不耻下问是什么意思-写事作文开头

109．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.
110．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
111．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.
112．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
114．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直.
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向 量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的
以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
117.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b

存在实数λ使a=λb．
uuuruuur
uuuruuur uuur
P、A、B
三点共线

AP||AB

APtA B

OP(1t)OAtOB
.
ruuuruuur
uuu r
uuu
AB||CD

AB
、
CD
共线且
AB、CD
不共线

ABtCD
且
AB、CD
不共线.
uuuruuuruuur
推论 空间一点P位于平面MAB内的

存在有 序实数对
x,y
,使
MPxMAyMB
，
uuuruuuur uuuruuur
或对空间任一定点O，有序实数对
x,y
，使
OPOM xMAyMB
.
uuuruuuruuuruuur
119.对空间任一点
O
和不共线的三点A、B、C，满足
OPxOAyOBzOC
（
x yzk
），则当
k1
时，对于空间任一点
O
，总有P、A、B 、C四点共面；当
k1
时，若
O
平面ABC，则P、A、B、C四点共面 ；若
O
平面ABC，则P、A、B、C四点不共
面．
118.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的

存在实 数对
x,y
,使
paxby
．
r
uuuruuuruuur
uuuruuur
uuu
A、B、 C、D
四点共面

AD
与
AB
、
AC
共 面

ADxAByAC


uuuruuuru uuruuur
OD(1xy)OAxOByOC
（
O
平面AB C）.
120.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向 量p，存在一个唯一的有序实数组x，
y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推论 设O、A 、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实
uuuruuuruuuruu ur
数x，y，z，使
OPxOAyOBzOC
.
121.射影公式
uuur
已知向量
AB
=
a
和轴
l
，e是
l
上与
l
同方向的单位向量.作A点在
l
上的射影
A
'
，作B
点在
l
上的射影
B
'
，则 < br>uuur
''
AB|AB|cos
〈
a
，e〉=
a
·e
122.向量的直角坐标运算
设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
，b＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
则
(1)
a
＋b＝(a
1
b
1
,a
2
b
2
,a3
b
3
)
；
(2)
a
－b＝
(a
1
b
1
,a
2
b
2
,a
3< br>b
3
)
；
(3)λ
a
＝
(
< br>a
1
,

a
2
,

a
3< br>)
(λ∈R)；
(4)
a
·b＝
a
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
；
123.设A
(x
1
,y
1
,z
1
)
，B
(x
2
,y
2
,z
2
)
， 则
124．空间的线线平行或垂直
uuuruuuruuur
ABOBOA
=
(x
2
 x
1
,y
2
y
1
,z
2
z
1
)
.
rr
设
a(x
1
,y
1
,z
1
)
，
b(x
2
,y
2
,z
2
)
，则

x
1


x
2< br>rrrr
rr

a
P
b

a
< br>b(b0)


y
1


y
2< br>；

z

z
2

1
rrrr< br>ab

ab0

x
1
x
2
 y
1
y
2
z
1
z
2
0
.
125.夹角公式
设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
，b＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
，则
cos〈
a
，b〉=
a
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
aaa
2
1
2
2
2
3
bbb
2222
推论
(a
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
)(aaa)(b
1b
2
b
3
)
，此即三维柯西不等式.
2
1
2
1
2
2
2
2
2
3
2
3
.
126. 四面体的对棱所成的角
四面体
ABCD
中,
AC
与
BD
所成的角为

,则
|(AB
2
CD
2
)(BC
2
DA
2
)|
c os


.
2ACBD
rr
cos

|cosa,b|

rr
|x
1
x
2
y
1
y
2
z
1
z
2
|
|ab|
r

=
r< br>
222222
|a||b|
x
1
y
1
z
1
x
2
y
2
z
2
rr
oo
b
所成角，
a,b
分别表示异面直线
a,b
的方向向量 ）（其中

（
0

90
）为异面直线
a,
128.直线
AB
与平面所成角
127．异面直线所成角