>
a
2
a
2
a
2
a
2
或a
或c
顶点到准线的距离:
a
;焦点到准线的距离:
c
cccc
2a
2
两准线间的距离=
c
x
2
y
2
x
2
y
2
b
(2)若双曲线方
程为
2
2
1
渐近线方程:
2
2
0
yx
abab
a
x
2
y
2
xy
b
若渐近线方程为
yx
0
双曲线可设为
2
2
ab
ab
a
x
2
y
2
x
2
y
2
若双曲线与
2
2
1有公共渐近线,可设为
2
2
abab
(
0
,焦点在x轴上,
0
,焦点在y轴上)
(3)特别地当
ab时
离心率
e2
两渐近线互相垂直,分别
为y=
x
,此时双曲线为等轴双曲线,
,.
可设为
xy
;
(4)注意
PF
1
F
2
中结合定义
PF
将有关线段
PF
1
P
F
2
,
1
PF
2
2a
与余弦定理
co
sF
1
和角结合起来。
(5)完成当焦点在y轴上时,标准方程及相应性质。
二、抛物线
(一)定义:到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。
即:到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e(e=1)。
(二)图形: <
br>22
、
PF
2
、
F
1
F
2
(三)性质:方程:
焦点:
(
y
2
2px,(p0),p焦参数
;
p
,0)
,
通径
AB2p
;
2
p
准线:
x
;
2
,.
焦半径:
CFx
,
过焦点弦长
CDx
1
注意:
(1)几何特征:焦点到顶点的距离=
p
2
pp
x
2
x
1
x
2
p
22
p
;焦点到准线的距离=
p
;通径长=
2p
2
2
顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
y
22
(2)抛物线
y2px
上的动点可设
为P
(
,y
)
或
P(2pt,2pt)或P
(x
,y
)其中y
2px
2p
2