手机打折-肖邦的夜曲

§7 向量应用举例
7．1 点到直线的距离公式
7．2 向量的应用举例

[学习目标] 1.了解直线法向量的概念.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 、力学
问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具．

[知识链接]
1．向量可以解决哪些常见的几何问题
答 (1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系．
(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题．
2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的
答 (1)建立平面几何与向量的联 系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转
化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
[预习导引]
1．直线的法向量
(1)直线
y
＝
kx
＋
b
的方向向量为(1，
k
)，法向量为(
k
，－1)．
(2)直线
Ax
＋
By
＋
C
＝0(
A
＋
B
≠0)的方向向量为(B
，－
A
)，法向量为(
A
，
B
)．
2．点到直线的距离公式
设点
M
(
x
0
，
y
0
)为平面上任一定点，则点
M
到直线
Ax
＋
By
＋
C
＝0(
A
＋
B
≠0)的距离
d< br>＝
|
Ax
0
＋
By
0
＋
C
|
.
A
2
＋
B
2
3．向量方法在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：
a
∥< br>b
(
b
≠0)⇔
a
＝
22
22
λb
⇔
x
1
y
2
－
x
2
y
1
＝0.
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非 零向量
a
，
b
，
a
⊥
b
⇔
a·b
＝0⇔
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
＝0.
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos
θ
＝a
·
bx
1
x
2
＋
y
1
y< br>2
＝
2222
.
|
a
||
b
|
x
1
＋
y
1
x
2
＋
y
2
22
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|
a
|＝
x
＋
y
.
4．向量方法在物理中的应用

(1)力、速度、加速度、位移都是向量．
(2)力、速度、加速度、位移的 合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加亦用到向量的
合成．
(3)动量
mv
是数乘向量．
(4)功即是力
F
与所产生位移
s
的数量积．

要点一 直线法向量(或方向向量)的应用
例1 已知△
ABC
的三顶点< br>A
(0，－4)，
B
(4,0)，
C
(－6,2)，点
D
、
E
、
F
分别为边
BC
、
CA
、
AB
的中点．
(1)求直线
DE
、
EF
、
FD
的方程；
(2)求
AB
边上的高线
CH
所在的直线方程．
解 (1 )由已知得点
D
(－1,1)，
E
(－3，－1)，
F
(2 ，－2)．设点
M
(
x
，
y
)是直线
DE
上任一点，
→→→→
则
DM
∥
DE
，
DM
＝(
x
＋1，
y
－1)，
DE
＝(－2，－2)，∴(－2 )×(
x
＋1)－(－2)(
y
－1)＝0，即
x
－
y
＋2＝0为直线
DE
的方程．
同理可求，直线
EF
、
FD
的方程分别为
x
＋5
y
＋8＝0，
x
＋
y
＝0.
→→→→→→
(2)设点
N
(
x，
y
)是
CH
所在的直线上任一点，则
CN
⊥
AB
，
CN
·
AB
＝0，
CN
＝(
x＋6，
y
－2)，
AB
＝(4,4)，∴4(
x
＋6) ＋4(
y
－2)＝0，即
x
＋
y
＋4＝0为所求直线
CH
所在的直线方程．
规律方法 对于解析几何中的有关直线平行与垂直问题，常常可以转 而考虑与直线相关的向
量的共线与垂直，这样一来将形的问题转化为相关数的问题，从而容易将问题解决 ．
跟踪演练1 求点
P
0
(－1,2)到直线
l
：2x
＋
y
－10＝0的距离．
解 方法一 取直线
l
的一个法向量为
n
＝(2,1)，
→
在直线l
上任取一点
P
(5,0)，∴
PP
0
＝(－6,2) ，
→
∴点到直线
l
的距离
d
就是
PP
0
在法向量
n
上的射影．
→
设
PP
0
与
n
的夹角为
θ
.
→
|
PP
0
·
n
|
∴
d
＝|
PP
0
||cos
θ
|＝|
PP
0
|·
→
|
PP
0
|·|
n
|
→→
→
|
PP
0
·
n|

－12＋2

＝＝

＝25.
|n
|
5

故点
P
0
到直线
l
的距离为25.
方法二 由点到直线的距离公式得
d
＝
|
Ax< br>0
＋
By
0
＋
C
||2×－1＋1×2－10|＝
A
2
＋
B
2
5

＝25.
要点二 向量在平面几何中的应用
例2 如图，已知Rt△
OAB
中，∠< br>AOB
＝90°，
OA
＝3，
OB
＝2，
M
在
OB
上，且
OM
＝1，
N
在
OA
上，且
ON
＝1，
P
为
AM
与
BN
的交点，求∠
MPN
.

→→→→→
1
→
1
解 设< br>OA
＝
a
，
OB
＝
b
，且
AM，
BN
的夹角为
θ
，则
OM
＝
b
，< br>ON
＝
a
，
23
→→→
1
→→→
1
又∵
AM
＝
OM
－
OA
＝
b
－
a
，
BN
＝
ON
－
OB
＝
a－
b
，
23
→→

1

1

∴
AM
·
BN
＝

b
－
a< br>
·

a
－
b

＝－5，
2

3

→→
|
AM
|＝10，|
BN
|＝5，
∴cos
θ
＝
2
＝－，
25·10
－5
3π
又∵
θ
∈[0，π]，∴
θ
＝，
4
→→
又∵∠
MPN
即为向量
AM
，
BN
的夹角，
3π
∴∠
MPN
＝.
4
→→
规律方法 (1)本题可以选择
OA
，
OB
作为基向量，这是两个互相垂直的向量，选用这组特殊的
基向量可以简化运算．
(2)本题也 可以建立平面直角坐标系进行求解．把平面几何中求角的问题转化为向量的夹角问
题是平面向量的工具性 体现之一，转化时一定要注意向量的方向．
跟踪演练2 已知△
ABC
中，∠
BAC
＝60°，
AB
＝4，
AC
＝3，求
BC
的长．
解 以
A
为原点建立如图所示平面直角坐标系，则
A
(0, 0)，
B
(4cos 60°，4sin 60°)，
C
(3,0)，

→→
∴
AC
＝(3,0)，
AB
＝(2，23)，
→→→
∵
BC
＝
AC
－
AB
＝(1，－23)，
→
∴|
BC
|＝1＋
(
－23
)
＝13.
2
要点三 利用向量解决物理中的问题
例3 在风速为75(6－2) kmh的西风中，飞机以150 kmh的航速向西北方向飞行，求
没有风时飞机的航速和航向．
解 设向量
a
表示风速，
b
表示无风时飞机的航行速度，
c
表示有风时飞机的航行速度，则
c
＝
a
＋
b
. < /p>

→→→
如图，作向量
OA
＝
a
，
OB
＝
b
，
OC
＝
c
，则四边形
OACB为平行四边形．

过
C
、
B
分别作
OA的垂线，交
AO
的延长线于
D
、
E
点．
→→
由已知，|
OA
|＝75(6－2)，|
OC
|＝150，∠
COD
＝45°.
在Rt△
COD
中，
OD
＝
OC
cos 45°＝752，
CD
＝752.
又
ED
＝
BC
＝
OA
＝75(6－2)，
∴
OE
＝
OD
＋
ED
＝756.又
BE
＝
CD
＝752.
在Rt△
OEB
中，
OB
＝< br>OE
＋
BE
＝1502，
22
BE
1
→< br>sin∠
BOE
＝＝，∴|
OB
|＝1502，∠
BOE＝30°.
OB
2
故没有风时飞机的航速为1502 kmh，航向为西偏北30°.
规律方法 用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问题的基本思路和方法如下：
(1)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；
(2)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；
(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解；
(4)利用这个结果，对原物理现象作出解释．
跟踪演练3 如图，在细绳
O
处用水平力
F
2
缓慢拉起所受重力为
G
的物体，绳子与铅垂方向< br>的夹角为
θ
，绳子所受到的拉力为
F
1
.

(1)求|
F
1
|，|
F
2
|随角
θ
的 变化而变化的情况；
(2)当|
F
1
|≤2|
G
|时，求 角
θ
的取值范围．
解 (1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|
F
1
|＝
当
θ
从0°趋向于90°时，|
F
1
|，|
F
2
|都逐渐变大．
|
G
|
(2)由(1)，得|
F
1
|＝，
cos
θ
1
由|
F
1
|≤2|
G
|，得cos
θ
≥.
2
又因为0°≤
θ
＜90°，所以0°≤
θ
≤60°.

1．已知直线
l
1
：3
x
＋
y
－2＝0与直线
l
2
：
mx
－
y
＋1＝0的夹角为 45°，则实数
m
的值为________．
1
答案 2或－
2
解析 设直线
l
1
，
l
2
的法向量为< br>n
1
，
n
2
，
|
G
|
， |
F
2
|＝|
G
|tan
θ
.
cos
θ

则
n
1
＝(3,1)，
n
2＝(
m
，－1)．
|
n
1
·
n
2< br>||3
m
－1|2
由题意cos 45°＝＝＝.
2
|n
1
|·|
n
2
|2
10·1＋
m
1
2
整理得2
m
－3
m
－2＝0，解得
m
＝ 2或
m
＝－.
2
2．已知
A
(1,2)，
B(－2,1)，以
AB
为直径的圆的方程是______________．
答案
x
＋
y
＋
x
－3
y
＝0
解析 设
P
(
x
，
y
)为圆上任一点，则
→
22
AP
＝(
x
－1，
y
－2)，
B P
＝(
x
＋2，
y
－1)，
→→
由
AP
·
BP
＝(
x
－1)(
x
＋2)＋(
y< br>－2)(
y
－1)＝0，
化简得
x
＋
y
＋
x
－3
y
＝0.
3．正方形
OABC
的边长为1，点
D
、
E
分别为
AB
、
BC
的中点，试求cos∠
DOE
的值．
解 以
OA
，
OC
所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：

22
→
→
OD
＝

1，
，
OE
＝

，1

，
22


1

→


1



故cos∠
DOE
＝
→→
|
OD
|·|
OE< br>|
OD
·
OE
→→
11
1×＋×1
224
＝＝.
5
55
×
22
4
即cos∠
DOE
的值为.
5
4．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为3 kmh，方向正东，风
的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 kmh，若要使该船由南向北沿
垂直于河岸的方向以23 kmh的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．
解 如图，设水的速度为
v
1
，

风的速度为
v
2< br>，
v
1
＋
v
2
＝
a
.
易求得
a
的方向是北偏东30°，
a
的大小是3 kmh.
设船的实际航行速度为
v
.
方向由南向北，大小为23 kmh，

船本身的速度为
v
3
，则
a
＋
v
3
＝
v
，
即
v
3
＝
v
－
a
，数形结合知
v
3
的方向是北偏西60°，
大小是3 kmh.

1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向 量解决平面
几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；一种思< br>路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几
何命题 的证明．
2.用向量理论讨论物理中相关问题的步骤
一般来说分为四步：(1)问题的转化 ，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以
向量为主体的数学模型；(3)参数的获取， 求出数学模型的相关解；(4)得到答案，回到物理
现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．

一、基础达标
1．已知
A
，
B
，
C< br>，
D
四点坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为 ( )
A．梯形
C．矩形
答案 A
→→→→→→
解析 ∵
AB
＝(3,3)，
DC
＝(2,2 )，∴
AB
∥
DC
，|
AB
|≠|
DC
| ，∴四边形为梯形．
2．当两人提起重量为|
G
|的旅行包时，夹角为
θ< br>，两人用力都为|
F
|，若|
F
|＝|
G
|，则θ
的
值为( )
A．30°
C．90°
答案 D
→→→→→→
解析 作
OA
＝
F
1，
OB
＝
F
2
，
OC
＝－
G
，则
OC
＝
OA
＋
OB
，当|
F
1
|＝|
F
2
|＝|
G
|时，△
OAC
为正三角< br>形，∴∠
AOC
＝60°，从而∠
AOB
＝120°.
→→ →→→
3．平面上有四个互异点
A
、
B
、
C
、D
，已知(
DB
＋
DC
－2
DA
)·(
AB
－
AC
)＝0，则△
ABC
的形状是
( )
A．直角三角形

B．等腰三角形
D．无法确定






B．60°
D．120°






B．菱形
D．正方形
C．等腰直角三角形
答案 B
→→→→→
解析 由(
DB
＋
DC
－2
DA
)·(
AB
－
AC
)＝0，
→→→→→→
得[(
DB
－
DA
)＋(
DC
－
DA
)]·(
AB
－
AC
)＝0，

→→→→
所以(
AB
＋
AC
)·(
AB
－
AC
)＝0.
→
2
→
2
→→
所以|
AB
|－|
AC
|＝0，∴|
AB
|＝|
A C
|，
故△
ABC
是等腰三角形．
4．已知直线
l1
的方向向量为
a
＝(1,3)，直线
l
2
的方向向量 为
b
＝(－1，
k
)，若直线
l
2
过点
( 0,5)，且
l
1
⊥
l
2
，则直线
l
2< br>的方程是( )
A．
x
＋3
y
－5＝0
C．
x
－3
y
＋5＝0
答案 B
解析 ∵
l
1
⊥
l
2
，∴
a
⊥
b
，∴
a
·
b
＝－1＋3
k
＝0，
11
∴
k
＝，∴
l
2
的方程为
y
＝－
x
＋5，即
x
＋3
y
－15＝0.
33
故选B.
5．过点
A
(－2,1)且平行于向量
a
＝(3,1)的直线方程为____ ____．
答案
x
－3
y
＋5＝0
解析 设
P
(
x
，
y
)是所求直线上的任一点，
→




B．
x
＋3
y
－15＝0
D．
x
－3
y
＋15＝0
AP
＝(
x
＋2，
y
－1)．
→
∵AP
∥
a
.∴(
x
＋2)×1－3(
y
－1) ＝0.
即所求直线方程为
x
－3
y
＋5＝0.
→→6．已知点
A
(－1,2)，
B
(0，－2)，若点
D
在线段
AB
上，且2|
AD
|＝3|
BD
|，则点
D
的坐标为
________．
2

2
答案

－，－


5

5
2
3
→→→→
3
→

2
解析 由题意得
OD＝
OA
＋
AD
＝
OA
＋
AB
＝(－1 ,2)＋(1，－4)＝

－，－

，所以
5

5 5

5
2

2
D

－，－
< br>.

55

7．如图，点
O
是▱
ABCD
的对角线
AC
，
BD
的交点，
E
，
F分别在边
CD
，
AB
上，且

求证：点
E
，
O
，
F
在同一直线上．
→→
证明 设
AB
＝
a
，
AD
＝
b
，
由
E
，
F
分别为对应边的三等分点，得
11
→< br>11
→→→
FO
＝
FA
＋
AO
＝－
a
＋
AC
＝－
a
＋(
a
＋
b
)
3232
CEAF
1
＝＝.
EDFB
2

< br>11
＝
a
＋
b
，
62
1
→→→< br>1
→
1
→
1
OE
＝
OC
＋
CE
＝
AC
＋
CD
＝(
a
＋
b
) －
a

2323
11
＝
a
＋
b
.
62
→→
所以
FO
＝
OE
.
又因为O
为其公共点，所以点
E
，
O
，
F
在同一直线 上．
二、能力提升
8．已知直线
l
1
：(
m
＋ 2)
x
＋3
my
＋1＝0与直线
l
2
：(
m
－2)
x
＋(
m
＋2)
y
－3＝0相互垂直，则 实
数
m
的值是( )
A．－2






1
D．－或2
2
1
C．－2或
2
答案 C
1
解析 (
m
＋2)(
m
－ 2)＋3
m
(
m
＋2)＝(
m
＋2)(4
m
－2)＝0.∴
m
＝－2或.
2
→→
9．在四边形
AB CD
中，
AC
＝(1,2)，
BD
＝(－4,2)，则四边形的面积 为( )






B．25
D．10 C．5
答案 C
→→→→
解 因为在四边形
ABCD
中，
AC
＝(1,2)，
BD
＝(－4,2)，
A C
·
BD
＝0，
所以四边形
ABCD
的对角线互相垂直，
→
22
又|
AC
|＝1＋2＝5，
→
|
BD
|＝－4
2
＋2＝25，
2
1
→→
该四边形的面积：|
AC
|·|
BD
|
2
1
＝×5×25＝5.
2
10．已知曲线
C
：
x
＝－4－
y
，直线
l
：
x
＝6.若对于 点
A
(
m,
0)，存在
C
上的点
P
和l
上的
→→
点
Q
使得
AP
＋
AQ＝0，则
m
的取值范围为________．
答案 [2,3]
→→
解析 由
AP
＋
AQ
＝0知
A
是PQ
的中点，设
P
(
x
，
y
)，则
Q
(2
m
－
x
，－
y
)，由题意－2≤
x< br>≤0,2
m
－
x
＝6，解得2≤
m
≤3.
2

11．如图所示，已知力
F
与水平方向的夹角为30°(斜向上)， 大小为50 N，一个质量为8 kg
的木块受力
F
的作用在动摩擦因数
μ
＝的水平平面上运动了20 m．问力
F
和摩擦力
f
所做
的功分别为多少(
g
＝ 10 ms)

解 设木块的位移为
s
，则
W
＝
F
·
s
＝|
F
|·|
s
|cos 30°＝50×20×
1
2
3
＝5003(J)．
2
2< br>F
在竖直方向上的分力的大小为|
F
1
|＝|
F
|· sin 30°＝50×＝25(N)．
则
f
＝
μ
(
mg
－|
F
1
|)＝×(8×10－25)＝(N)．
所以
f
·
s
＝|
f
|·|
s
|cos 180°＝×20×(－1)＝－22(J)．
即
F
与
f
所做的功分别是5003 J与－22 J.
1 2．在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
D
为< br>AB
的中点，
E
为△
ACD
的重心，
F
为△
ABC
的外心，证明：
EF
⊥
CD
.
证明 建立如图所示的平面直角坐标系．

设
A
(0，
b
)，< br>B
(－
a,
0)，
C
(
a,
0)，
则
D
(－，)，
22
→
3
b
CD
＝(－
a
，)．
22
易知△
ABC
的外心
F
在
y
轴上，可设为( 0，
y
)．
→→
222
由|
AF
|＝|
CF
|，得(
y
－
b
)＝
a
＋
y
，
ab
b
2
－
a
2
b
2
－a
2
所以
y
＝，即
F
(0，)．
2
b
2
b
由重心坐标公式，得
E
(，)，
62
ab
aa
→
所以
EF
＝(－，－)．
62
b
3
aba
→→
所以
CD
·
EF< br>＝(－
a
)×(－)＋×(－)＝0，
2622
b
→→所以
CD
⊥
EF
，即
EF
⊥
CD
.
三、探究与创新
13．如图，在▱
ABCD
中，点
E
、< br>F
分别是
AD
、
DC
边的中点，
BE
、BF
分别与
AC
交于
R
、
T
两点．
求证：
AR
＝
RT
＝
TC
.

→→→
证明 设
AB
＝
a
，
AD
＝
b
，
AR
＝
r
，
2
2

→→→
则
AC
＝
a
＋
b
.由于
AR
∥
AC
，
所以设
r
＝
n
(
a
＋
b
)，
n
∈R.
1
→→→
又∵
EB< br>＝
AB
－
AE
＝
a
－
b
，
2
→→→→

1

ER
∥
EB
，故设< br>ER
＝
mEB
＝
m

a
－
b

.

2

1
→→→

1

∵
AR
＝
AE
＋
ER
，∴
r
＝< br>b
＋
m

a
－
b

.
2

2

1

1

所以
n
(
a
＋
b
)＝
b
＋
m

a
－
b

，
2

2

即(
n< br>－
m
)
a
＋

n
＋

< br>m
－1

b
＝0.
2


n－
m
＝0，


由于
a
与
b
不共线，故必有

m
－1
n
＋＝0，

2

1
→
1
→
解得
m
＝
n
＝，∴< br>AR
＝
AC
，
33
→
1
→→
1< br>→
同理
TC
＝
AC
，于是
RT
＝
A C
.
33
∴
AR
＝
RT
＝
TC
.