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完全平方公式的几何背景专题训练试题精选

一．选择题（共6小题）
1．（2010•丹东）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小 颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能
验证的式子是（ ）
A．
（m+n）
2
﹣（m﹣n）
2
=4mn B
．
（m+n）
2
﹣（m
2
+n
2
）=2mn C
．
（m﹣n）
2
+2mn=m
2
+n
2
D（m+n）（m﹣n）=m
2
﹣n
2

．

2．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a +b）
2
=a
2
+2ab+b
2
．你根据图乙能得到的数学 公式是（ ）

A．
（a+b）（a﹣b）=a﹣b
B．
（a﹣b）=a﹣2ab+b
2

C．
a（a+b）=a
2
+ab

3．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（ ）
2222
D．
a（a﹣b）=a
2
﹣ab

A． C．
a
2
﹣b
2
=（a+b）（a﹣b）
B．
（a+b）
2
=a
2
+2ab+b
2
（a﹣b）
2
=a
2
﹣2ab+b
2

D．
a（a+b）=a
2
+ab

4．如图（1），是一个长为2a 宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩
形，然后按图（ 2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（ ）

A． ab B．
（a+b）
2


5．如图的图形面积由以下哪个公式表示（ ）
C．
（a﹣b）
2

D．
a
2
﹣b
2

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A．
a﹣b=a（a﹣b）+b（a
B．
（a﹣b）
2
=a
2
﹣2ab+b
2

C．
（a+b）
2
=a
2
+2ab+b
2

﹣b）

22
D．
a
2
﹣b
2
=（a+b）（a﹣b）
6．如果关于x的二次三项式x
2
﹣mx+16是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A． 8或﹣8 B． 8 C． ﹣8 D． 无法确定

二．填空题（共7小题）
7．（2014•玄武区二模）如图，在一个矩形中，有两个面积分 别为a
2
、b
2
（a＞0，b＞0）的正方形．这个矩形的面积
为 _________ （用含a、b的代数式表示）


8．如图，边长为（m+ 2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无
缝隙），若拼 成的矩形一边长为2，则另一边长是 _________ ．（用含m的代数式表示）


9．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若 图甲和图
乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为 _________ ．


10．如图1和图2，有多个长方形和正方形的卡片，图1是选取了2块不同的 卡片，拼成的一个图形，借助图中阴
影部分面积的不同表示可以用来验证等式a（a+b）=a
2
+ab成立．根据图2，利用面积的不同表示方法，写出一个代
数恒等式 _________ ．


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精品文档 11．如图，正方形广场的边长为a米，中央有一个正方形的水池，水池四周有一条宽度为
路，那么 水池的面积用含a、b的代数式可表示为 _________ 平方米．
的环形小


12．如图，请写出三个代数式（a+b）
2
、（a﹣b）
2< br>、ab之间的等量关系是 _________ ．


13．如图，长为 a，宽为b的四个小长方形拼成一个大正方形，且大正方形的面积为64，中间小正方形的面积为16，
则a= _________ ，b= _________ ．


三．解答题（共10小题）
14．阅读学习：
数学中有很多等式可以用图形的面积 来表示．如图1，它表示（m+2n）（m+n）=m
2
+3mn+2n
2
，

（1）观察图2，请你写出（a+b）
2
，（a﹣b）
2
，ab之间的关系 _________ ．
（2）小明用8个一样大的长方形，（长为a，宽为b） ，拼成了如图甲乙两种图案，图案甲是一个正方形，图案甲中
间留下了一个边长为2的正方形；图形乙是 一个长方形．
①a
2
﹣4ab+4b
2
= _________ ②ab= _________ ．

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精品文档 15．【学习回顾】我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，说明如下：

如图1，正方形ABCD的面积=正方形EBNH的面积+（长方形AEHM的面积+长方形HNCF的 面积）+正方形MHFD
的面积．即：（a+b）
2
=a
2
+2ab +b
2
．
【思考问题】还有一些等式也可以用上述方式加以说明，请你尝试完成．
如图2，长方形ABNM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积﹣长方形HNCF的面 积﹣ _________
的面积，即：（2a﹣b）（a+b）= _________ ．
【尝试实践】计算（2a+b）（a+b）= _________ ．仿照上述方法，画图并说明．









16．阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由 图
1可以得到（a+2b）（a+b）=a
2
+3ab+2b
2
．请 解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 _________ ；
（2）利用 （1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a
2< br>+b
2
+c
2
的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和 边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给
的纸片拼出一个几何图形，使 得计算它的面积能得到数学公式：2a
2
+5ab+2b
2
=（2a+b）（ a+2b）．












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17．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一 个正
方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含ab的式子表示）
（2）若2a+b=7，且ab=3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等 式表示出（2a﹣b）
2
，ab和（2a+b）
2
的数量关系．











18．动手操作：
如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大 小相等的长方形，然后按照图②所示拼成
一个正方形．
提出问题：
（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；
（2）请写出三个代数式（a+ b）
2
，（a﹣b）
2
，ab之间的一个等量关系．
问题解决：
根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：
已知：x+y=6，xy=3．求：（x﹣y）
2
的值．







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19．图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方
形． < br>（1）将图①中所得的四块长为a，宽为b的小长方形拼成一个正方形（如图②）．请利用图②中阴影部分 面积的不
同表示方法，直接写出代数式（a+b）
2
、（a﹣b）
2
、ab之间的等量关系是 _________ ；
（2）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知m+n=8，mn=7，则m﹣n= _________ ；
（3）将如图①所得的四块长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在长方形A BCD的内部（如图③），未被覆盖的部
分（两个长方形）用阴影表示．若左下角与右上角的阴影部分的 周长之差为4，且小长方形的周长为8，则每一个
小长方形的面积为 _________ ．









20．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不 规
则图形的面积．

（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一 个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个
图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．
（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD 和BF，若两
正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？










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21．阅读材料并填空：
我们知道， 完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式样也可以用这种形式表示，
如：（2a+b）（a+b）=2a
2
+3ab+b
2
，就可以用图（1）， 或图（2）等图形的面积表示．

请你写出图（3）所表示的代数恒等式 _________ ．
请你写出图（4）所表示的代数恒等式 _________ ．




























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22．图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀 剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼
成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 _________ ．
（2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1： _________ ；方法2： _________ ．
（3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（x+y）
2
，（x﹣y）
2
，4xy． _________
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：
若x+y=4，xy=3，则（x﹣y）
2
= _________ ．
















23．已知图甲是一个长为2m，宽为2n的长 方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形，然后按图乙的形状拼
成一个正方形．
（1）你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少？ _________ ．
（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积．
方法一： _________ ；方法二： _________ ．
（3）观察图乙，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
（m+n）
2
；（m﹣n）
2
； mm
（4）根据（3 ）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=5，求（a﹣b）
2
的值．


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完全平方公式的几何背景专题训练试题精选
参考答案与试题解析


一．选择题（共6小题）
1．（2010•丹东）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小 颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能
验证的式子是（ ）
n
2

222
A． B． C．
（m+n）﹣（m﹣n）=4mn （m+n）﹣（m
2
+n
2
）=2mn （m﹣n）
2
+2mn=m
2
+n
2

D．
（m+n）（m﹣n）=m
2
﹣

考点： 完全平方公式的几何背景．
专题： 计算题；压轴题．
分析：
根据图示可知，阴 影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m
2
+n
2
，即为对角线
分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．
解答：
解：（m+n）
2
﹣（m
2
+n
2
）=2mn．
故选B．
点评：
本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）
2
﹣（m
2
+n
2
）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关
系列等式．

2．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲， 我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）
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2
=a
2
+2ab+b
2
．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）

A． D．
（a+b）（a﹣b）=a﹣b
B．
（a﹣b）=a﹣2ab+b
2

C．
a（a+b）=a
2
+ab a（a﹣b）=a
2
﹣ab

考点： 完全平方公式的几何背景．
分析： 根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的 面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小
正方形的面积．
解答：
解：大正方形的面积=（a﹣b）
2
，
还可以表示为a
2
﹣2ab+b
2
，
∴（a﹣b）
2
=a
2
﹣2ab+b
2
．
故选B．
点评： 正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力．

3．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（ ）
2222
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A． C．
a
2
﹣b
2
=（a+b）（a﹣b）
B．
（a+b）
2
=a
2
+2ab+b
2
（a﹣b）
2
=a
2
﹣2ab+b
2

D．
a（a+b）=a
2
+ab

考点： 完全平方公式的几何背景．
分析：
根据图形得出阴影部分的面积是（a﹣b）
2
和b
2
，剩余的矩形面积是（a﹣b）b和（a﹣b）b，即大阴影部分
的面积是（a﹣b）
2，即可得出选项．
解答：
解：从图中可知：阴影部分的面积是（a﹣b）
2< br>和b
2
，剩余的矩形面积是（a﹣b）b和（a﹣b）b，
即大阴影部分的面积是（a﹣b）
2
，
∴（a﹣b）
2
=a
2
﹣2ab+b
2
，
故选C．
点评： 本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的阅读能力和转化能力，题目比较好，有一定的难度．

4．如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分 成四个全等的小矩
形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（ ）
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A． ab B． C． D．
（a+b）
2
（a﹣b）
2
a
2
﹣b
2


考点： 完全平方公式的几何背景．
分析： 先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案．
解答： 解：由题意可得，正方形的边长为（a+b），
故正方形的面积为（a+b）
2
，
又∵原矩形的面积为4ab，
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∴中间空的部分的面积=（a+b）
2
﹣4ab=（a﹣b）
2
．
故选C．
点评： 此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般．

5．如图的图形面积由以下哪个公式表示（ ）

A．
a﹣b=a（a﹣b）+b（a
B．
（a﹣b）
2
=a
2
﹣2ab+b
2

C．
（a+b）
2
=a
2
+2ab+b
2

﹣b）

考点： 完全平方公式的几何背景．
分析： 通过图中几个图形的面积的关系来进行推导．
22
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D．
a
2
﹣b
2
=（a+b）（a﹣b）
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解答：
解：根据图形可得出：大正方形面积为：（a+b ）
2
，大正方形面积=4个小图形的面积和=a
2
+b
2
+ ab+ab，
∴可以得到公式：（a+b）
2
=a
2
+2ab+b
2
．
故选：C．
点评： 本题考查了完全平方公式的推导过程，运用图形的面积表示是解题的关键．

6．如果关于x的二次三项式x
2
﹣mx+16是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A． 8或﹣8 B． 8 C． ﹣8 D． 无法确定

考点： 完全平方公式的几何背景．
分析： 根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可．
解答：
解：∵x
2
﹣mx+16是一个完全平方式，
∴﹣mx=±2×4•x，
解得m=±8．
故选A．
点评： 本题是完 全平方公式的考查，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注
意积的2 倍的符号，避免漏解．

二．填空题（共7小题）
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7． （2014•玄武区二模）如图，在一个矩形中，有两个面积分别为a
2
、b
2
（a＞0，b＞0）的正方形．这个矩形的面积
为 （a+b）
2
（用含a、b的代数式表示）


考点： 完全平方公式的几何背景．
分析： 求出大正方形的边长为a+b，再利用正方形的面积公式求解．
解答： 解；∵两个小矩形的长为a，宽为b，
∴正方形的边长为：a+b
∴它的面积为：（a+b）
2

故答案为：（a+b）
2

点评： 本题主要考查完全平方公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．

8．如图，边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪 拼成一个矩形（不重叠无
缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是 2m+2 ．（用含m的代数式表示）
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考点： 完全平方公式的几何背景．
专题： 几何图形问题．
分析： 由于边长为（m+2）的正方 形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠
无缝隙），那么根据正方形 的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为2，利用矩形的面积公
式即可求出另一边长．
解答： 解：依题意得剩余部分为
（m+2）
2
﹣m
2
= m
2
+4m+4﹣m
2
=4m+4，
而拼成的矩形一边长为2，
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∴另一边长是（4m+4）÷2=2m+2．
故答案为：2m+2．
点评： 本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟悉除法法则．

9．有两个正方形A，B ，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图
乙中阴影部分的 面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为 13 ．


考点： 完全平方公式的几何背景．
分析： 设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．
解答： 解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
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由图甲得a
2< br>﹣b
2
﹣2（a﹣b）=1即a
2
+b
2
﹣2ab= 1，
由图乙得（a+b）
2
﹣a
2
﹣b
2
=12 ，2ab=12，
所以a
2
+b
2
=13，
故答案为：13．
点评： 本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．

10． 如图1和图2，有多个长方形和正方形的卡片，图1是选取了2块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a（a+b）=a
2
+ab成立．根据图2，利用 面积的不同表示方法，写出一个代
数恒等式 （a+b）（a+2b）=a
2
+2b
2
+3ab ．


考点： 完全平方公式的几何背景．
专题： 计算题．
分析： 表示阴影部分的面 积有两种方法：①大长方形的面积=（a+b）（a+2b），②3个正方形的面积加上3个矩形的
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面积a
2
+ab+ab+ab+b
2
+b
2，推出即可．
解答：
解：由图2可知：阴影部分的面积是：①（a+b）（a+2b） ，②a
2
+ab+ab+ab+b
2
+b
2
=a
2
+2b
2
+3ab，
∴（a+b）（a+2b）=a
2
+2b
2
+3ab，
故答案为：（a+b）（a+2b）=a
2
+2b
2
+3ab．
点评： 本题考查了完全平方公式的几何背景的应用，关键是检查学生能否正确表示图形中阴影部分的面 积，题目
具有一定的代表性，考查了学生的理解能力、观察图形的能力等

11． 如图，正方形广场的边长为a米，中央有一个正方形的水池，水池四周有一条宽度为
路，那么水池的面积 用含a、b的代数式可表示为 a
2
﹣4ab+4b
2
或（a﹣2b）
2
平方米．
的环形小
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考点： 完全平方公式的几何背景．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据图示计算出中央正方形的水池的边长，然后根据正方形的面积公式来计算水池的面积．
解答： 解：水池的边长是：a﹣2b，
所以，正方形水池的面积是（a﹣2b）（a﹣2b）=a
2
﹣4ab+4b
2
或（a﹣2b）（a﹣2b）=（a﹣2b）
2
．
故答案是：a
2
﹣4ab+4b
2
或（a﹣2b）
2
．
点评： 本题考查对完全平方公式几何意义的理解．解题时，主要围绕图形面积展开分析．

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12．如图，请写出三个代数式（a+b）
2
、 （a﹣b）
2
、ab之间的等量关系是 a+b）
2
=（a﹣b）
2
+4ab ．


考点： 完全平方公式的几何背景．
分析：
通过观察图形知：（a+b）
2
，（a﹣b）
2
，ab分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及小长方形的面积 ．
解答： 解：由图可以看出，大正方形面积=阴影部分的正方形的面积+四个小长方形的面积，
即：（a+b）
2
=（a﹣b）
2
+4ab，
故答案为：（a+b）
2
=（a﹣b）
2
+4ab．
点评： 此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力，关键是通过观察图形找出各图形之间的关系．

13．如图，长为a，宽为b的四个小长方形拼成一个大正方形，且大正方形的面积为64，中间小正方 形的面积为16，
则a= 6 ，b= 2 ．
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考点： 完全平方公式的几何背景．
分析： 先求出大正方形的边长为：a+b，小正方形的边长为：a﹣b，再列出方程组求解．
解答： 解：大正方形的边长为：a+b，小正方形的边长为：a﹣b
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即：
解得
故答案为：6，2．
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点评： 本题的关键是求出大正方形的边长和小正方形的边长．列出方程组．

三．解答题（共10小题）
14．阅读学习：
数学中有很多等式可以用图形的面积 来表示．如图1，它表示（m+2n）（m+n）=m
2
+3mn+2n
2
，

（1）观察图2，请你写出（a+b）
2
，（a﹣b）
2
，ab之间的关系 （a+b）
2
﹣（a﹣b）
2
=4ab ．
（ 2）小明用8个一样大的长方形，（长为a，宽为b），拼成了如图甲乙两种图案，图案甲是一个正方形，图案甲 中
间留下了一个边长为2的正方形；图形乙是一个长方形．
①a
2
﹣4ab+4b
2
= 4 ②ab= 60 ．

考点： 完全平方公式的几何背景．
专题： 数形结合．
分析： 根据图形的面积公式来进行分析即可得到．
解答：
解：（1）（a+b）
2
﹣（a﹣b）
2
=4ab；
（2）①4 ②ab=60
点评： 该题目考查了利用图形的面积来得到数学公式，关键是灵活进行数学结合来分析．

15． 【学习回顾】我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，说明如下：
菁优网版权所 有

如图1，正方形ABCD的面积=正方形EBNH的面积+（长方形AEHM的面积+长方 形HNCF的面积）+正方形MHFD
的面积．即：（a+b）
2
=a
2+2ab+b
2
．
【思考问题】还有一些等式也可以用上述方式加以说明，请你尝试完成．
如图2，长方形AB NM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积﹣长方形HNCF的面积﹣ 正方形MHFD
的面积，即：（2a﹣b）（a+b）= 2a
2
﹣ab﹣b
2
．
【尝试实践】计算（2a+b）（a+b）= 2a
2
+3ab+b
2
．仿照上述方法，画图并说明．

考点： 完全平方公式的几何背景．
分析： （1）利用长方形ABNM的面积=长方形EB CF的面积+长方形AEFD的面积﹣长方形HNCF的面积﹣正方
形MHFD的面积计算．
（2）利用长方形ABCD的面积=正方形GBHF的面积+正方形FHQN的面积+长方形AGFE的面积+长 方形
EFNM的面积+长方形NQCO的面积+正方形MNOD的面积计算．
解答： 解：（ 1）长方形ABNM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积﹣长方形HNCF的面积﹣正方形MHFD的面积，即：（2a﹣b）（a+b）=2a
2
﹣ab﹣b
2
．
故答案为：正方形MHFD，2a
2
﹣ab﹣b
2
．
（2）（2a+b）（a+b）=2a
2
+3ab+b
2
．
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如图，
故答案为：2a﹣ab﹣b．
点评： 本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键 是通过几何图形之间的数量关系对公式做出几何解
释．

16．阅读下列文字，我 们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图
1可以得到（ a+2b）（a+b）=a
2
+3ab+2b
2
．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 （a+b+c）
2
=a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2ac+2bc ；
（2）利用（1）中所得 到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a
2
+b< br>2
+c
2
的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小 正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给
的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面 积能得到数学公式：2a
2
+5ab+2b
2
=（2a+b）（a+2b）．
22



考点： 完全平方公式的几何背景．
分析： （1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形
的面积，然后根据面积相等即可写出等式．
（2）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c= 11，ab+bc+ac=38作为整式代入即可求出．
（3）找规律，根据公式画出图形，拼成一个长方形，使它满足所给的条件．
解答：
解：（1）根据题意，大矩形的面积为：（a+b+c）（a+b+c）=（a+b+c）
2
，
各小矩形部分的面积之和=a
2
+2ab+b
2
+2bc+2a c+c
2
，
∴等式为（a+b+c）
2
=a
2
+ b
2
+c
2
+2ab+2ac+2bc．
（2）a
2
+b
2
+c
2
=（a+b+c）
2
﹣2ab﹣2ac﹣2bc
=11
2
﹣2×38
=45．
（3）如图所示
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点评： 本 题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根
据 同一个图形的面积相等即可解答．

17．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形， 沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正
方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含ab的式子表示）
（2）若2a+b=7，且ab=3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等 式表示出（2a﹣b）
2
，ab和（2a+b）
2
的数量关系．


考点： 完全平方公式的几何背景．
分析： （1）观察由已知图形，得到四个小 长方形的长为2a，宽为b，那么图2中的空白部分的正方形的边长是小
长方形的长减去小长方形的宽．
（2）通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长和宽的和．图2中空白部分的正方形的面积为大正 方
形的面积减去四个小长方形的面积．
（3）通过观察图形知：（2a+b）
2
（2a﹣b）
2
8ab．分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及小长方
形的面积．
解答： 解：（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b
（2）由图21﹣2可知，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
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∵大正方形的边长=2a+b=7，∴大正方形的面积=（2a+b）
2
=4 9，
又∵4个小长方形的面积之和=大长方形的面积=4a×2b=8ab=8×3=24，
∴小正方形的面积=（2a﹣b）
2
=49﹣24=25
（3）由图2可以看出，大正方形面积=空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积
即：（2a+b）
2
﹣（2a﹣b）
2
=8ab．
点评： 此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力，以及对列代数式、代数式求值的理解与掌握．关键
是通过观察图形
找出各图形之间的关系．

18．动手操作：
如图① 是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．
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提出问题：
（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；
（2）请写出三个代数式（a+ b）
2
，（a﹣b）
2
，ab之间的一个等量关系．
问题解决：
根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：
已知：x+y=6，xy=3．求：（x﹣y）
2
的值．


考点： 完全平方公式的几何背景．
专题： 几何图形问题．
分析： （1）第一种方法为：大正方形面积﹣4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分正方形的面积；
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（2）利用（a+b）
2
﹣4ab=（a﹣b）
2
可求解．
解答： 提出问题：
解：（1）（a+b）
2
﹣4ab或（a﹣b）
2


（2）（m+n）
2
﹣4mn=（m﹣n）
2

问题解决：
（3）（x﹣y）
2
=（x+y）
2
﹣4xy
∵x+y=6，xy=3．
∴（x﹣y）
2
=36﹣9=25．
点评： 本题考查了完全平方公式的几何背景．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 本题更需
注意要根据所找到的规律做题．

19．图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方
形． < br>（1）将图①中所得的四块长为a，宽为b的小长方形拼成一个正方形（如图②）．请利用图②中阴影部分 面积的不
同表示方法，直接写出代数式（a+b）
2
、（a﹣b）
2
、ab之间的等量关系是 （a﹣b）
2
=（a+b）
2
﹣4ab ；
（2）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知m+n=8，mn=7，则m﹣n= ±6 ；
（3）将如图①所得的四块长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在长方形ABCD的内部（如图③）， 未被覆盖的部
分（两个长方形）用阴影表示．若左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，且小长方形 的周长为8，则每一个
小长方形的面积为 3 ．

考点： 完全平方公式的几何背景．
分析： （1）利用大正方形的面积减4个小长方形的面积等于小正方形的面积求解；
（2）利用公式（m﹣n）
2
=（m+n）
2
﹣4mn求解即可；
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（3）由左下角与右上 角的阴影部分的周长之差为4，得出﹣8b+4a=4，由小长方形的周长为8，得出2（a+b）
=8 ，联立得出a，b的值即可求出小长方形的面积．
解答：
解：（1）（a﹣b）
2
=（a+b）
2
﹣4ab．
故答案为：（a﹣b）
2
=（a+b）
2
﹣4ab．
（2）∵m+n=8，mn=7，
∴（m﹣n）
2
=（m+n）
2
﹣4mn=64﹣28=36，
∴m﹣n=±6
故答案为：±6．
（3）设长方形BC为m，CD为n，
右上角部分的阴影周长为：2（n﹣a+m﹣a）
左下角部分的阴影周长为：2（m﹣2b+n﹣2b）
∵左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，
∴﹣8b+4a=4，
又∵2（a+b）=8，
∴解得a=3，b=1，
∴每一个小长方形的面积为ab=3×1=3．
故答案为：3．
点评： 本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间的数量关系解决问题．
20．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一 些不规
则图形的面积．

（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼 成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个
图形的面积，你能发现什么结论，请写出来 ．
（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接 BD和BF，若两
正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？

考点： 完全平方公式的几何背景．
分析： （1）此题根据面积的不同求解方法 ，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的
面积，种是大正方形的面积，可得 等式
（a+b+c）
2
=a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2bc+2ac，
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（2）利用S
阴影
=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积﹣三角形BGF的面积﹣三角形ABD的面积求
解．
解答：
（1）（a+b+c）
2
=a
2
+b
2< br>+c
2
+2ab+2bc+2ac
（2）∵a+b=10，ab=20， < br>∴S
阴影
=a
2
+b
2
﹣（a+b）•b﹣a
2
=a
2
+b
2
﹣ab=（a+b）
2
﹣ab= ×10
2
﹣×20=50﹣30=20．
点评： 本题考查了完全平方公式几何意义 ，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形
的面积．

21．阅读材料并填空：
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我们知道， 完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式样也可以用这种形式表示，
如：（2a+b）（a+b）=2a
2
+3ab+b
2
，就可以用图（1）， 或图（2）等图形的面积表示．

请你写出图（3）所表示的代数恒等式 （x+y）
2
=x
2
+2xy+y
2
．
请你写出图（4）所表示的代数恒等式 （2a+b）（a+2b）=2a
2
+5ab+2b
2
．


考点： 完全平方公式的几何背景．
分析： 求出长方形的长和宽，根据长方形的面积公式求出即可．
解答：
解：图（3）所表示的代数 恒等式是（x+y）（x+y）=（x+y）
2
=x
2
+2xy+y
2
，
图（4）所表示的代数恒等式是（2a+b）（a+2b）=2a
2
+ 5ab+2b
2
，
故答案为：（x+y）
2
=x
2
+2xy+y
2
，（2a+b）（a+2b）=2a
2
+5ab+2b2
．
点评： 本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的阅读能力和转化能力，题目比较好，有一定的难度．

22．图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后 按图2所示拼
成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 x﹣y ．
（2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
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方法1： （x﹣y）
2
；方法2： （x+y）
2
﹣4xy ．
（3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（x+y）
2
，（x﹣y）
2
，4xy． （x+y）
2
=（x﹣y）
2
+4xy
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：
若x+y=4，xy=3，则（x﹣y）
2
= 4 ．


考点： 完全平方公式的几何背景．
分析： （1）图①分成了4个长为x，宽为y的长方形 ，图②中的阴影部分的小正方形的边长等于x﹣y，大正方形
的边长等于x+y；
（2）直接 利用正方形的面积公式得到②中阴影部分的面积为（x﹣y）
2
；也可以用大正方形的面积减去 4
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个长方形的面积即②（x+y）
2
﹣4xy；
（3）利用面积之间的关系易 得（x+y）
2
=（x﹣y）
2
+4xy．
解答： 解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长=x﹣y；
故答案为：（x﹣y）；

（2）方法①（x﹣y）
2
；方法②（x+y）
2
﹣4xy；
故答案为：（x﹣y）
2
，（x+y）
2
﹣4xy；

（3）（x+y）
2
=（x﹣y）
2
+4xy；
故答案为：（x+y）
2
=（x﹣y）
2
+4xy；
< br>（4）（x﹣y）
2
=（x+y）
2
﹣4xy=4
2
﹣12=4
故答案为：4．
点评： 本题考查了列代数式：根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．

23．已知图 甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形，然后按图乙的形状拼
成一个正方形．
（1）你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少？ m﹣n ．
（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积．
方法一： （m+n）
2
﹣4mn ；方法二： （m﹣n）
2
．
（3）观察图乙，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
（m+n）
2
；（m﹣n）
2
； mm
（4）根据（3 ）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=5，求（a﹣b）
2
的值．


考点： 完全平方公式的几何背景．
分析： 平均分成后，每个小长方形的长为m，宽为n．
（1）正方形的边长=小长方形的长﹣宽；
（2）第一种方法为：大正方形面积﹣4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分为小正方形的面积； < br>菁优网版权所有
（3）利用（m+n）
2
﹣4mn=（m﹣n）
2可求解；
（4）利用（a﹣b）
2
=（a+b）
2
﹣4ab可求解．
解答： 解：（1）m﹣n；

（2）（m+n）
2
﹣4mn或（m﹣n）
2
；

（3）（m+n）
2
﹣4mn=（m﹣n）
2
；

（4）（a﹣b）
2
=（a+b）
2
﹣4ab，
∵a+b=8，ab=5，
∴（a﹣b）
2
=64﹣20=44．
点评： 本题主要考查了完全平方式的知识，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本 题更需注
意要根据所找到的规律做题．

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