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三角函数公式及证明

基本定义

1.任意角的三角函数值：

在此单位圆中，弧AB的长度等于

；
B点的横坐标
xcos

，纵坐标
ysin

；
（由 三角形OBC面积<弧形OAB的面积<三角形OMA的面积 可得：
sin

atana
（
0



））
2
2.正切：

tan


sin


cos

基本定理
1.勾股定理：
sin
2

cos
2

1

1.正弦定理：
bc
a
=== 2R （R为三角形外接圆半径）
sinA
sinBsinC
222
b
2
c
2
a
2
2.余弦定理：a=b+c-2bc
cosA

cosA

2bc
3.诱导公试:

2
k


sincos
tancot

奇变偶不变，符号看相线
4.正余弦和差公式:
①
sin(



)s in

cos

cos

sin


②
cos(



)cos

cos< br>
sin

sin



推导结论
1. 基本结论
(sin

cos

)
21sin2


tan
2

1
1

2
cos

2. 正切和差公式：
tan(



)


sin(



)
sin

cos

cos

sin




cos(



)

cos

cos


sin

sin
tan

tan

1

tan

tan








3.二倍角公式（包含万能公式）：
2sin

cos


2tan



sin2

2sin

cos




222

sin
cos


1tan


cos
2

sin
2

cos2

cos

sin

2cos

112sin




sin
2

cos
2


2222

1tan
2



1tan
2



tan2


s in2

2tan



cos2

1tan
2


1cos2

tan
2

sin



2
1tan
2

2
1cos2

2


4.半角公式：（符号的选择由所在的象限确定）
2
cos
2< br>


sin

2


1 cos


1cos


sin
2


1cos

2sin
2

222
2

1cos


1cos


cos
2


1cos

2cos
2

222
2
1 cos

1cos

cos

2

tan

2

sin



2
cos


2

sin


1cos

coscos
22
sin

2

2< br>
1cos


sin

cossin
22
sin



1sin

(cos sin)
2
cossin
2222

5.积化和差公式： 1
1
sin

cos



sin(



)sin(



)

cos

sin



sin(



)sin(



)

2
2
1
1
cos

cos



cos(



)cos(



)< br>

sin

sin



c os(



)cos







2
2

6.和差化积公式：









cossin< br>①
sin

sin

2sin
②
sin

sin

2cos

2222









cossin
③
cos

cos

2cos< br> ④
cos

cos

2sin

2222


7.三角形面积公式
1111
S⊿
=a
h
a
=ab
sinC
=bc
sinA
=ac
sinB

2222
abc
=
4R
=2R
2
sinAsinBsinC

a
2
sinBsinCb
2
sinAsinCc
2
sinA sinB
===
2sinA2sinB2sinC
=pr
=
p(pa)(pb)(pc)
(海伦公式，证明见下文)
1
(其中
p(abc)
, r为三角形内切圆半径)
2


定理结论的证明
1. 勾股定理的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第I卷 命题47.

2. 正弦定理的证明：
做三角形外接圆进行证明；需利用结论同弧所对的圆周角相等，及直径所对圆周
角为直角；
同弧所对圆周角相等的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷 命题20.
直径所对圆周角为直角的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第III卷 命题31.

3. 余弦定理的证明：

本证明选自《几何原本》(欧几里得)第II卷 命题12,13.

4. 诱导公式的证明：

同理可证
3

sin(

)sin(



)sin(

)cos

222
3

cos(

)cos(



)cos(

)sin


222
本证明选自人教版高中数学教材.
5.正余弦和差公式的证明:

sin(



)sin(

(

))
可 得
sin(



)
的结论

本证明选自人教版高中数学教材.
5. 海伦公式的证明:

三角函数基础
一、 诱导公式（
kZ
）。 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。



)
（一）
sin(2k



)sin< br>

cos(k2
cot(k2



)c

o

t
c

o



)

s

tan(k2t

a

n
(

)
（二）
sin(



) sin


cos(



)cos


tan

cot

(

)c

o
t
ta


n

（三）
sin(

)sin


cos(

)cos


tan(

)tan


cot(

)cot


(

)ta


n

（四）
sin(



)sin


cos(



)cos


tan


cot(



)cot

（五）
sin(2



)sin


cos(

2

)c

o

s

tan(2



)tan


cot(

2

)c

o

t
（六）
sin(

2


)cos

cot(

)tan


2
（七）
sin(

cos(

)sin

tan(

)
22


c

ot


2


)cos

cot(

)t

a

n
2
3

3

3



)cos

cos(

)s

in tan(

)c

ot
（八）
sin(
222

3

cot(

)t

a

n
2
3

3

3



)cos

cos(

)s

intan(
)cot

（九）
sin(
2
22

3

cot(

)t

an

2
只需抓住以下三个特点，即可由左边写出右边：
（1） 诱导公式右边都是角

的三角函数；
（2） 判断函数名是否改变。判断依据：括号 内与

相加减的角，若为
则函数名不变；若为

cos(

)sin

tan(

)
22


c

ot


的偶数倍，
2< br>
的奇数倍，则正变余，余变正（只能弦、切、割内部变
2
换。如，只能正弦变 余弦，余弦变正弦，不能由弦变切或割）；
（3） 判断正、负号。判断依据：将

看作锐角时，左边的函数值该取什么符号（正
号或负号），就在右边的函数名前加上同样的符号。
二、 正弦定理和余弦定理都是描述
ABC
边角关系的非常重要的定理。
如图所示：任意
ABC
中，
A
,
B
,
C< br>所对的边分别为
a,b,c
，则
abc
2R
（
R
为
ABC
外接圆半径）
sinAsinBsinC
b
2
c
2
a
2222
余弦定理：
abc2bccosA
推论：
cosA

2bc
222
bac2accosBa
2
c
2
b
2
cosB
c
2< br>a
2
b
2
2abcosC
2ac
a
2
b
2
c
2
cosC
2ab
正弦定理：
正弦定理与余弦定理是等价的，具体参见文献：《对正弦定理、余弦定理一节的两点建
议》
三、 求任意
ABC
面积的两种方法：

1．
S< br>ABC

111
absinCbcsinAcasinB
222

由右图容易看出此结论。
2．利用海伦公式。
海伦公式：设任意
ABC
三边长分别为
a,b,c
，半周长
p
1
(abc)
，则有
2
S
ABC
p(pa)(pb)(pc)

四、 辅助角公式
其中
tan


asin

bco s

a
2
b
2
sin(



)
，
b

的象限由
a,b
的符号确定。，
a
五、 弧度制
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。1弧度记作：
1rad
.
1． 当圆心角为圆周时，所对的弧长
L2

r
，故
L2

r
2

.

rr
o
2

.
即
360

o
一个圆周的角度

360
——角度制；
一个圆周的角度

2

——弧度制。
使用弧度制的好处是，用弧度制表示的角度与实数一一对应。
角

的弧度数的绝对值：
|

|
2. 弧长：
l|

|r

l
.

r
l
1
2
扇形面积：
S
r


rl r

2

2

o
rad0.017453rad
3.
1
180
180
o

1rad57.30
o
57
o
18
'


六、 任意角的三角函数及其符号规律
1． 任意角的三角函数：设
< br>是一个任意大小的角，角

的终边上非原点的任意一点
P
的坐标是(x,y)
，
P
与原点
O(0,0)
的距离是
r(r 0)
，则可定义角

的三角函数：

yx
余弦：
cos



rr
y
x
正切：
tan


余切：
cot



x
y
r1
r1
正割：
sec


余割：
csc



xcos

ysin

正弦：
sin


2. 三角函数符号规律。口诀：“函弦切余”
说明：（1）符号规律见右图，第一象限角的各三角函数值均取正，
第二象限只有正弦函数（及其倒数余割）取正，第三象限只有正、
余切函数取正，第四象限只有余弦函数（及其倒数正割）取正。归
纳起来，由第一象限至第四象限，取正的函数分别为“函弦切余”。
（2）由三角函数的定义及个象限内点的坐标的符号即可确定各三角函数在各象限的符
号。


七、 三角函数重要公式

和差的三角函数 积化和差公式
sin(



)sin

cos
< br>cos

sin


1
cos(



)cos

cos

sin

sin


tan

tan


tan (



)
1

tan

ta n


倍角、半角的三角函数
sin2

2sin

cos


si n

cos


cos2

cos
2< br>
sin
2

2cos
2

11 2sin
2



sin(



)sin(



)


2
1
cos

sin



sin(

< br>
)sin(



)


2< br>1
cos

cos



cos(



)cos(



)

2
1
sin

sin



cos(< br>


)cos(



)
< br>
2
tan2


2tan


1tan
2

证明：
1cos

①+②，得

222
sin(



)sin(



)2sin

cos


1cos

1
cos

2cos
2
1 cos
2


sin

cos

< br>
sin(



)sin(



)


222
2
1cos

①-②得：
2


将上面两式左右两边分别相除，得：
tan

sin(



)sin(



) 2cos

sin


21cos

1

1cos

cos

sin



sin(



)sin(


< br>)


sin

2
22
cos

12sin
2
sin
2


sin(



)s in

cos

cos

sin

①
sin(



)sin

cos

cos

sin

②
1cos

cos

22

1cos< br>
1cos

sin

tan=

21cos

sin

1cos

（证明：
t an


另两式证明方法相同。

和差化积公式
sin

sin

2sin




2
sin

cos


2

2
2

1cos

）

sin

2s incos
22
2
2sin

sin

22< br>




sin

sin

2cossin

22




< br>cos

cos

2coscos

22
cos




万能公式
cos

cos

2sin
证明：


2
sin



2

2tan


1tan
2

1tan
2


cos


2
1tan


1cos
tan
2


21cos

sin


三倍角公式
sin(



)sin

cos

cos< br>
sin

①
sin(



)sin

cos

cos

sin

②
①+②，得
sin(



) sin(



)2sin

cos

③
sin3

3sin

4sin
3

cos3

4cos
3

3cos


3tan

tan
3


tan3


1tan
2






八、















2
令

，则

，代人③式，得


< br>








< br>2




sin

sin

2sin

cos

2sincos
2
另三式证明方法相同。

2
附件

诱导公式

目录²诱导公式
²诱导公式记忆口诀
²同角三角函数基本关系
²同角三角函数关系六角形记忆法
²两角和差公式
²倍角公式
²半角公式
²万能公式
²万能公式推导
²三倍角公式
²三倍角公式推导
²三倍角公式联想记忆
²和差化积公式
²积化和差公式
²和差化积公式推导

诱导公式

★诱导公式★
常用的诱导公式有以下几组：

公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα

公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα

公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα

公式六：
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π2＋α）＝cosα
cos（π2＋α）＝－sinα
tan（π2＋α）＝－cotα
cot（π2＋α）＝－tanα

sin（π2－α）＝cosα
cos（π2－α）＝sinα
tan（π2－α）＝cotα
cot（π2－α）＝tanα

sin（3π2＋α）＝－cosα
cos（3π2＋α）＝sinα
tan（3π2＋α）＝－cotα
cot（3π2＋α）＝－tanα

sin（3π2－α）＝－cosα
cos（3π2－α）＝－sinα
tan（3π2－α）＝cotα
cot（3π2－α）＝tanα

(以上k∈z)
诱导公式记忆口诀

※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于k²π2±α(k∈z)的个三角函数值，
①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k是奇数时，得到α相应的余 函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

（奇变偶不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）

例如：
sin(2π－α)＝sin(4²π2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。
所以sin(2π－α)＝－sinα

上述的记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k²360°+α（k∈z ），-α、180°±α，360°-α所在象
限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；
第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；
第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；
第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．



其他三角函数知识：
同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ²cotα＝1
sinα ²cscα＝1
cosα ²secα＝1
商的关系：
sinαcosα＝tanα＝secαcscα
cosαsinα＝cotα＝cscαsecα
平方关系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
同角三角函数关系六角形记忆法

六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）
构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。

（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；
（2）商数关系：六边形任意 一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是
两条虚线两端的三角函数值的乘积 ）。由此，可得商数关系式。
（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数 值的平方和等于下面顶点上
的三角函数值的平方。
两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tanα ²tanβ

tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα ²tanβ
倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2c os^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα
tan2α＝—————
1－tan^2(α)
半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα
sin^2(α2)＝—————
2

1＋cosα
cos^2(α2)＝—————
2

1－cosα

tan^2(α2)＝—————
1＋cosα
万能公式

⒌万能公式
2tan(α2)
sinα＝——————
1＋tan^2(α2)

1－tan^2(α2)
cosα＝——————
1＋tan^2(α2)

2tan(α2)
tanα＝——————
1－tan^2(α2)
万能公式推导

附推导：
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα(cos^2( α)+sin^2(α))......*，
（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）
再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α(1＋tan^2(α))
然后用α2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式

⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

3tanα－tan^3(α)
tan3α＝——————
1－3tan^2(α)
三倍角公式推导

附推导：
tan3α＝sin3αcos3α
＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)(cos2αcosα-sin2αsinα) ＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))(cos^3(α)－ cosαsin^2(α)－
2sin^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))(1-3tan^2(α))

sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα
＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα
＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)
＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))
＝4cos^3(α)－3cosα
即
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
三倍角公式联想记忆

记忆方法：谐音、联想
正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）
余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有“余”）
☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。
和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin—----²cos—---
2 2

α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos—----²sin—----
2 2

α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos—-----²cos—-----
2 2

α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin—-----²sin—-----
2 2
积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式
sinα ²cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα ²sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]

cosα ²cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα ²sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]
和差化积公式推导

附推导：
首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=s ina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb- sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
好,有了积化和差的四 个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述
四个公式中的a+b设为 x,a-b设为y,那么a=(x+y)2,b=(x-y)2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)2)*cos((x-y)2)
sinx- siny=2cos((x+y)2)*sin((x-y)2)
cosx+cosy=2cos((x+y)2)*cos((x-y)2)
cosx- cosy=-2sin((x+y)2)*sin((x-y)2)