高一数学空间几何体的表面积和体积知识点及题型例题
妒忌-演艺活动
1-9页
空间几何体的表面积和体积例题解析
一.课标要求
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆,理解为主)。
二.命题走向----
用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式;
三.要点精讲
1.多面体的面积和体积公式
名称
棱
柱
棱
锥
棱
台
棱柱
直棱柱
棱锥
正棱锥
棱台
正棱台
侧面积(S
侧
)
直截面周长×l
ch
各侧面积之和
全面积(S
全
)
体 积(V)
S
侧
+2S
底
S
底
·h=S
直截面
·h
S
底
·h
1
S
3
1
h(S
3
底
·h
1
ch′
2
各侧面面积之和
S
侧
+S
底
S
侧
+S
上底
+S
下底
上底
+S
下底
1
(c+c′)h′
2
+
S
下底
S
下底
)
表中S表示面积,c′、c分别表示上、下底面周长,h表斜高,h′表示斜高,l表示侧棱长。
2.旋转体的面积和体积公式
名称 圆柱
2πrl
2πr(l+r)
πr
2
h(即πr
2
l)
圆锥
πrl
πr(l+r)
圆台
π(r
1
+r
2
)l <
br>π(r
1
+r
2
)l+π(r
2
1
+r2
2
)
球
4πR
2
S
侧
S
全
V
1
2
πr
h
3
1
πh(r
2
1
+r
1
r
2
+r
2
2
)
3
4
πR
3
3
表中l、h分别表示母线、高,r
表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r
1
、r
2
分别表示圆台
上、
下底面半径,R表示半径。
四.典例解析
题型1:柱体的体积和表面积
- 1 -
1-9页 <
br>例1.一个长方体全面积是20cm
2
,所有棱长的和是24cm,求长方体的对角线长
.
解:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm
(1)
2(xyyzzx)20
依题意得:
(2)
4(xyz)24
由(2)
2
得:x
2
+y
2
+z
2
+2xy+2yz+2xz=36(3)
由(3)-(1)得x
2
+y
2
+z
2
=16
即
l
2
=16所以
l
=4(cm)。
点评:涉及
棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表
面积多被考察。我们平常的学
习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、
体积之间的关系。
例2.如图1
所示,在平行六面体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,已知AB=5,AD=4,AA
1
=3,
AB⊥AD,∠A
1<
br>AB=∠A
1
AD=
。
3
(1)求证:顶点A
1
在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上;
(2)求这个平行六面体的体积。
图1
图2
解析:(1)如图2,连结A
1
O,则A
1
O⊥底面ABCD
。作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD
交AD于N,连结A
1
M,A
1<
br>N。由三垂线定得得A
1
M⊥AB,A
1
N⊥AD。∵∠A
1
AM=∠A
1
AN,
∴Rt△A
1
NA≌Rt△A
1
MA,∴A
1
M=A
1
N,从而OM=ON。∴点O在∠BAD
的平分线上。
- 2 -
1-9页
133
AM
2
。 =3×=∴AO==
232
2
cos
4
99
又在Rt△AOA
1
中,A
1O
2
=AA
1
2
– AO
2
=9-=, <
br>22
(2)∵AM=AA
1
cos
∴A
1
O=
32
32
,平行六面体的体积为
V54
302
。
2
2
题型2:柱体的表面积、体积综合问题
例3.一个长方体共一顶点的三
个面的面积分别是
2,3,6
,这个长方体对角线的长是
A.2
3
B.3
2
C.6 D.
6
解析:
设长方体共一顶点的三边长分别为
a
=1,
b
=
2
,
c
=
3
,则对角线
l
的长为
l
=
a2
b
2
c
2
6
;答案D。
点评:解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。
例4.如图,
三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中,若E、F分别为AB、A
C 的中
点,平面EB
1
C
1
将三棱柱分成体积为V
1、V
2
的两部分,那么V
1
∶V
2
= ____
_。
解:设三棱柱的高为h,上下底的面积为S,体积为V,则V=V
1
+
V
2
=Sh。
∵E、F分别为AB、AC的中点,∴S
△AEF
=
V
1
=
1
S,
4
1
175
1
h(S+S+
S
)=
Sh
V
2
=Sh-V
1
=Sh,
3
412
4
12
∴V
1
∶V
2
=7∶5。
点评:解题的关键是棱柱、
棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间的对应
关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可
。
题型3:锥体的体积和表面积
例5.在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB
E
A
- 3 -
P
D
O
C
B
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=60,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB
与平面ABCD所成的角为60,
求四棱锥P-ABCD的体积?
解:(1)在四棱锥P-
ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成
的角,∠PBO=60°。
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,
于是PO=BOtan60°=
3
,而底面菱形的面积为2
3
。 <
br>∴四棱锥P-ABCD的体积V=
1
×2
3
×
3
=2
。
3
点评:本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力<
br>方面主要考查空间想象能力。
例6.在三棱锥
S
—
ABC
中
,∠
SAB
=∠
SAC
=∠
ACB
=90°,且
A
C
=
BC
=5,
SB
=5
5
。(如图所示)(Ⅰ)
证明:
SC
⊥
BC
;
(Ⅱ)求侧面
SBC
与底面
ABC
所成二面角的大小;
(Ⅲ)求三棱锥的体积
V
S
-
AB
C
。
解析:(Ⅰ)证明:∵∠
SAB
=∠
SAC
=90°,
∴
SA
⊥
AB
,
SA
⊥
A
C。
又
AB
∩
AC
=
A
,
∴
SA
⊥平面
AB
C。
由于∠
ACB
=
90°,即
BC
⊥
AC
,由三垂线定理,得
SC
⊥
BC
。
(Ⅱ)解:∵
BC
⊥
AC
,
SC
⊥
BC
。
∴∠
SCA
是侧面
SCB
与底面
ABC
所成二面角的平面角。
在Rt△
SCB
中,
BC
=5,
SB
=5
5
,得
SC
=
SB
2
BC
2
=
10。
AC51
,
SC102
在Rt△
SAC中
AC
=5,
SC
=10,cos
SCA
=
- 4 -
1-9页
∴∠
SCA
=60°,即侧
面
SBC
与底面
ABC
所成的二面角的大小为60°。
(Ⅲ)解:在Rt△
SAC
中,
∵
SA
=
SC<
br>2
AC
2
10
2
5
2
75
,
S
△
ABC
=
25
11·
AC
·
BC
=×5×5=,
22
2
11251253
·
S
△
ACB
·
SA
=
。
75
3
326
∴
V
S
-ABC
=
点评:本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一
定的
洞察力,并进行一定的逻辑推理。
题型4:锥体体积、表面积综合问题
例7.
ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GB垂直于正方形ABCD
所在的平面
,且GC=2,求点B到平面EFC的距离?
解:如图,取EF的中点O,连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B-EFG。
设点B到平面EFG的距离为h,BD=
42
,EF
22
,CO=
G
。
OCOGC
(322)
18
42
2
2222
3
×4232
。
4
而GC⊥平面ABCD,且GC=2。
V
由
V
,得
BEFGGEFB
1
1
EF·GO·h
S
△E
FB
·
6
3
点评:该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问
题来求解。构造以点B
为顶点,△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键,利用同一
A
O
D
F
- 5 -
B
E
C
1-9页
个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法,从而简化了运算。
例8.如图,在四面体
ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球
心O,且与BC,DC分别截于
E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A
-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积
分别是S
1
,S
2
,则必有( )
A.S
1
S
2
B.S
1
S
2
C.S
1
=S
2
D.S
1
,S
2
的大小关系不能确定
解:连OA、OB、OC、OD,
则V
A-BEFD
=V
O-AB
D
+V
O-ABE
+V
O-BEFD
V
A-EF
C
=V
O-ADC
+V
O-AEC
+V
O-EFC
又V
A-BEFD
=V
A-EFC
,
而每个三棱锥的高都是原四面
体的内切球的半径,故S
ABD
+S
ABE
+S
BEFD
=
S
ADC
+S
AEC
+
S
EFC
又面AEF公共,
故选C
点评:该题通过复合平面图形的分割过程,增加了题目处理的难度,求解棱锥的体积、
表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。
题型5:棱台的体积、面积及其综合问题
例9.如图9—24,在多面体
ABCD<
br>—
A
1
B
1
C
1
D
1
中,
上、下底面平行且均为矩形,相对
的侧面与同一底面所成的二面角大小相等,侧棱延长后相交于
E
,
F
两点,上、下底面矩形的
长、宽分别为
c
,
d
与
a
,
b
,且
a
>
c
,
b
>
d
,两底面间的距离为
h
。
(Ⅰ)求侧面
ABB
1
A
1
与底面
ABCD
所成二面角的大小;(Ⅱ)证
明:
EF
∥面
ABCD
;
(Ⅲ)在估测该多面体的体积时,经常运
用近似公式
V
估
=
S
中截面
·
h
来计算.
已知它的体积
公式是
V
=
h
(
S
上底面
+
4
S
中截面
+
S
下底面
),试判断
V
估<
br>与
V
的大小关系,并加以证明。
6
(注:与两个底面平行,且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面)
- 6 -
1-9页
(Ⅰ)解:过
B
1
C
1
作底面
ABCD
的垂直平面,交底面于
PQ
,过
B
1
作
B
1
G
⊥
PQ
,垂足为
G
。
如图所示:∵平面
ABCD
∥平面
A
1
B<
br>1
C
1
D
1
,∠
A
1
B
1
C
1
=90°,
图
∴
AB
⊥
PQ,
AB
⊥
B
1
P
.
∴∠
B
1
PG
为所求二面角的平面角.过
C
1
作
C
1H
⊥
PQ
,垂足为
H
.由于相对侧面与底面所成
二面角
的大小相等,故四边形
B
1
PQC
1
为等腰梯形。
∴PG
=
2h
1
(
b
-
d
),又
B
1
G
=
h
,∴tan
B
1
PG
=(
b
>
d
),
2
bd
2h2h
,即所求二面角的大小为arctan.
bd
bd
∴∠
B
1
PG
=arctan
(Ⅱ)证明:∵
AB
,
CD
是矩形
ABCD
的一组对边,有
AB
∥
CD
,
又
CD
是面
ABCD
与面
CD
EF
的交线,∴
AB
∥面
CDEF
。
∵
EF是面
ABFE
与面
CDEF
的交线,∴
AB
∥
EF
。
∵
AB
是平面
ABCD
内的一条直线,
E
F
在平面
ABCD
外,∴
EF
∥面
ABC
D。
(Ⅲ)
V
估
<
V
。
hacbdacbd
)
h
证明:∵
a>
c
,
b
>
d
,∴
V
-
V<
br>估
=
(cdab4
62222
=
hh
[2cd
+2
ab
+2(
a
+
c
)(
b<
br>+
d
)-3(
a
+
c
)(
b
+d
)]=(
a
-
c
)(
b
-
d
)>0。
1212
∴
V
估
<
V
。
点
评:该题背景较新颖,把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则
几何体(拟柱体)中
,能考查考生的应变能力和适应能力,而第三步研究拟柱体的近似计算
公式与可精确计算体积的辛普生公
式之间计算误差的问题,是极具实际意义的问题。考查了
考生继续学习的潜能。
-
7 -
1-9页
例10.(1)如果棱台的两底面积分别是
S、
S
′,中截面的面积是
S
0
,那么( )
A.
2
S
0
SS
B.
S
0
S
S
C.2
S
0
=
S
+
S
′
D.
S
0
2
=2
S
′
S
(2)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为( )
A.32
3
B.28
3
C.24
3
D.20
3
解析:(1)解析:设该棱台为正棱台来解即可,答案为A;
(2)正六棱台上下底面面积分
别为:
S
上
=6·
3
2
3
2
·2=63
,
S
下
=6··4=24
3
,
44
V
台
=
h
(
S
上
S
上
S下
S
下
)
283
,答案B。
点评:本题
考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解,此种
解法在解选择题时很普遍,如
选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。
题型6:圆柱的体积、表面积及其综合问题
例11.一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )
A.
1
3
12
2
B.
14
12
C.
4
D.
14
2
解
析:设圆柱的底面半径为
r
,高为
h
,则由题设知
h
=2π
r
.
∴
S
全
=2π
r
2
+(2
π
r
)
2
=2π
r
2
(1+2π).
S<
br>侧
=
h
2
=4π
2
r
2
,∴
S
全
12
。答案为A。
S
侧
2
点评:本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。
例12.如图9—9
,一个底面半径为
R
的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为
R
r<
br>的实心铁球,水面高度恰好升高
r
,则= 。
r
- 8 -
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解析:水面高度升高
r<
br>,则圆柱体积增加π
R
2
·
r
。恰好是半径为
r的实心铁球的体积,因
此有
4
3
R23
23
π
r
=π
R
2
r
。故
。答案为。
33
r3
点评:本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。
题型7:圆锥的体积、表面积及综合问题
例13.(1)在△
ABC
中,<
br>AB
=2,
BC
=1.5,∠
ABC
=120°(如图所示)
,若将
△
ABC
绕直线
BC
旋转一周,则所形成的旋转体的体积是(
)
A.
9
π
2
B.
7
π
2
C.
5
π
2
D.
3
π
2
(2)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为
A.3π
B.3
3
,则这个圆锥的全面积是
D.9π
3
π
C.6π
解析:(1)如图所示,该旋转体的体积为圆锥
C
—
A
DE
与圆锥
B
—
ADE
体积之差,又∵求得
AB
=
1。
∴
VV
CADE
V
BADE
(2
)∵
S
=
1513
3
<
br>31
,答案D。
3232
11
ab
sin
θ,∴
a
2
sin60°=
3
,
22
∴
a
2
=4,
a
=2,
a
=2
r
,∴
r
=1,
S
全
=2π
r
+π
r
2
=2π+π=3π,答案A。
点评:通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图
形的处理能力是
空间想象力深化的标志,是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。
例1
4.如图所示,
OA
是圆锥底面中心
O
到母线的垂线,
OA
绕轴旋转一周所得曲面将
圆锥分成相等的两部分,则母线与轴的夹角的余弦值为( )
1
11
A. B. C.
3
2
22
D.
1
4
2
- 9 -
1-9页
解析:如图所示,由题意知,1
1
2
π
r
h
=
π
R
2h
,
3
6
2
rOA
R
RR
∴
r
=. 又△
ABO
∽△
CAO
,∴
,∴<
br>OA
2
=
r
·
R
=
,OA
4,∴cosθ
OAR
2
22
=
OA1
4,答案为D。
R
2
点评:本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。
题型8:球的体积、表面积
例15.已知过球面上
A,B,C
三点的截面和
球心的距离为球半径的一半,且
ABBCCA2
,求球的表面积。
解:设截面
圆心为
O
,连结
O
A
,设球半径为
R
,
则
O
A
2323
,
2<
br>323
222
在
RtO
OA
中,
OA
O
AO
O
,
∴
R(
2
4
64
23
2
1
2
)R
,∴
R
,∴
S4
R
2
。
3
9
34
点评:
正确应用球的表面积公式,建立平面圆与球的半径之间的关系。
例16.如图所示,球面上有四个点P
、A、B、C,如果PA,PB,PC两两互相垂直,且
PA=PB=PC=
a
,求这
个球的表面积。
解析:如图,设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r,圆心为O′,球
心到该圆面的距
离为d。
在三棱锥P—ABC中,∵PA,PB,PC两两互相垂直,且PA
=PB=PC=
a
,
- 10 -
1-9页
∴AB=BC=CA=
2
a
,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O
′。
由正弦定理,得
2a6
=2r,∴r=
a
。
s
in60
3
又根据球的截面的性质,有OO′⊥平面ABC,而PO′⊥平面ABC, ∴P、O、O′共线,球的半径R=
r
2
d
2
。又PO′=<
br>PA
2
r
2
=
a
2
3
2
2
a
,
a
=
3
3
∴OO′=R -
3
3
a
=d=
R
2
r
2
,(R-
3
3
a
)
2
=R
2
–
(
6
2
3
a
),解得R=
a
,
32
∴S
球
=4πR
2
=3πa
2
。 <
br>点评:本题也可用补形法求解。将P—ABC补成一个正方体,由对称性可知,正方体内
接于球,
则球的直径就是正方体的对角线,易得球半径R=
题型9:球的面积、体积综合问题
例17.
如图,正四棱锥
PABCD
底面的四个顶点
A,B,C,D
在球
O
的同一个大圆上,
点
P
在球面上,如果
V
PABCD
3
a
,下略。
2
16
,则球
O
的表面积是( )
3
A.
4
B.
8
C.
12
D.
16
(2)半
球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体棱长为
6
,
求球
的表面积和体积。
解析:(1)如图,正四棱锥
PABCD
底面的四个顶点
A,B,C,D
在球
O
的同一个大圆上,点
P
在球面上,PO⊥底
面
ABCD,PO=R,
S
ABCD
2R
2
,
V
PABCD
16
,所以
3
116
2R
2
R
,R=2,球
O
的表面积是
16
,选
D。
33
(2)作轴截面如图所示,
- 11 -
1-9页
CC
6
,
AC2623
,
设球半径为
R
,则
ROCCC
(6)
2
(3)2
9
222
∴
R3
,∴
S
球<
br>4
R
2
36
,
V
球
4
R
3
36
。
3
点
评:本题重点考查球截面的性质以及球面积公式,解题的关键是将多面体的几何要素
转化成球的几何要素
。
例18.(1)表面积为
324
的球,其内接正四棱柱的高是
14
,求这个正四棱柱的表面积。
(2)正四面体
ABCD
的棱长为
a
,球
O
是内切球,球
O
1
是与正四面体
的三个
面和球
O
都相切的一个小球,求球
O
1
的体积。
解:(1)设球半径为
R
,正四棱柱底面边长为
a
,
则作轴截面如图,
AA
14
,
AC2a
,
2
又∵
4
R324
,∴
R9,∴
ACAC
2
CC
2
82
,∴
a8
,
∴
S
表
6423214576
(2)如图,设
球
O
半径为
R
,球
O
1
的半径为
r
,
E
为
CD
中点,球
O
与平面
ACD
、
BCD
切于点
F
、
G
,球
O
1
与
平面
ACD
切于点
H
- 12 -
1-9页
由题设
AG
AE
2
GE
2
6
a
3
∵
△
AOF
∽△
AEG
∴
6
aR
R
6
3
,得
Ra
12
33
aa
62
6
a2Rr
r
6<
br>
,得
r
∵
△
AO
1
H
∽△
AOF
∴
3
a
R
24
6
aR
3
∴ <
br>V
球O
1
4
3
4
6
6
3
r
aa
33
241728
3
点评:正四面体的内切球与各面的切点是面的中心,球心到各面的距离相等。
题型10:球的经纬度、球面距离问题
例19.(1)我国首都靠近北纬
40
纬线,求北纬
40
纬线的长度等于多少
km
?(地球半
径大约为<
br>6370km
)
(2)在半径为
13cm
的球面上有
A,B
,C
三点,
ABBCAC12cm
,求球心到经过这
三点的截面的距离
。
解:(1)如图,
A
是北纬
40
上一点,
AK
是它的半径,
∴
OKAK
,
设
C
是北纬
40
的纬线长,
∵
AOBOAK40
,
∴
C2
A
K2
OAcosOAK2
OAcos40
23.1463700.76603.06610
4
(km)
- 13 -
1-9页
答:北纬
40
纬线长约等于
3.06610km
.
4<
br>(2)解:设经过
A,B,C
三点的截面为⊙
O
,
设球心为
O
,连结
OO
,则
OO
平面
ABC
,
∵
AO
32
1243
,
23
∴
OO
OA
2
OA
2
11
,
所以,球心到截面距离为
11cm
.
例20.在北纬45
圈上有
A,B
两点,设该纬度圈上
A,B
点的劣弧长为面距离。
解:设北纬
45
圈的半径为
r
,则
r纬
45
圈的圆心,
AO'B
,
∴
<
br>r
两
2
R
(
R
为地球半径),求
A,B
两点间的
4
球
2
R
,设
O
为
4
北
222
R
,∴
R
R
,∴
,∴
AB2rR<
br>,
2
424
∴
ABC
中,
AOB
3
,所以,
A,B
两点的球面距离等于
3
R.
点评:要求两点的球面距离,必须先求出两点的直线距离,再求出这两点的球心角,进
而求出这两点的球面距离。
五.思维总结
1.正四面体的性质
设正四面体的棱长为a,则这个正四面体的
(1)全面积:S
全
=
3
a
2
;
(2)体积:V=
2
3
2
a; (3)对棱中点连线段的长:d=a;
122
(4)内切球半径:r=
66
a; (5)外接球半径
R=a;
124
- 14 -
1-9页
(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。
2.直角四面体的性质
有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四
面 体有下列性质:
如图
,在直角四面体AOCB中,
∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,OA=a,OB=b,OC=c
。
则:①不含直角的底面ABC是锐角三角形;
②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心;
③体积
V=
④底面△
ABC
=
1
abc;
6
1
2
a
2
b
2
b
2
c
2
c2
a
2
;
⑤S
2
△ABC
=S
△B
HC
·S
△ABC
;
⑥S
2
△BOC
=S
2
△AOB
+S
2
△AOC
=S
2
△ABC
1111
=++;
222
2
OHab
c
1
⑧外切球半径
R=
a
2
b
2
c
2
;
2
⑦
⑨内切球半径
r=
S
AOB
S
BOC
-S
ABC
abc
3.圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.
①如图,圆锥的顶角为β,母线与下底面所成角为α,母线为l,高为h,底面半径为r,
则
sinα=cos
α+
h
=
,
l
2
=90°
2
r
= .
l
2
cosα=sin
②圆台
如图,圆台母线与下底面所成角为α,母线为l,高为h,上、下底面半径分别
为r
′、r,则h=lsinα,r-r′=lcosα。
- 15 -
1-9页
③球的截面
用一个平面去截一个球,截面是圆面.
(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆;不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆;
(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面;
(3)球心和截面距离d,球半径R,截面半径
r有关
r=
R
2
-d
2
.
4.经度、纬度:
经线:球面上从北极到南极的半个大圆;
纬线:与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆;
系:
经度:某地的经
度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与
0
经线及轴确定的半平面
所成的二面角的
度数。
纬度:某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。
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5. 两点的球面距离:
球面上
两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我们
把这个弧长叫做两点的球
面距离
两点的球面距离公式:(其中R为球半径,
为A,B所对应的球心角的弧度数)
- 17 -