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空间几何体的表面积和体积
一．课标要求：
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。
二．命题走向 < br>近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体
积求某些元 素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几
何体为依托.因而要熟练 掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学
会运用等价转化思想，会把组合体求 积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求
解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运 用“割补法”等求解。
由于本讲公式多反映在考题上，预测2016年高考有以下特色：
（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；
（2）考题可能为：与多面体和旋转 体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转
体中某些元素有关的计算问题；
三．要点精讲
1．多面体的面积和体积公式

名称
棱
柱
棱柱
直棱柱
棱锥
正棱锥
棱台
棱
台
正棱台
侧面积(S
侧
)
直截面周长×l
全面积(S
全
) 体 积(V)
S
底
·h=S
直截面
·h
S
侧
+2S
底

S
底
·h
S
侧
+S
底

1
S
底
·h
3
ch
各侧面积之和
棱
锥
1
ch′
2
各侧面面积之和
1
S
侧
+S
上底
+S
下底

(c+c′)h′
2
1
h(S
上底
+S
下底
3< br>+
S
下底
S
下底
)
表中S表示面积，c′、c分 别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧
棱长。
2．旋转体的面积和体积公式

名称 圆柱
2πrl
2πr(l+r)
πrh(即πrl)
22
圆锥
πrl
πr(l+r)
圆台
π(r
1
+r
2
)l < br>π(r
1
+r
2
)l+π(r
1
+r
2)
22
球

4πR
2
S
侧

S
全

V
1
2
πrh
3
1< br>22
πh(r
1
+r
1
r
2
+r
2
)
3
4
3
πR
3
表中l、h分别表示母线、高 ，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r
1
、r
2
分别表示圆台 上、
下底面半径，R表示半径。
四．典例解析
题型1：柱体的体积和表面积

例1．一个长方体全面积是20cm
2
，所有棱长的和是24cm，求长方 体的对角线长.














例2．如图1所示，在平行六面体A BCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，已知AB =5，AD=4，AA
1
=3，
AB⊥AD，∠A
1
AB=∠A1
AD=

。
3
（1）求证：顶点A
1
在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；
（2）求这个平行六面体的体积。

图1 图2

题型2：柱体的表面积、体积综合问题
例3．一个长方体共一顶点的三个面的 面积分别是
2,3,6
，这个长方体对角线的长是
（ ）
A．2
3
B．3
2
C．6 D．
6







例4．如 图，三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，若E、F分别为AB 、AC 的中点，平面EB
1
C
1
将三棱
柱分成体积为V
1
、V
2
的两部分，那么V
1
∶V
2
= _____。











题型3：锥体的体积和表面积
（2015湖北卷3） 用与球心距离为
1
的平面去截球，所得的截面面积为

，则球
的 体积为
A.
82

8

A
B. C.
82


3
3
B
E
O
D
C
P
32

D.
3

例6．（2015北京，19）．
（本小题满分12分）
如图，在四棱锥
PABCD
中，平面
PA D
平面
ABCD
，
AB∥DC
，
△PAD
是等边 三
角形，已知
BD2AD8
，
AB2DC45
．
（Ⅰ）设
M
是
PC
上的一点，证明：平面
MBD
平面PAD
；
（Ⅱ）求四棱锥
PABCD
的体积．

P
M
C
B
D
A

P
M
C
B
A
D
O
题型4：锥体体积、表面积综合问题
例7．ABCD 是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于正方形
ABCD所在的平面，且GC ＝2，求点B到平面EFG的距离？

例8．（2015江西理，12）
如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切 球（与四个面都相切的球）球心O，
且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的 两部分，设四棱锥A－BEFD
与三棱锥A－EFC的表面积分别是S
1
，S
2
，则必有（ ）
A．S
1
S
2
B．S
1
S
2

C．S
1
=S
2
D．S
1
，S
2
的大小关系不能确定

A



O
D

F


B
E









C
题型5：棱台的体积、面积及其综合问题
例9．（2015四川理，19）
（本小题满分12分）
如图，面ABEF⊥面A BCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，
BC∥AD， BE∥AF，G、H分别是FA、FD的中点。
(Ⅰ)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(Ⅱ)C、D、E、F四点是否共面？为什么？
(Ⅲ)设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE.










B C
1
2
1
2
F
G
E
A
D
H

例10．（1）（2015四川理，8）
设
M,N
是球心
O
的半径
OP
上的两点，且
NPMNOM
，分别过
N,M,O< br>作垂线于
OP
的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( )
（Ａ）
3,5,6
（Ｂ）
3,6,8
（Ｃ）
5,7,9
（Ｄ）
5,8,9


例11．（2015四川文，12）
若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面 都是有一个内角为
60
的菱形，则
该棱柱的体积等于()
（Ａ）
2
（Ｂ）
22
（Ｃ）
32
（Ｄ）
42






0

例12．如图9—9，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一 个半径为
r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则
R
=。
r












题型7：圆锥的体积、表面积及综合问题
例13．已知过球面上
A,B, C
三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且
ABBCCA2
，求球的表面积 。













图

例14．如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，
且PA =PB=PC=a，求这个球的表面积。
















题型9：球的面积、体积综合问题
例15．（1）表面积为
324

的球，其内接正四棱柱的高是
14
，求这个正四棱柱的表面
积。
（2）正 四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O
1
是与正四面体的三个面和球O都
相 切的一个小球，求球O
1
的体积。

题型10：球的经纬度、球面距离问题
例19．（1）我国首都靠近北纬
40
纬线，求北纬
40
纬线的长度等于多少
km
？（地球
半径大约为< br>6370km
）
（2）在半径为
13cm
的球面上有
A,B ,C
三点，
ABBCAC12cm
，求球心到经过
这三点的截面的距离 。







oo

例16．在北纬
45
圈上有
A,B
两点，设该纬度圈上
A,B
两点的劣弧长为
地球半径），求
A,B
两 点间的球面距离。




















31、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和, 求该圆台的母线
长.






< br>32、一块边长为10
cm
的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个 全等的
等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积
V
与
x的函数关系式,并求出
函数的定义域. (12分)


o
2

R
（
R
为
4

10


5

x

33.已知两个几何体的三视图如下，试求它们的表面积和体积。单位：CM

E
D
A
O
B
C
F
图（2

图（1）














34.养路处建造圆锥形仓库用于贮 藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底
面直径为12M，高4M。养路处拟建一个更 大的圆锥形仓库，以存放更多食盐。现有两种方
案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M（高不变） ；二是高度增加4M(底面直径不变)。
（1） 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
（2） 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
（3） 哪个方案更经济些？

35 （14分）（如图）在底半径为
2
，母线长为
4
的圆锥中内接一个高为
3
的圆
柱，求圆柱的表面积.










36.(2015年广东省惠州市高三调研)如图，已知正三棱柱ABC－
A
1
B
1
C
1
的底面边长是2，D，E是CC
1
，BC的中点 ，AE＝DE.
(1)求此正三棱柱的侧棱长；
(2)正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的表面积．




五．思维总结

1．正四面体的性质 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的

(1)全面积：S
全
=
3
a；
2
(2)体积：V=
2
3
a；
12
2
a；
2
(3)对棱中点连线段的长：d=
(4)内切球半径：r=
6
a；
12
6
a；
4
(5)外接球半径 R=
(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。
2．直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角
四面 体有下列性质：
如图 ，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c。
则：①不含直角的底面ABC是锐角三角形；
②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；
③体积 V=
④底面△
ABC
=
2
1
abc；
6
1
2
a
2
b
2
b
2
c
2
c
2
a
2
；
⑤S
△ABC
=S
△BHC
·S
△ABC
； 2222
⑥S
△BOC
=S
△AOB
+S
△AOC=S
△ABC

1111
=++;
OH
2
a
2
b
2
c
2
1
⑧外切球半径 R=
a
2
b
2
c
2
；
2
⑦
⑨内切球半径 r=
S
AOB
S
BOC
-S
ABC

abc
3．圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.
①如图，圆锥的顶角为β，母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，底面半径为
r，则
sinα=cos
α+

h
= ，
2l

=90°


2

r
cosα=sin = .
2l
②圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，上、下底面半径分
别为r ′、r，则h=lsinα，r-r′=lcosα。

③球的截面
用一个平面去截一个球，截面是圆面.
(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；
(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；
(3)球心和截面距离d,球半径R，截面半径r有关系：
r=
R
2
-d
2
.

4．经度、纬度：
经线：球面上从北极到南极的半个大圆；

纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；

经度：某地的经度就是经过这点 的经线与地轴确定的半平面与
0
经线及轴确定的半平
面所成的二面角的度数。
纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。
o

5. 两点的球面距离：
球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段 劣弧的长度，我们
把这个弧长叫做两点的球面距离
两点的球面距离公式：（其中R为球半径，

为A,B所对应的球心角的弧度数）