圆的概念-公式及推导(完整版)
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〖圆的定义〗
几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为
圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆
周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗
圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.149323846…，通
常用π表示，计算中常取3.1416为它的近似值。
圆弧和弦：圆上任意两
点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，
小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线
段叫做弦。经过圆心的弦叫做直
径。
圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做
圆心角。顶点在圆周上，且它的两边
分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角
形的外心。和三角形三边都
相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
扇形：在圆上，由两条半径和一
段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是
一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗
圆—⊙ 半径—r
弧—⌒ 直径—d
扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C
面积—S
〖圆和其他图形的位置关系〗
圆和点的位置关系：
以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心
的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，
PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两
个公共点为相交；圆与直线
有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
以
直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与
⊙O相离，
PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。
两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫
内含；有唯一公共点的，一
圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共
点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆
的半径分别为R和r，且R≥r，
圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R
+r；内切P=R-r；内
含P＜R-r。
【圆的平面几何性质和定理】
〖有关圆的基本性质与定理〗
圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
圆的对称性质：圆是轴对称图形，其
对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是
中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分
弦（不是直径）的直径垂直
于弦，并且平分弦所对的弧。
〖有关圆周角和圆心角的性质和定理〗
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量
相等，那么他们所对应的其
余各组量都分别相等。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。
〖有关外接圆和内切圆的性质和定理〗
一个三角形有唯一确定的外接圆和内切
圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分
线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各
内角平分线的
交点，到三角形三边距离相等。
〖有关切线的性质和定理〗
圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，
是这个圆的切线。
切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过
切点垂直于切
线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线的长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等。
〖有关圆的计算公式〗
1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr²
3.扇形弧长l=nπr180
4.扇形面积S=nπr²360=rl2
5.圆锥侧面积S=πrl
弦切角定义
顶点在圆上，一边和圆相交，另
图示
一边和圆相切的角叫做弦切角。
如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA=∠PBC
(∠
PCA为弦切角）。
弦切角定理
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是
切线与弦所夹的角）
弦切角定理证明：
证明一：设圆心为O，连接OC，OB,连接BA并延长交直线T于点P。
∵∠TCB=90-∠OCB
∵∠BOC=180-2∠OCB
此图证明的是弦切角∠TCB
∴,∠BOC=2∠TCA（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半）
∵∠BOC=2∠CAB（圆心角等于圆周角的两倍）
∴∠TCA=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）
证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC
所夹的弧.
求证：（弦切角定理）
证明：分三种情况：
（1） 圆心O在∠BAC的一边AC上
∵AC为直径，AB切⊙O于A，
∴弧CmA=弧CA
∵为半圆,
∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角
B点应在A点左侧
（2） 圆心O在∠BAC的内部.
过A作直径AD交⊙O于D,
若在优弧m所对的劣弧上有一点E
那么，连接EC、ED、EA
则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB
∴ ∠CEA=∠CAB
∴ （弦切角定理）
（3） 圆心O在∠BAC的外部,
过A作直径AD交⊙O于D
那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90
∴∠CDA=∠CAB
∴（弦切角定理）
弦切角推论:若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等
举例:
例1：如图，在中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° ,
AB=a 求BC长.
解：连结OA，OB.
∵在中,
∠C=90
∴∠BAC=30°
∴BC=12a(ＲＴ△中30°角所对边等于斜边的一半）
例1：如图，在中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° ,
AB=a
求BC长.
解：连结OA，OB.
∵在中,
∠C=90
∴∠BAC=30°
∴BC=12a(ＲＴ△中30°角所对边等于斜边的一半）
例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与
AB，AC分别相交于E，F.
求证：EF∥BC.
证明：连DF.
AD是∠BAC的平分线 ∠BAD=∠DAC
∠EFD=∠BAD
∠EFD=∠DAC
⊙O切BC于D
∠FDC=∠DAC
∠EFD=∠FDC
EF∥BC
例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，
求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.
证明：∵AB是⊙O直径
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B，
∵MN切⊙O于C
∴∠MCA=∠B，
∴∠MCA=∠ACD，
即AC平分∠MCD，
同理：BC平分∠NCD.
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切
线的夹角。
如图中，切线长AC=AB。
∵∠ABO=∠ACO=90°
BO=CO=半径
AO=AO公共边
∴RtΔABO≌RtΔACO（H.L）
∴AB=AC
∠AOB=∠AOC
∠OAB=∠OAC
切线长定理推论：圆的外接四边形的两组对边的和相等
切线长的概念． 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线
段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长． 引导学生理解：切线和切线长是两个不同的
概念，切
线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外
一点和切点，可以度量.
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点<
br>的连线平分两条切线的夹角．
推广：连接BC，BC⊥AO
相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条
线段长的积相等。（经过圆内一点引两条
线，各弦被这点所分成的两段的积相等）
相交弦说明
几何语言：
若弦AB、CD交于点P
则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例
中项
几何语言：
若AB是直径，CD垂直AB于点P，
则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）
编辑本段如何证明
证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。（圆周角
推论2:
同(等)弧所对圆周角相等.）
∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB
＝PC·PD
注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法. P点若选在圆内任意一点更具
一般性。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线
长是这点到割线与圆交点的两条
线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）
推论：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相
等
几何语言：
∵PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）
由上可知:PT的平方=PA·PB=PC·PD
证明
切割线定理证明:
设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB
证明：连接AT, BT
∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)
∠P=∠P(公共角)
∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)
则PB：PT=PT：AP
即：PT²=PB·PA
相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两
条
线，各弦被这点所分成的两段的积相等）
相交弦说明
几何语言：
若弦AB、CD交于点P
则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例
中项
几何语言：
若AB是直径，CD垂直AB于点P，
则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）
如何证明
证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。（圆周角
推论2:
同(等)弧所对圆周角相等.）
∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB
＝PC·PD
注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法. P点若选在圆内任意一点更具
一般性。
从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD。
证明：如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD
证明:连接AD、BC
∵∠A和∠C都对弧BD
∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C
又∵∠APD=∠CPB
∴△ADP∽△CBP
∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP
101
圆是定点的距离等于定长的点的集合
102
圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103
圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104
同圆或等圆的半径相等
105
到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半
径的圆
106
和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直
平分线
107
到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108
到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距
离相等的一条直线
109
定理
不在同一直线上的三点确定一个圆。
110
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111
推论
1
①
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112
推论
2
圆的两条平行弦所夹的弧相等
113
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
相等，所对的弦的弦心距相等
115
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116
定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117
推论
1
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
118
推论
2
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90
°
的圆周角所
对的弦是直径
119
推论
3
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
120
定理
圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它
的内对角
121
①
直线
L
和
⊙
O
相交
d
＜
r
②
直线
L
和
⊙
O
相切
d=r
③
直线
L
和
⊙
O
相离
d
＞
r
122
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
124
推论
1
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125
推论
2
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127
圆的外切四边形的两组对边的和相等
128
弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129
推论
如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
130
相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积
相等
131
推论
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项
132
切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
133
推论
从圆
外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相
等
134
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
135
①
两圆外离
d
＞
R+r
②
两圆外切
d=R+r
③
两圆相交
R-r
＜
d
＜
R+r(R
＞
r)
④
两圆内切
d=R-r(R
＞
r)
⑤
两圆内含
d
＜
R-r(R
＞
r)
136
定理
相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137
定理
把圆分成
n(n
≥
3):
⑴
依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正
n
边形
⑵
经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正
n
边
形
138
定理
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆