N维空间几何体质心的计算方法.
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N维空间几何体质心的计算方法
摘要:本文主要是求一个图形或物体的质心坐标的问题
,通过微积分方面的知识
来求解,从平面推广到空间,问题也由易到难。首先提出质心或形心问题,然后
给出重
心的定义,再由具体的例子来求解相关问题。
关键字:质心重心坐标平面薄板二重积分三重积分
一.质心或形心问题:
这类问题的核心是静力矩的计算原理。
1.均匀线密度为M的曲线形体的静力矩与质心:
静力矩的微元关系为
,
dMx yudl dMy xudl
==.
其中形如曲线L(
(,
y f x a x b
=≤≤的形状体对x轴与y轴的静力矩分别
为(
b
a y
f x S
=
⎰
,
(
b
y a
M u f x
=⎰
设曲线AB
L
的质心坐标为(
,x y,则,,
y x
M M
x y
M M
==
其
中(
b
a
M u x d x u l
==
⎰
为AB
L
的质量,L为曲线弧长。
若在式
y
M
x
M
=
与式
x
M
y
M
=
两端同乘以2π,则可得
到22(
b
a y
xl f x S
ππ
==
⎰
,
22(
b
a x
yl f x S
ππ
==
⎰
,其中x
S 与y
S
分别表示曲线AB
L
绕x轴与y轴旋转而成的旋转体的侧面积。
2.均匀密度平面薄板的静力矩与质心:
设f(x为
[],a b
上的连续非负函数,考虑形如区域
{}
(,,0(
D
x y a x b y f x
=≤≤≤≤
的薄板质心,设M为其密度,利用微元法,小曲边梯形MNPQ的形心坐标为
1
(,(,
2
y f y x y x x
≤≤+∆
,当分割无限细化时,可当小曲边梯形MNPQ的质量视为集中于点
1
(,(
2
x f x
处的一个质点,将它对x轴与y轴分别取静力矩微元可有
1
((
2
x
dM u f x f x dx
=
,
(
y
dM uxf x dx
=
.两个静力矩为2
1
(
2
b
x a
M u f x dx
=⋅
⎰
,
(
b
x a
M u xf x dx
=⎰.设质心坐标为(,
x y,则有(
y b
a
M u
x xf x dx
M M
==⎰
,
2
1
(
2
y b
a
M u
y f x dx
M M
==⎰
.其中
(
b
a
M u f
x dx MA
==
⎰
为该
均匀密度薄板的质量,A 为面积。
二.平面图形的重心: 给定一个曲线
12(,(,,y f x y f x x a x b
====围成的图形,它是一个物质平面图形,我
们考虑均匀的面密度,即单位面积的质量为常数,它
在图形的各部分都等于δ.将
所给图形用直线
1,,,n x a x x x x b
==== ,划分成宽为12,,,n x x x ∆∆∆ 的窄条,每个窄条的
质量等于它的面积和密度δ的乘积。如果每个窄条用以
i x ∆为底,高为21((i i
f f ξξ-的
矩形来代替,其中
12i i
i x x ξ-+=
,则这窄条的质量将近似等于
[]21(((1,2,,
i i
i i m f f x i n δξξ∆=-∆= ,这个窄条的重心将近似位于相应的矩形的重
心上:
21(((,(2i i i i i c f f x y ξξξ+==
现在把每个窄条用一个质点来代替,它的质量等
于对应窄条的质量,并且集中于该窄条的重心处,我们来求整个图形的重心坐标
的近似
值。
[][]2
1
2
1
((((i
i
i
i
c i
i
i
f f x
x f f x
ξδξξδξξ-∆≈
-∆∑∑,
[][][]1221211
((((2((i i i i i i c i i i
f f f f x y f f x ξξδξξδξξ+-∆≈
-∆∑∑当
max 0
i x ∆→时
取
极
限
,
则
得
[][]2
1
2
1
((((b a
c
b a
x f x f x dx x f x f
x dx
-=
-⎰⎰,
[][][]2121211((((2((b
a c b
a f x f x f x f x dx y f x f x dx
+-=-⎰⎰.这些公式任何均匀的平面图形都适用,可看
出重心的坐标是与密度无关的。例:求抛物线与直线所围成的重心的坐标(如图
解:在这种情况下,
21((f x f x ==因此
0520
235
2
5
a c x
a x
=
=
= ,
0c y =.
三.重心
1
.物体的重心是指物体各部分所受重力的合力的作用点,在生产实际中,常常要
确定物体的重心。例如:
炼钢用钢水包的包轴位置,就与钢水包的重心有关,如果包轴
低于重心,用天平调动钢包时就会翻转,
如果包轴高于重心过多,则倒出钢水时翻
转困难。因此,我们总是将包轴安装于略高于重心的地方,这时
显然需要确定重心的
位置。 本段将利用定积分来计算任意形状的均匀平面薄板的重心位置,显然,若于
其
重心处支持之,则此薄板必保持水平平衡而不倾斜。
设均匀薄板是由曲线
1(y
y x =,2(y y x =和直线x b =围成的平面图形,我们要求此
平面的重心(,G
x y ,用u 表示此薄板单位面积的重量,则微面积
s d 的重量为12(u y y dx
-,
其重心G 的坐标为
12
(,
2y y x
+,显然整个薄板的重量为12(b a u y y dx -⎰,由力学知,合力
对任一轴的力矩,等于各分力对该轴力矩之和,取对y 轴的力矩,得
1212((b b
a a u y y dx x ux y y dx ⎡⎤-⋅=-⎣⎦
⎰⎰,取对x 轴的力矩得
121212((2b b
a a y y u y y dx y u y y dx
+⎡⎤-⋅=-⋅⎣⎦
⎰⎰,由此两式,即得确定薄板重心坐标的公式:
1
2
121
2
2222
121212((((111((2
2(b b a a
b a
b b a
a
b
a x y y dx x y y dx
x s y y dx
y y dx
y y dx y s y y dx
⎫--⎪
==
-⎪
⎪⎬--⎪⎪
==⎪
-⎭⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
其中s
标薄板的面积,由公式(1知均匀薄板的重心只与薄板的形状有关,而与薄
板单位面积的重量无关。
特别,若
2(0y x ≡,则得曲边梯形薄板重心坐标公式:
b a
b a xydx x ydx =⎰⎰
,
2
12b
a
b a y dx y ydx =⎰⎰.
例:试求半径为R
的半圆形均匀薄板的重心。
解:由于
2
2R s π=
,1y =
2y =故知重心G 的坐标(,x y 为:
2
(22
2(40.42332
b R a
R
x y y dx
x
s
R R x R
R R πππ
-=
=
-=-⋅
=
≈⎰⎰,
22121(20
b a
y
y dx y s -=
=⎰
.
四.利用二重积分来求一般的非均匀薄板的重心
设有非均匀平面薄板D ,其上每点的密度为(,x y ρρ=,设薄板D 的重心坐标为
(,x y ,考虑D 中微面积dD ,它的微质量为: (,dm x y dD ρ=,它关于y
轴与x
轴的力矩分别为:
(,xdm x x y dD ρ=与(,ydm y x y
dD ρ=
把这些微质量的力矩加起来,即得薄板D 关于y 轴与x 轴的力矩为:
(,(,D
D
D
xdm x x y dD x x
y dxdy
ρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰与
(,(,D
D
D
ydm y x y dD y x y dxdy
ρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
薄板的总质量,于是根据重心的定义,得求重心坐标的公式:
(,(,(2
(,(,D
D
D
D D D xdm x x y dxdy x m
x y dxdy ydm y x y dxdy y m x y dxdy ρρρρ⎫⎪
=
=
⎪
⎪
⎪
⎬⎪⎪==⎪⎪⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
特别,若薄板是均匀的,即(,x y ρ=常数,则得求均匀薄板重心坐标公式:
D
xdxdy
x D
=
⎰⎰,
D
ydxdy
y D
=
⎰⎰.
对于均匀薄板,我们有
[]21(
(21((y x b
b a
y x a D
xdxdy dx
xdy x y x y x dx
==-⎰⎰⎰
⎰⎰,
[][]{}
2211(
2
(((22
21
21((2
y x y x b b
a y x a D y x
b
a y ydxdy dx ydy dx y x y x dx ⎛⎫
=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰故
(2
1b a
x y y dx
x D
-=
⎰,
(2
22112b a
== ⎪⎝⎭ ⎪
y y dx
y D -=
⎰
.
五.设一立体在空间占据区域T ,那么立体的体积为
T
V d x d y d z
=⎰⎰⎰
设(,,x y z
ρρ=,(,,x y z T ∈是立体在点(,,x y z 的密度,其中T
是它所占据的空间
区域,那么该立体的质量为 (,,T
M x y z dxdydz
ρ=⎰⎰⎰
立体重心的坐标公式为:
1T
x xdxdydz
V
=
⎰⎰⎰,
1T
y ydxdydz
V
=
⎰⎰⎰,
1T
z zdxdydz
V
=
⎰⎰⎰.
这里x ,y ,z 是区域T 的几何重心的坐标。
例:求平面0x =,0z =,1y =,3y =,23x z
+=所围之棱柱的重心坐标。
体积
33
3201
33
301
03
203(32
1
(3
292
解:先求棱柱的
z T
V dxdydz dx dy dz
x
dx
dy x dx x x -==-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
现在求重心的坐标
338
99x
T x xdxdydz xdx dy dz
-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 338
99x T y ydxdydz dx ydy dz
-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 338
2010221992x T z zdxdydz dx dy
zdz -===⎰⎰⎰⎰⎰⎰.
参考文献：《微积分与解析几何》 电子工业出版社， 1. ，
1985 年 11 月出
版， 作者：R ⋅ E ⋅ 约翰逊 F ⋅ L ⋅ 基奥克斯特。
2． 《微分与积分学》 吉林人
民出版社， ， 1983 年 9 月出版， 作者：N ⋅
PISKUNOV 3.《数学分析》 ，山东
科学技术出版社，1985 年出版，作者：郭大钧
陈玉妹 袭 卓明 4． 《高等数学解题
手册》 ，天津科学技术出版社，1983 年 12
月出版，作者：丹科 波波夫 科热夫尼
科娃。