松柏盆景-石柱周小燕

夏天的旋律是紧张的，人们的每一根神经都被绷紧。你看田间那些挥镰的农民，弯着腰，流着汗， 只是想着快割，快割；麦子上场了，又想着快打，快打。他们早起晚睡亦够苦了，半夜醒来还要听听窗纸，可是起 了风；看看窗外，天空可是遮上了云。麦子打完了，该松一口气了，又得赶快去给秋苗追肥、浇水。

新人教版必修二高中数学空间几何体的表面积与体积教案

§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
一、教材分析

本节一开始的“思考”从 学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分
析展开图与其表面积的关系，目的有两个：其一，复习表面 积的概念，即表面积
是各个面的面积的和；其二，介绍求几何体表面积的方法，把它们展成平面图形，< br>利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.

接着，教科书安排了一个 “探究”，要求学生类比正方体、长方体的表
面积，讨论棱柱、棱锥、棱台的表面积问题，并通过例1进 一步加深学生的认识.
教学中可以引导学生讨论得出：棱柱的展开图是由平行四边形组成的平面图形，< br>棱锥的展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的展形图是由梯形组成的平面图
形.这样，求它们 的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形和梯形的面积
问题.

教科 书通过“思考”提出“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它
们的表面积？”的问题.教学中可引导 学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特
征，在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形，圆锥 的侧面可以展开成
为一个扇形的结论，随后的有关圆台表面积问题的“探究”，也可以按照这样的
思路进行教学.值得注意的是，圆柱、圆锥、圆台都有统一的表面积公式，得出这
些公式的关键是要分 析清楚它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边
长之间的关系，教学中应当引导学生认真分析 ，在分别学习了圆柱、圆锥、圆台
的表面积公式后，可以引导学生用运动、变化的观点分析它们之间的关 系.由于圆
柱可看成上下两底面全等的圆台；圆锥可看成上底面半径为零的圆台，因此圆柱、
圆 锥就可以看成圆台的特例.这样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的
表面积公式之下.

关于体积的教学.我们知道，几何体占有空间部分的大小，叫做几何体的
体积.这 里的“大小”没有比较大小的含义，而是要用具体的“数”来定量的表示
几何体占据了多大的空间，因此 就产生了度量体积的问题.度量体积时应知道：①
完全相同的几何体，它的体积相等；②一个几何体 的体积等于它的各部分体
积的和.体积相等的两个几何体叫做等积体.相同的两个几何体一定是等积体， 但
两个等积体不一定相同.体积公式的推导是建立在等体积概念之上的.

柱 体和锥体的体积计算，是经常要解决的问题.虽然有关公式学生已有所
了解，但进一步了解这些公式的推 导，有助于学生理解和掌握这些公式，为此，
教科书安排了一个“探究”，要求学生思考一下棱锥与等底 等高的棱柱体积之间
的关系.教学中，可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论.

与讨论表面积公式之间的关系类似，教科书在得出柱体、锥体、台体的
体积公式后 ，安排了一个“思考”，目的是引导学生思考这些公式之间的关系，
建立它们之间的联系.实际上，这几 个公式之间的关系，是由柱体、锥体和台体之
间的关系决定的.这样，在台体的体积公式中，令S′=S ，得柱体的体积公式；令
S′=0，得锥体的体积公式.

值得注意的是在教学过程中，要重视发挥思考和探究等栏目的作用，培

1 18

夏天的旋律是紧张的，人们的每一根神经都被绷紧。你看田间那些挥镰的农民，弯着腰，流着汗， 只是想着快割，快割；麦子上场了，又想着快打，快打。他们早起晚睡亦够苦了，半夜醒来还要听听窗纸，可是起 了风；看看窗外，天空可是遮上了云。麦子打完了，该松一口气了，又得赶快去给秋苗追肥、浇水。
< br>养学生的类比思维能力，引导学生发现这些公式之间的关系，建立它们的联系.本
节的重点应放在 公式的应用上，防止出现：教师在公式推导过程中“纠缠不止”，
要留出“空白”，让学生自己去思考和 解决问题.如果有条件，可以借助于信息技
术来展示几何体的展开图.对于空间想象能力较差的学生，可 以通过制作实物模
型，经过操作确认来增强空间想象能力.

二、教学目标

1．知识与技能

（1）了解柱体、锥体与台体的表面积（不要求记忆公式）.

（2）能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积.

（3）培养学生空间想象能力和思维能力.

2．过程与方法

让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，培养转化化归能力.

3．情感、态度与价值观

通过学习，使学生感受到几面体表面积的求解过程，激发学 生探索创新的意
识，增强学习的积极性.

三、重点难点

教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用.

教学难点：表面积和体积计算公式的应用.

四、课时安排

1课时

五、教学设计

（一）导入新课

思路1 .在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及
公式，哪些几何体可以求出表面积 和体积？（引导学生回忆，互相交流，教师归
类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、 锥体、台体的侧面展
开图是怎样的？你能否计算？

思路2.被誉为世界七大奇迹之首 的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁
塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世 界上最高的建筑物.
在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.
胡夫大金字塔是一个 正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你
能计算建此金字塔用了多少石块吗？< br>
（二）推进新课、新知探究、提出问题

①在初中，我们已经学习了 正方体和长方体的表面积，以及它们的展开
图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗 ？

正方体及其展开图(1) 长方体及其展开图(2)

图1

②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围 成的几何体，它们的展开图是什
么？如何计算它们的表面积？

③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？

④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画

2 18

夏天的旋律是紧张的，人们的每一根神经都被绷紧。你看田间那些挥镰的农民，弯 着腰，流着汗，只是想着快割，快割；麦子上场了，又想着快打，快打。他们早起晚睡亦够苦了，半夜醒来还要听 听窗纸，可是起了风；看看窗外，天空可是遮上了云。麦子打完了，该松一口气了，又得赶快去给秋苗追肥、浇水 。

出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的
表面积吗？

⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？

活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.

②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.

③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.

④学生思考圆台的侧面展开图的形状.

⑤提示学生用动态的观点看待这个问题.

讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面 图形围成的几何体，它们的表面
积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平 面图形求
面积的方法，求立体图形的表面积.

②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其 表面积等于围成棱柱的各个面的面积
的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围 成棱锥的各
个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成
棱台 的各个面的面积的和.

③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求 得它
们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱
的侧面展 开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.

我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（ 图2）.如果圆柱的底面半径
为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl. 因此，圆柱的
表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).

图2 图3

圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l).

点评：将空间图形问题转 化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、
常用的方法.

④圆台的侧面展开图 是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的
面积和加上侧面的面积，即S=π(r2+r′ 2+rl+r′l).

图4

⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：

圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下
底面全等的圆台 ，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，
不难发现：

S圆柱表 =2πr(r+l)S圆台表=π(r1l+r2l+r12+r22)S圆锥表
rrr0,r r

r


=πr(r+l).

从 上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积
公式演变而来.

提出问题

①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种 形式
吗？并依次类比出柱体的体积公式？

②比较柱体、锥体、台体的体积公式：

1212

3 18