虚空掠夺者攻略-四中聚贤

→→→→→
1. AB，A为AB的起点，B为AB的终点。线段AB的长度称作AB的 长度，记作|AB|.数轴上同向
→
、且相等的向量叫做相等的向量。零向量的方向任意。在数 轴上任意三点A、B、C，向量AB
．．．．．．．．．．．．．．．
→
、AC
→
的坐标都具有关系：AC＝AB＋BC. .AC
→
＝AB
→
＋BC
．

→
是数轴上的任一个向量，则AB＝OB－OA＝x－x，d(A，B)＝|AB|＝|x－x|. 2.设 AB
2121
4.． A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，则两点A、B的距离公式d(A，B)＝x
2
－x< br>1

2
＋y
2
－y
1

2

2
若B点为原点，则d(A，B)＝d(O，A)＝x
2
1
＋y
1
；
x
1
＋x
2
y
1
＋y
2
5. A (x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，中 点M(
2
，
2
).
A(x，y)关于M(a，b)的对称点B(2x
0
－x，2y
0
－y)．
6. 直线倾斜角：:x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定，与x轴 平
行或重合的直线的倾斜角为0°.
7.直线的位置与斜率、倾斜角的关系
①k＝0时，倾斜角为0°，直线平行于x轴或与x轴重合．
②k>0时，直线的倾斜角为锐角，k值增大，直线的倾斜角也增大，此时直线过第一、三象限．
③k<0时，直线的倾斜角为钝角，k值增大，直线的倾斜角也增大，此时直线过第二、四象限．
④垂直于x轴的直线的斜率不存在，它的倾斜角为90°.
8. 若直线l上任意两点A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)且x
1< br>≠x
2
，则直线l的斜率k＝
9.直线方程的五种形式
（1）点斜 式:经过点P
0
(x
0
，y
0
)的直线有无数条，可分为两 类：斜率存在时，直线方程为
y－y
0
＝k(x－x
0
) ；斜率不存在时，直线方程为x＝x
0
.
(2)斜截式：已知点（0，b）,斜率为k的直线y＝kx＋b中，截距b可为正数、零、负数．
（3）两点式：
y－y
1
x－x
1
＝(x≠x，y≠y)
y
2
－y
1
x
2
－x
1
1212
y
2
－y
1
.
x
2
－x
1
xy
(4) 截距式:当直线过(a,0)和 (0，b)(a≠0，b≠0)时，直线方程可以写为
a
＋
b
＝1，当直线斜 率 不
存在(a＝0)或斜率为0(b＝0)时或直线过原点时，不能用截距式方程表示直线.
(5)一般式:Ax＋By＋C＝0的形式．(
A
2
B
2
0
)

10. (1)已知两条直线的方程为l
1
：A
1
x＋B
1
y＋C
1
＝0，l
2
：A
2< br>x＋B
2
y＋C
2
＝0.那么
1

A
1
B
1
①l
1
与l
2
相交的 条件是：A
1
B
2
－A
2
B
1
≠0或A
≠
B
(A
2
B
2
≠0)．
22< br>A
1
B
1
C
1
②l
1
与l
2
平行的条件是：A
1
B
2
－A
2
B
1< br>＝0且B
1
C
2
－B
2
C
1
≠0或
A
＝
B
≠
C
(A
2
B
2
C
2
≠0)．
222
A
1
B
1
C
1
③l
1
与l
2
重合的条件是：A
1
＝λA2
，B
1
＝λB
2
，C
1
＝λC
2< br>(λ≠0)或
A
＝
B
＝
C
(A
2
B
2
C
2
≠0)．
222
2)已知两条直线的方程为l< br>1
：y＝k
1
x＋b
1
，l
2
：y＝k2
x＋b
2
.那么
①l
1
与l
2
相 交的条件为k
1
≠k
2
.
②l
1
与l
2
平行的条件为k
1
＝k
2
且b
1
≠b
2< br>.
③l
1
与l
2
重合的条件为k
1
＝k< br>2
且b
1
＝b
2
.
11. 直线l
1：A
1
x＋B
1
y＋C
1
＝0与直线l
2：A
2
x＋B
2
y＋C
2
＝0垂直⇔________ .
直线l
1
：y＝k
1
x＋b
1
与l
2
：y＝k
2
x＋b
2
垂直⇔________.
若两直线 中有一条斜率不存在时，则另一条的斜率为0，即倾斜角分别为90°和0°，也满
足|α－β|＝90 °.
12.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可表示为Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可表示为Bx－Ay＋m＝0，
|Ax
1
＋By
1
＋C|
22
14. 点P(x
1
，y
1
)到直线Ax＋By＋C＝0(A＋B≠0)的距离为d＝
A
2
＋B
2
应用点到直线的距离公式时，若给出的直线方程不是一般 式，则应先把直线方程化为一般
式，然后再利用公式求解．
15.点到几种特殊直线的距离：
①点P(x
1
，y
1
)到x轴的距离d＝|y
1
| .②点P(x
1
，y
1
)到y轴的距离d＝|x
1
|. < br>③点P(x
1
，y
1
)到直线x＝a的距离为d＝|x
1－a|. ④点P(x
1
，y
1
)到直线y＝b的距离为d＝|y
1
－b|.
16．两平行直线l
1
：Ax＋By＋C
1
＝0，l
2
：Ax＋By＋C
2
＝0，C
1
≠C
2
，
则l
1
与l
2
的距离为 d＝
|C
1
－C
2
|
.
A
2
＋ B
2
两条平行线间的距离公式要求：l
1
、l
2
这两条直线 的一般式中x的系数相等，y的系数也必
须相等；当不相等时，应化成相等的形式，然后求解.


17. 圆的标准方程为(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
； < br>18.点到圆心的距离为d，圆的半径为r.则点在圆外⇔d>r；点在圆上⇔d＝r；点在圆内⇔0≤d 2

20.规律技巧 圆的几何性质：①若直线与圆相切， 则圆心到直线的距离等于半径，过切点与
切线垂直线的直线过圆心；②若直线与圆相交，圆心、弦的中点 及弦的一个端点组成的三角形
是直角三角形，弦的垂直平分线经过圆心．
④以A(x1
，y
1
)、B(x
2
，y
2
)为直径的圆的 方程为(x－x
1
)(x－x
2
)＋(y－y
1
)(y－y
2
)＝0.
21. 形如Ax
2
＋Bxy＋Cy
2
＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示圆的等价条件
(1)A＝C≠0；x
2
、y
2
的系数相同且不等于零；
(2)B＝0；不含xy项．
DE4F
(3)(
A
)
2< br>＋(
A
)
2
－
A
>0，即D
2
＋E
2
－4AF>0.
22
D
2
E
2
D＋E －4F
23．圆的一般方程形式为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，配方为 (x＋
2
)＋(y＋
2
)＝．
4
22
D
2
＋E
2
－4F
DE
(1)当D＋E－4F>0时，它表示以 (－
2
，－
2
)为圆心，为半径的圆．
2
22
D E
(2)当D
2
＋E
2
－4F＝0时，它表示点 (－
2
，－
2
)．
(3)当D
2
＋E
2
－4F<0时，它不表示任何图形
24.直线与圆的位置关系
(1)直线与圆相交，有两个公共点；
(2)直线与圆相切，只有一个公共点；
(3)直线与圆相离，没有公共点．
25．直线与圆位置关系的判定有两种方法
(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的 方程组，根据解的个数来判断．若有两组
不同的实数解，即Δ>0，则相交；若有两组相同的实数解，即 Δ＝0，则相切；若无实数解，
即Δ<0，则相离．
(2)几何法：由圆心到直线的距离d与 半径r的大小来判断：当dd＝r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆 相离．
26.直线与圆相切，切线的求法
(1)当点(x
0
，y
0
)在圆x
2
＋y
2
＝r
2
上时，切线方程为x< br>0
x＋y
0
y＝r
2
；
(2)若点(x
0
，y
0
)在圆(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r< br>2
上，切线方程为(x
0
－a)(x－a)＋(y
0
－b)( y－b)＝r
2
；
l
27.若弦长为l，弦心距为d，半径为r，则(2
)
2
＋d
2
＝r
2
.
28.判断两圆的位置关系
3

几何法
|C
1
C
2
|>r
1
＋r
2

|C
1
C
2
|＝r
1
＋r
2
< br>|r
1
－r
2
|<|C
1
C
2
|< r
1
＋r
2

|C
1
C
2
|＝|r
1
－r
2
|
|C
1
C
2
|<|r
1
－r
2
|
29．过两圆交点的直线方程
设圆C
1
：x
2
＋y
2
＋D
1
x＋E
1
y＋F
1
＝0， ①
圆C
2
：x
2
＋y
2
＋D
2
x＋E
2
y＋F
2
＝0. ②
①－②得(D
1
－D
2
)x＋(E
1
－E
2
)y＋F
1
－F
2
＝0. ③
两圆的位置关系
⇔相离
⇔外切
⇔相交
⇔内切
⇔内含
若圆C
1
与C
2
相交，则③为过两圆交点的弦所在的直线方程．求两圆的公共弦所在直线方
程，就是使表示圆的两个方程相减即可得到.
31.空间直角坐标系中的对称点
点P(x，y，z)的对称点的坐标
关于xOy平面
对称
(x，y，－z)
关于yOz平面
对称
(－x，y，z)
关于xOz平面
对称
(x，－y，z)
关于原点
对称
(－x，－y，－z)
32.在空间直角坐标系中，由两点P
1
(x
1
，y
1
，z
1
)，P
2
(x
2
，y
2
，z
2
)间的距离公式
|P
1
P
2
|＝x
2
－x
1

2
＋y
2－y
1

2
＋z
2
－z
1

2
.
到定点(a，b，c)距离等于定长R的点的轨迹方程为
(x－a)
2
＋(y－b)
2
＋(z－c)
2
＝R
2
，此即 以定点(a，b，c)为球心，R为半径的球面方程．
33.．空间线段的中点坐标公式
在 空间直角坐标系中，已知点P
1
(x
1
，y
1
，z
1
)，P
2
(x
2
，y
2
，z
2
)，则线段P
1
P
2
的中点P的坐
x
1
＋x
2
y
1
＋y
2
z
1
＋z
2
标为 (
2
，
2
，
2
).
4