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图形与几何
一 线和角
（1）线
* 直线
直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。
* 射线
射线只有一个端点；长度无限。
* 线段
线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。
* 平行线
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
两条平行线之间的垂线长度都相等。
* 垂线
两条直线相交成直角时， 这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,
相交的点叫做垂足。
从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。
（2）角
（1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做
角的边。
（2）角的分类
锐角：小于90°的角叫做锐角。
直角：等于90°的角叫做直角。
钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。
周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。
二 平面图形
1长方形
（1）特征
对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。
（2）计算公式

1

c=2(a+b) s=ab
2正方形
（1）特征：
四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。
（2）计算公式
c= 4a
s=a2
3三角形
（1）特征
由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。
（2）计算公式
s=ah2
（3） 分类
按角分
锐角三角形 ：三个角都是锐角。
直角三角形 ：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。
钝角三角形：有一个角是钝角。
按边分
不等边三角形：三条边长度不相等。
等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。

等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。
4平行四边形
（1） 特征
两组对边分别平行的四边形。
相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。
（2） 计算公式
s=ah
5 梯形
（1）特征

2

只有一组对边平行的四边形。
中位线等于上下底和的一半。
等腰梯形有一条对称轴。
（2） 公式
s=(a+b)h2=mh
6 圆
（1） 圆的认识
平面上的一种曲线图形。
圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。
在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。
同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。
同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。
圆的大小由半径决定。 圆有无数条对称轴。
（2）圆的画法
把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；
把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上；
把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。
（3） 圆的周长
围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母π表示。
（4） 圆的面积
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
（5）计算公式
d=2r r=d2 c=πd c=2πr s=πr2
7扇形
（1） 扇形的认识
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
圆上AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。

3

顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。
扇形有一条对称轴。
(2) 计算公式
s=nπr2360
8环形
(1) 特征
由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。
(2) 计算公式
s=π(R2-r2）
9轴对称图形
(1) 特征
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折< br>痕所在的这条直线叫做对称轴。
正方形有4条对称轴， 长方形有2条对称轴。
等腰三角形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴。
等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴。
菱形有4条对称轴，扇形有一条对称轴。
三 立体图形
（一）长方体
1 特征
六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。
相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。
有8个顶点。
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。
两个面相交的边叫做棱。
三条棱相交的点叫做顶点。
把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。
长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。


4

2 计算公式
s=2(ab+ah+bh)
V=sh
V=abh
（二）正方体
1 特征
六个面都是正方形
六个面的面积相等
12条棱，棱长都相等
有8个顶点
正方体可以看作特殊的长方体
2 计算公式
S表= 6a 2
v=a3
（三）圆柱
1圆柱的认识
圆柱的上下两个面叫做底面。
圆柱有一个曲面叫做侧面。
圆柱两个底面之间的距离叫做高 。
进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些 ，因此，要保留数的时候，省略的
位上 的是4或者比4小，都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。
2计算公式
s侧=ch
s表=s侧+s底×2
v=sh3

（四）圆锥
1 圆锥的认识
圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。
从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。

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测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出
平板 和底面之间的距离。
把圆锥的侧面展开得到一个扇形。 2计算公式
v= sh3
（五）球
1 认识
球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。
球和圆类似，也有一个球心，用O表示。
从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用r表示，每条半径都相等。
通过球心并 且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，用d表示,每条直径都相等,直径的长
度等于半径的2倍，即 d=2r。
2 计算公式 d=2r
1．甲、乙两队进行象棋对抗赛，甲队的三 人是张、王、李，乙队的三人是赵、钱、孙，按
照以往的比赛成绩看，张能胜钱，钱能胜李，李能胜孙， 但是第一轮的三场比赛他们都没有
成为对手．请问：第一轮比赛的分别是谁对谁？
2．甲、乙 、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，甲
已经赛了4盘，乙赛了3 盘，丙赛了2盘，丁赛了1 盘．问：小强已经赛了几盘？分别与
谁赛过？
3．甲、乙、丙三 名选手参加马拉松比赛，起跑后甲处在第一的位置，在整个比赛过程中，
甲的位置共发生了7次变化．比 赛结束时甲是第几名？（注：整个比赛过程中没有出现三人
跑在同一位置的情形．）
4．有1 0名选手参加乒乓球单打比赛，每名选手都要和其它选手各赛一场，而且每场比赛都
分出胜负，请问：（ 1）总共有多少场比赛？
（2）这10名选手胜的场数能否全都相同？
（3）这10名选手胜的场数能否两两不同？
5．6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间 都比赛一场．每场比赛胜者得3分，负者得0
分，平局各得1分，请问：
（1）各队总分之和最多是多少分？最少是多少分？
（2）如果在比赛中出现了6场平局，那么各队总分之和是多少？
6．红、黄、蓝三支乒乓球 队进行比赛，每队派出3名队员参赛．比赛规则如下：参赛的9
名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜 场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一
名得9分，第二名得8分，…，第九名得1分；除产生 个人名次外，每个队伍还会计算各自
队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次．最后，比赛结果 没有并列名次．其中个
人评比的情况是：第一名是一位黄队队员，第二名是一位蓝队队员，相邻的名次的 队员都不
在同一个队．团体评比的情况是：团体第一的是黄队，总分16分；第二名是红队，第三名是蓝队．请问：红队队员分别得了多少分？
7．5支球队进行单循环赛，每两队之间比赛一场，每 场比赛胜者得3分，负者得0分，打
平则双方各得1分，最后5支球队的积分各不相同，第三名得了7分 ，并且和第一名打平．请
问：这5支球队的得分，从高到低依次是多少？

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8．有A、B、C三支足球队，每两队比赛一场，比赛结果为：A：两胜，共 失2球；B：进
4球，失5球；C：有一场踢平，进2球，失8球．则A与B两队间的比分是多少？ < br>9．一次考试共有10道判断题，正确的画“√”，错误的画“×”，每道题10分，满分为100分．甲 、
乙、丙、丁4名同学的解答及甲、乙、丙3名同学得分如下表所示．丁应得 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1得
学生 0 分
× × √ √ × × √ × √ √
70 甲
× √ × √ √ × × √ √ ×
70 乙
√ × × × √ √ √ × × ×
60 丙
× √ × √ √ × √ × √ ×
丁
10．赵、钱、孙、李、周5户人家，每户至少订了 A、B、C、D、E这5种报纸中的一种．已
知赵、钱、孙、李分别订了其中的2、2、4、3种报纸， 而A、B、C、D这4种报纸在这5
户人家中分别有1、2、2、2家订户．周姓订户订有这5种报纸中 的几种？报纸E在这5户
人家中有几家订户？



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