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二项分布、超几何分布数学期望与方差公式的推导

高中教材中对二项分布和超 几何分布数学期望与方差公式没有给出推导公式，现笔者给
出一推导过程仅供参考。

预备公式一

kk1
kC
n
nC
n
，利用组合数计算公式即可证明。

1
（
n1
）
预备公式二

2
D(
)E(

2
)

E(

)
，证明过程可见教材。

预备公式三

kk2
k( k1)C
n
n(n1)C
n
，利用组合数计算公式即可证明。

2
（
n2,k2
）
预备公式四

0k1k 12k2k0k
C
n
C
m
C
n
C
m< br>C
n
C
m


C
n
C
m
C
mn
(m,n,kN

,km,kn)
，利 用恒等
式
(1x)
mn
(1x)
n
(1x)m
的二项展开式中
x
k
的系数相等可证。

一、二项分布

在
n
次独立重复试验中，每次试验中事件
A
发生的概率为
p
（
0p1
），事件
A
发生次数为

，则

的概率分布列为：



P

0 1 2
o2
C
n
p(1p)
n2
…

…

k

ok
C
n
p(1p)
nk
…

…

n

on
C
n
p(1p)
0

o0o1
C< br>n
p(1p)
n
C
n
p(1p)
n1
1.
二项分布的数学期望

E(

)

kCp( 1p)
k
n
k
k0
n
n
nk

kCp(1p)
k
n
k
k1
n
nkk 1knk


nC
n
p(1p)
1
k1
n

k1k1
np

C
n
(1p )
nk
np(1pp)
n1
np
1
p
k1
2.
二项分布的方差

D(

)E(

)

E(

)



kCp( 1p)
2
2
2k
n
k
k0
n
nkk k
(np)

k
2
C
n
p(1p)
nk
n
2
p
22
k1
n


k(k1)Cp(1p)
k
n
k
k1
n
n
nkkk


kC
n
p(1p)
nk
n< br>2
p
2
k1
k2knk
E(

) np

n(n1)C
n
npn
2
p
22
p(1p)
22
k2
n
n


k(k1)Cp(1p)
k
n
k
k2
nk
n( n1)p
np(1p)
2

C
k2
n
k 2
n2
p
k2
(1p)
nk
npn
2
p
2
n(n1)p
2
(1pp)
n2
 npn
2
p
2

二、超几何分布

一批产品 共
N
件，其中有
M
件不合格品，
N
-
M
件 合格品，从中随机取出
n
件产品中，
不合格品数
X
的概率分布列为：

X

P

0
0n
C
M
C
NM

n
C
N
1
1n1
C
M
C
NM

n
C
N
2
2n2
C
M
C
NM

n
C
N
…

…

k

knk
C
M
C
NM

n
C
N
…

…

m

mnm
C
M
C
NM

n
C
N
其中

m
=
min
（
n
，
M
）。


1.
超几何分布的数学期望

knkknk
m
C
M
C
N
CC
M
E(X)

k< br>
k
M
n
NM
n
C
N
C
N
k0k1
m

M

n
C
N


k1nk

C
M1
C
NM

k1
m
M
0n11n2m1nm
C
M1
C
NM
C
M1
C
NM


C< br>M1
C
NM
n
C
N

M
n 1
C
N
（利用预备公式四可得）
1
n
C
NMn!(Nn)!(N1)!nM

N!(n1)!(Nn)!N2.
超几何分布的方差

knk
C
M
C
N< br>
nM

M
D(X)E(X)

E(X)


k

n
C
N

N

k0
2
2
m
2
m
2
2knkknkknk
mm
C
M
C
N
C
M
C
N

nM

nM

2
CM
C
NMMM



kkk1k 


nnn
CNCCN

k2
 
k1k1
NNN
2
M(M1)
m
k2nknM

nM

CC


M2NM
n
C
N
N

N

k2
M(M 1)
n2
nM

nM

C
N2
 

n
C
N
N

N

2
2

2
M(M1)n

n1

nM

nM



N

N1
N

N

nM

Nn

NM< br>

NN

N1

nMMn1
(1 )(1)
NNN1

3.
超几何分布的数学期望和方差与二项分布的数学期望和方差的关系

根据极限知识，很容易得到：

在超几何分布中，当
N
时，< br>M
p
（二项分布中的
p
）

N

（
1
）当
N
时，超几何分布的数学期望
E(X)n的数学期望）

（
2
）当
N
时，超几何分布的方差

MnpE(X)
（二项分布
N
D(X)n
M

M< br>
n1


1

1

 np(1p)
（二项分布的方差）

N

N

N1

（
3
）当
N
时，超几何分布可近似为二项分 布。