让路-花开半朵

第十一章 几何光学
一、内容概要
【基本内容】

1. 单球面折射公式
（1）近轴条件
（2）符号规定：凡是实物、实像的距离， p、
p'
均取正值；凡是虚物、
虚像的距离, p、
p'
均取负值； 若是入射光线对着凸球面，则r取正值，反之，
若是入射光线对着凹球面，则r取负值．
2. 单球面折射焦距
f
1

3．折射面的焦度
Φ

n
1
n
2
r

f
2
r

n
2
n
1
n
2
n
1
n
1
n
2
n
2
n< br>1


pp'r
nn
n
2
n
1
或
Φ
1

2

f
1
f
2
r
f
1
f
2
1

pp'
4. 单球面折射成像的高斯公式（近轴）
5．共轴系统成像规则 采用 逐次成像法，先求出物体通过第一折射面后
所成的像I
1
，以I
1
作 为第二折射面的物，求出通过第二折射面后所成的像I
2
，
再以I
2
作为第三折射面的物，求出通过第三折射面所成的像I
3
，依次类推，
直到求出最后一 个折射面所成的像为止．
6. 薄透镜成像
（1）成像公式
11
nn
0
11
()

pp'n
0
r
1
r
2
nn
0
11
1
( )]

n
0
r
1
r
2
11
1
)]

r
1
r
2
（2）焦距公式
f[
（3）空气中
f[(n1)(
（4）高斯公式
111


pp'f

7. 薄透镜组合
111

或



1


2

ff
1
f
2
8. 厚透镜成像 采用三对基点作图
9. 透镜的像差
远轴光线通过球面折射时不能与近轴光线成像于同一位置，而产生像差，
这种像差 称为球面像差．

物点发出的不同波长的光经透镜折射后不能成像于一点的现象，称为色
像差．
10. 简约眼 生理学上常常把眼睛进一步简化为一个单球面折射系统，称
为简约眼.
11.
视力
1

能分辨的最小视角
最小视角以分为单位．例如医学视力表 ，最小视角分别为10分，2分，
1分时，其视力分别是0.1，0.5，1.0．标准对数视力表，规 定
L5lg

，
式中视角θ以分为单位．例如视角θ分别为10分，2 分，1分时，视力L分
别为4.0，4.7，5.0．
12．近视眼和远视眼 当眼睛不调 节时，平行入射的光线，经折射后会
聚于视网膜的前面，而在视网膜上成模糊的像，这种眼称为近视眼， 而
成像在视网膜后，这样的眼称为远视眼．
11. 放大镜的角放大率
a
12. 显微镜的放大率
yf25


y25f
y
'
25y
'
25
（1）理论放大率
M

f
2
yyf
2
其中
y y
为物镜的线放大率（m），
25f
2
为目镜的角放大率（
a
）


'
（）实际放大率
M
s2525 s


f
1
f
2
f
1
f
2
式中s为显微镜与目镜之间的距离；f
1
为物镜的焦距；f
2
为 目镜的焦距。

13.显微镜的分辨本领－瑞利判据
显微镜的分辨本领 
Z
0.61


nsin

提高分辨本领方法 （1）增加孔径数 （2） 短波照射法
14. 特殊显微镜 偏光显微镜、电子显微镜、超声显微镜、激光扫描共
聚焦显微镜。
【重点提示】
1. 单球面折射
2. 共轴球面折射系统
3. 薄透镜的成像规律
4. 薄透镜组合
5. 放大镜、显微镜的放大率
6. 显微镜的分辨本领．
7. 非正常眼屈光不正的矫正法．
【难点提示】
1. 厚透镜成像作图
2. 显微镜原理．
3. 显微镜分辨本领推导
二、学习园地
【历史趣闻】
1904年诺贝尔物理学奖授予英国皇家研究所的瑞利勋爵（Lord
Rayleigh ,1842—1919）,以表彰他在研究最重要的一些气体的密度以及在
这些研究中发现了氩.瑞利以严谨、广博、精深著称,并善于用简单的设备作
实验而能获得十分精确的数 据.他是在19世纪末年达到经典物理学颠峰的少
数学者之一,在众多学科中都有成果,其中尤以光学中 的瑞利散射和瑞利判

据、物性学中的气体密度测量几方面影响最为深远.
1986年诺贝尔物理学奖一半授予德国柏林弗利兹-哈伯学院
（Frize-Haber- Institut der Max-Planck- Gesellschaft）的恩斯特.鲁斯
卡（Ernst Ruska,1906—1988）,以 表彰他在电光学领域作了基础性工作,并
设计了第一架电子显微镜；另一半授予瑞士鲁西利康（Rusc hlikon）IBM和
瑞士物理学家罗雷尔（Heinrich Rohrer,1933—）,以表彰他们设计出了扫
描隧道显微镜.
1953年诺贝尔物理学奖授予荷兰格罗宁根大学的泽尔尼克(Frits
Zernike ,1898—1966),以表彰他提出了相称法,特别发明了相称显微镜.相
称显微镜是一种特殊的显 微镜,特别适用于观察具有很高透明度的对象,例
如生物切片、油膜和位相光栅等等.光波通过这些物体 ,往往只改变入射光波
的位相而不改变入射光波的振幅,由于人眼及所有能量检测器只能辨别光波
强度上的差别,也即振幅上的差别,而不能辨别位相的变化,因此用普通的显
微镜是难以观察到这些物 体的.
【医学应用】
1. 利用透镜的汇聚或发散作用，矫正非正常眼。
2. 电子显微镜对使基础医学研究从细胞水平进入到分子水平，可以研究
光学显微镜下所不能分辨的微小细节 ，迅速确定生物分子及脱氧核糖核酸
（DNA）的详细结构，也可以看到病毒和细菌的内部结构等．
3. 超声显微镜（简称声镜）．它是用超声束代替光束的一种显微镜．用
它来观测生物组织切 片或样品无需透光，无需染色，对样品无损坏，能观察
到光学显微镜无法分辨的内部微小结构，并可进行 活体观察，放大倍数达五
千倍左右．
4. 激光扫描共聚焦显微镜是在荧光显微镜成像的基础 上加装了激光扫
描装置。使用紫外光或激光激发荧光探针，可以得到细胞或组织内部微细结

构的荧光图像，从而可以观察细胞的形态变化或生理功能的改变，能产生真
正具有三维清晰度 的图像，同时可在亚细胞水平上观察诸如Ca
2+
、pH值和
膜电位等生理信号及细胞 形态的实时动态变化。激光扫描共聚焦显微镜成为
形态学、分子细胞生物学、神经科学、药理学和遗传学 等领域中新的有力研
究工具，在基因芯片，克隆技术中都有较好的应用．
三、典型例题
例题1. 有一折射率为1.54的玻璃棒，一端为r=30mm的抛光凸球面，
另一端为磨砂 的平面。试问该棒长为多少时，正好使无限远处物体经球面后
清晰地成像在磨砂平面上。
分析：这是单球面折射成像问题，题中无限远处物体可看成平行光线。
解：如图所示，已知
n
1
1
，
n
2
1.54
，
r
=+30mm，
p

根据单球面折射公式得
解得
p'85.6mm

因为像距为正值，所以是实像点，在凸球面后85.6mm处。
例题2. 一根折射率为1.50的玻璃棒，在其两端磨圆并抛光成半径为
5cm的半球面。当 一物体置于棒轴上离一端20cm处时，最后的成像在离另一
端40cm（棒外）处，求此棒的长度。
分析：这是共轴球面系统问题，在玻璃棒两端两次应用单球面成像公式。
解： 对第一折射面
n
1
1
，
n
2
1.50
，
p
1
20cm
，
r
1
5cm
，I
1
为像点
根据单球面折射公式
11.501.501


20p
1
'5
解得
p
1
'30cm
（像点
I
1
在第一折射面后30cm处）
由于不知像点I
1
在玻璃棒内还是在棒外，这里设第二折射面的物距为
p
2
，棒
长为
l
，对第二折射面
n
1
1.50
，
n
21
，
p
2
'40cm
，
r
2
 5cm
，
根据单球面折射公式
1.5011.501


p
2
405

解得
p
2
20cm

由于
p
2
为正直，说明 I
1
对第二折射面而言是实物，所以说明经第一折射面后
的像点I
1
在玻璃棒内，故此可得玻璃棒的长度
l

例题3. 离水面100cm深处有一条鱼， 现用
f7.5cm
的照相物镜拍摄此
鱼，照相物镜的物焦点离水面100cm，求：
（1）鱼像成在透镜外何处？
（2）此系统的横向放大率为多少？
分析：鱼经水面折射成像为单球面成像，再经照相物镜成像为薄透镜成
像问题。
解： （1）鱼像成在透镜外何处 由题意可知，鱼成像分两部分，鱼先
经水面成像，由于水面是平面，所以有
r
代入单球面折射公式可得
n1
p100
0

p'75cm
(像成在水面下75cm处)
pp'
n1.33
鱼经水面后的像再由照相物镜成像,此时物镜的物距为
p
1
7.510075182.5cm
,所以有
即此鱼在照相物镜后7.82cm处成像。
（2） 系统的放大率
系统的放大率就等于物镜的放大率
例题4. 一远视眼的近点在眼前120cm处，今欲使其看清眼前12cm处的
物体，问应配戴多少度的凸透镜？
分析：欲使远视眼患者眼睛在不经过调节的情况下，能看清近点以内的
物点，必须使近点以内的 物点，在通过所配的眼镜后成像在远视眼的近点处。
解： 患者所配戴的眼镜应使12cm处的物体成像在他的近点上，即120cm
处，所以
p12 cm0.12m
，
p'120cm1.2m
，代入薄透镜成像公式得
例题5. 用孔径数为0.75的显微镜去观察
0.3μm
的细节能否看清？若改

用孔径数为1.2的物镜去观察又如何？设所用光波波长为600nm。
分析：在入射光波的波长不变的情况下，显微镜的分辨本领只与物镜的
孔径数有关。
解： 由题可知
NA
1
0.75
，
NA
2
1.2
，

600nm
，
Z0.3μm

由于
Z
1
Z
，所以用孔径数为0.75的显微镜不能分辨清
0.3μm
的细节。
由于
Z
2
Z
，所以用孔径数为1 .2的显微镜刚好能分辨清
0.3μm
的细节
四、习题解答
11-1 单球面折射公式的试用条件是什么？在什么条件下起会聚作用？
什么条件下起发散作用？
答： 单球面折射公式的试用条件是近轴光线成像。如果来光对着凸球面，
物方介质折射率大于像方介质的折射 率时，有发散作用，否则，有会聚作用；
如果来光对着凹球面，则物方介质折射率大于像方介质的折射率 时，有会聚
作用，否则，有发散作用。
11-2 为什么人眼在水中时，角膜将失去其大部分聚焦本领？
答：人眼可以简化为单球面折射系统，当在水中 时，眼周围介质水的折
射率大于空气介质的折射率，所以角膜将失去其大部分聚焦本领。
11-3 薄透镜的焦距是否与所在的介质有关？同样一个给定的透镜能否
在一种介质中起会聚 作用，而在另一种介质中起发散作用？
答：有关；能。
11-4 显微镜的放大倍数越大，是否其分辨本领越高？
答：不是，因为分辨本领的大小只决定于物镜，与目镜无关。
11-5 电子显微镜与普通光学显微镜的主要区别？
答：电子显微镜用波长很短的电子射线代替可见光制作成的普通显微镜。
11-6 一直径为 20cm，折射率为1.53的球内有两个气泡，看上去一个恰
好在球心，另一个从最近的方向看去，好 象在球面表面和中心的中间，求两

气泡的实际位置？
解：根据物、像符号规则 ，图11-1中A、B为实物，A
′、
B
′
为虚像，
r0
，
且

n
1
=1.53，n
2
=1。
对气泡A，
p'10cm
，
r10cm
，
应用单球面成像公式有
所以得
p10cm
,即A泡距球心距离为0cm。
图11－1 习题11－6
A’
A B B’
对于B泡n
1< br>=1.53，n
2
=1，
p'102cm
，
r10c m
，应用单球面成像公式有
所以
p6.05cm
，距离球心为10-6.05=3.95cm
'
11-7 某透镜用n=1.50的玻璃制成，它在空气中的焦距为10.0cm，在水
中的焦距为多少（水的折射 率为43）？
解：已知n =1.50，
n'43
，空气中f =10cm，水中焦距为
f'

依据薄透镜焦距公式
f[(n1)(
11
1
)]

r
1
r
2
11-8 圆柱形玻璃棒（n=1.50）的一端是半径为 2cm的凸球面，求在棒的
轴线上离棒端8cm处的点物所成像的位置。若将此棒放入水中（n=43） ，问
像又在何处？
解：已知n=1.50，
r2cm
，
p8 cm
，
n'43
，代入单球面成像公式
1nn111.501.501

代入数值得
pp'r8p'2
解得
p'12cm
，在空气中成像于棒内距端头12cm处。
若放入水中
n'nnn'431.501.5043

代入数值得
p p''r8p''2
解得
p''18cm
，在水中成像于端头左侧18cm处，为 一虚像。
11-9 折射率为1.5的平凸透镜，在空气中的焦距为50cm。求凸面的曲率
半径？
解：已知透镜 的折射率
n1.5
，空气的折射率
n
0
1
，透镜的焦距
f50cm
。

设透镜的曲率半径分别为
r
1
和r
2
。
由透镜焦距公式：
f[(n1)(
解得：
r
1
25cm

11-10一薄透镜的折射率为1.50，光焦度 为5.00D，将它浸入某液体，光
焦度为－1.00D。求此液体的折射率。
解： 已知 n =1.50,
Φ
1
=5.00D,
Φ
2

1 .00D
，设液体折射率为
n
液
，透镜两
个折射面的半径为
r
1
和r
2
。
在空气中
Φ
1

111
(n1)()5.00D

f
1
r
1
r
2
11
1
)]
，由于
r
2

，所以
r
1
r
2
nn
液
111
在液体中
Φ
2
()()1.00D

f
2
n液
r
1
r
2
(n1)n
液
Φ
1
5.00D
Φ
2
nn
液
比较上述两式得
解得：
n
液
1.67

11-11 使焦距为20cm的凸透镜与焦距为40cm的凹透镜密接，求密接后
的焦度？
解：设凸透镜的焦距为
f
1
20cm
，凹透镜的焦距为
f
2
40cm
，密接后
的焦度为
Φ
。
由透镜组合
Φ

1111
2.5D

f
1
f
2
0.20.4
解得：密接后焦度为2.5D。
11-12 一个焦距为15cm的凸透镜与一个焦距为10cm的凹透镜相隔5cm。
物体发 出的光线先通过凸透镜，再通过凹透镜，最后成像于凸透镜前15cm
处。问该物体位于凸透镜前多远？
解：物体通过凸透镜成像，设物距为u
1
，像距为v
1
，焦距为f< br>1

根据透镜成像：
111111

得

（1）
p
1
p
1
'f
1
p
1
p
1
'15
像v
1
通过凹 透镜成像, 设物距为p
2
，像距为p
2
’
，焦距为,f
2
根据透镜成像：
111111

得 （2）
p2
p
2
'f
2
p
2
（155）10解得
p
2
20
cm，说明物体通过凸透镜成像在凹透镜后20cm处 ，由此可得
p
1
'
=5cm+20cm=25cm，代入（1）式，有
111


p
1
2515
解得：p
1
=37.5cm
11-13 如图11-2所示，已知物、像和厚透镜的第一主焦点F
1
的位置，厚< br>透镜的两侧为同一媒质。适用做图的方法找出厚透镜的第二主焦点F
2
，一对
主 点H
1
，H
2
和一对节点N
1
，N
2
。
图11－２ 习题11－13

提示：1）利用过焦点光线，平行主轴射出，定出第 一主截面。先过p
点和F
1
点做一直线，并延长，再做过P’点，且平行于主轴的直线 ，过两线
相交点做垂直于主轴的主截面，定出H
1
和N
1
点（相同媒 质主点和节点重合）。
2)利用通过节点的光线平行射出，定出H
2
和N
2
3）利用平行光线出射后通过焦点，定出F
2

11-14 一近视眼患者的远点在眼前2m处，今欲使其能看清远物，问至
少应配戴什么样的眼睛？
解：该近视眼患者所配眼镜应使无穷远处物体成像在患者的远点上，即：
p
，
p'2m
，才能看清楚。
根据薄透镜成像公式得
111
Φ

2f
度
，该患者至少应配戴50度的凹透镜 解得：
Φ0.5D-50
11-15 一远视眼戴2D的眼睛看书时把书拿到眼前40cm处，此人应配戴
何种眼睛读书、看报才合适？

解：先求出此远视眼的近点
p
1
'
，已知
p1
40cm
，
Φ
1
2D

依透镜成像公式得
11
2

0.4p
1
'
解得此患者的近点为
p
1
'2m

在正常情况下，读书时应把书本放在明视距离处， 但必须成像在远
视眼的近点上才能看得清楚，这时透镜的焦度为：
解得：焦度为3.5D，说明此人应配戴350度的凸透镜。
11-16 查视力时，受检者 在5m处看清最上一行的“E”字时，视力应为
0.1，一人需站在3m处才能看清最上面一行的“E” 字，问此人的视力为多
少？［0.06］
解：已知
s
1
5cm< br>，
s
2
3m
，设“E“字高为
y
，视角分别为
1
和
2
，又
因为视力为最小视角的倒数，故可得：

1
tg
1

比较两式得
yy
，

2
tg
2


s
1
s< br>2

1
s
2
s
1131

，代入数 值得

2
0.06


2
s
1

2
s
1

1
50.1
解得：站在3m处 时，此人的视力为0.06
11-17 显微镜目镜的焦距为2.5cm，物镜的焦距为1.6cm， 物镜和目镜相
距22.1cm，最后成像于无穷远处。问：
(1) 标本应放在物前什么地方？
(2) 物镜的线放大率是多少？
(3) 显微镜的总放大倍数是多少？
解：物镜的焦距
f
1
1.6cm
， 物镜的物距和像距分别为p
1
和
p
1
'
；目镜的焦
距
f
2
= 2.5cm ，目镜的物距和像距分别为p
2
和
p
2
'
，且
p
2
'
= ∞；则目镜的物
距p
2
= 2.5cm。
(1) 物镜的像距
p
1
'
=22.1-2.5=19.6cm，物镜的物距
解得 p
1
= 1.74cm
(2) 物镜的线放大率
m
p
1
'
19.6
11(倍）

p
1
1.74

(3) 显微镜的总放大率
Mmam
2525
11110(倍）

f
2
2.5
11-18 一生物显微镜的目镜焦距为12.5mm。物镜为
f
1
4
mm（N.A. 0.9），
中间像成在第二焦平面后160mm处。试问，显微镜的放大倍数和分辨本领
如何？ （设照明光波长为
5.510
7
m
）。
解：显微镜的放大率为
最小分辨距离为
11-19 人眼可分辨的最短距离为0.1mm，欲观察0.25
μm
的细节，对显微
镜有什么要求？（所用光波的波长为600nm）
解：显微镜的放大倍数：
根据
Z
可得
NA
0.61


NA
0.61

0.61600
10
9
1.4651.5

6
Z
0.2510
解得：若要观察清楚0.25
μm
的细节，显微镜的放大 倍数为400倍，物镜的
孔径数为1.5。 （盖立
平）