老年人保健知识-陈小春谭耀文

,.
第2讲 空间几何体的表面积与体积
考点
考查柱、锥、台、 球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与
球的接切问题相结合，难度有所 增大．
【复习指导】
本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用 这些公式解决一些简
单的问题．

基础梳理
1．柱、锥、台和球的侧面积和体积

圆柱

面 积

体 积
S
侧
＝2π
rh V
＝
Sh
＝π
r
2
h

11
2< br>V
＝
Sh
＝π
rh
＝π
333
1
圆 锥
S
侧
＝π
rl
r
2
l
2
－
r
2

V
＝ (
S
上
＋
S
下
＋
S
上
S
下
)
h
圆台

1
S
侧
＝π(
r< br>1
＋
r
2
)
l
3
2
＝π(
r
2
1
＋
r
2
＋
r
1
r
2
)
h

3
1
直棱柱

正棱锥

S
侧
＝
Ch
1
S
侧
＝
Ch
′

2
1
S
侧
＝(
C
＋
C
′)
h
′

2
1
V
＝
Sh

V
＝
Sh

3
1
正棱台

V＝(
S
上
＋
S
下
＋
S
上
S< br>下
)
h

3

,.
球

2.几何体的表面积
S
2
球面
＝4π
R
V
＝π
R
3

3
4
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．
(2)圆柱、圆 锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与
底面面积之和．



两种方法
(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是 内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，
明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作 出合适的截面图，如球内切于正
方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接 于正方体，正方体
的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它 们的
轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作
出截面图．
(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体) 的面积(或
体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是
在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，
而 通过直接计算得到高的数值．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)圆柱的一个底面积为
S
，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆
柱的侧面积是( )．
A．4π
S
B．2π
S

,.
C．π
S
D.
2
3
3
π
S

解析 设圆柱底面圆的半径为
r
，高为
h
，则
r
＝
又
h
＝2π
r
＝2
答案 A
π
S
，∴
S
圆柱侧
＝(2π
S
)
2
＝4π
S
.
S
π
，
2．(2012·东北三校联考)设长方体的长、宽、 高分别为2
a
、
a
、
a
，其顶点都在一个球面上，
则该球的表面积为( )．
A．3π
a
2
B．6π
a
2
C．12π
a
2
D．24π
a
2

解析 由于长方体的长、宽、高分别为2
a
、
a
、
a
，则长方体的体对角线长为
＝6
a
.又 长方体外接球的直径2
R
等于长方体的体对角线，∴2
R
＝
2
a
2
＋
a
2
＋
a
2
6
a
.∴
S
球
＝4π
R
2
＝6π
a
2
.
答案 B

3．(2011·北京)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是
( )．
A．8
C．10




B．6
D．8
2
2
2，8,10，所以解析 由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,6
面积最大的是10，故选择C.
答案 C
4．(2011·湖南)设

,.

右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )．
9
A.π＋12 B.π＋18
22
C．9π＋42 D．36π＋18
解析 该几 何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边
3

4


3
9
2
长为3的正方形，高为2，故所求体积为2× 3＋π

＝π＋18.
3

2

2
答案 B
5．若一个球的体积为4
解析
V
＝
4π
3
3π，则它的表面积为________．
9
R
3
＝43π，∴
R
＝3，
S
＝4π
R< br>2
＝4π·3＝12π.
答案 12π


考向一 几何体的表面积
【例1】►(2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
( )．

,.

A．48
C．48＋817
B．32＋8
D．80
17
[审题视点] 由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积．
解析 换个视角看问题，该几何 体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯
形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为< br>答案 C
以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
【训练1】 若一
17，所以该几何体的表面积为48＋817.

个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( )．
A.3
3
B．2
D．6 C．2
解析 由正视图可知此三棱柱是一个底面边 长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱，则此
三棱柱的侧面积为2×1×3＝6.
答案 D
考向二 几何体的体积
【例2】►(2011·广东)如图，某几何体的正视图(主视图)是 平行四边形，侧视图(左视图)和俯

,.
视图都是矩形，则该几何体的体积为( )．

A．183 B．123 C．93 D．63
[审题视点] 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解．

解析 该几何体 为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正
方形，高为
答案 C
以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状
构成，并从 三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．
【训练2】 (2012·东莞模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )．

2816
A.π B.π
33
C.π＋8 D．12 π
3
解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱
和半径为1的球的组合体，则该几何体的体积为 π×2
2
×2＋
4
3
π
4
3，故
V
＝3×3×3＝93.

,.
28
＝π.
3
答案 A
考向三 几何体的展开与折叠
【例3】►(2012·广州模 拟)如图1，在直角梯形
ABCD
中，∠
ADC
＝90°，
CD∥
AB
，
AB
＝4，
AD
＝
CD
＝2 ，将△
ADC
沿
AC
折起，使平面
ADC
⊥平面
A BC
，得到几何体
DABC
，如图2
所示．

(1)求证：
BC
⊥平面
ACD
；
(2)求几何体
DABC
的体积．
[审题视点] (1)利用线面垂直的判 定定理，证明
BC
垂直于平面
ACD
内的两条相交线即可；(2)
利 用体积公式及等体积法证明．
(1)证明 在图中，可得
AC
＝
BC
＝22，

从而
AC< br>2
＋
BC
2
＝
AB
2
，故
AC⊥
BC
，
取
AC
的中点
O
，连接
DO
，
则
DO
⊥
AC
，又平面
ADC
⊥平面
ABC
，平面
ADC
∩平面
ABC
＝
AC
，
DO
⊂平面
ADC
，从而
DO
⊥平面
ABC
，∴
DO
⊥
BC
，
又
AC
⊥
BC
，
AC
∩
DO
＝
O
，∴
BC
⊥平面
ACD
.
(2)解 由(1)可知，
BC
为三棱锥
BACD
的高，
B C
＝22，
S
△
ACD
＝2，∴
V
BACD
＝

,.
11
S
△
ACD
·
B C
＝×2×2
33
2＝
4
3
2
，
4
3
2
由等体积性可知，几何体
DABC
的体积为.
(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图
形)各 元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．
(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择 恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点
间的最短距离问题．
【训练3】 已知

在直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，底面 为直角三角形，∠
ACB
＝90°，
AC
＝6，
BC
＝CC
1
＝
是
BC
1
上一动点，如图所示，则
C P
＋
PA
1
的最小值为________．
解析
PA< br>1
在平面
A
1
BC
1
内，
PC
在平 面
BCC
1
内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．计
算
A
1
B
＝
AB
1
＝40，
BC
1
＝2，又
A
1
C
1
＝6，故△
A
1
BC
1
是∠
A
1
C
1
B
＝90°的直角三角形．铺
2，
P
平平面
A
1
BC
1
、平面
BCC
1
，如图所示．

CP
＋
PA
1
≥
A
1
C
.
在△
AC
1
C
中，由余弦定理得
A
1
C
＝
答案 5

6
2
＋
2
2
2
－2·6·2·cos 135° ＝50＝52，故(
CP
＋
PA
1
)
min
＝52 .

,.
难点突破17——空间几何体的表面积和体积的求解 < br>空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各
类空间 几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成
几个规则几何体的技 巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体
作其轴截面的技巧、通过方程或方 程组求解的技巧等，这是化解空间几何体面积和体积计算
难点的关键．
【示例1】► (2010·安徽)一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为
( )．

A．280 B．292 C．360 D．372

【示例2】► (20 11·全国新课标)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都
在同一个球面上．若圆锥 底面面积是这个球面面积的
与体积较大者的高的比值为________．
，则这两个圆锥中，体积较小者的高
16
3

,.