荷花池塘-83




aa
坐标运算：(1)设=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y2
)
，则+
b
=
(x
1
x
2
,y
1
y
2
)
.



(2)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，则
a
-< br>b
=
(x
1
x
2
,y
1
y2
)
.
平面向量

(3)设A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2< br>,y
2
)
,则
ABOBOA(x
2
x
1
,y
2
y
1
)
.

(4)设
a
=
(x,y),

R
，则

a
=
(

x,

y)
.



(5)设
a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y< br>2
)
，则
a
·
b
=
(x
1
x
2
y
1
y
2
)
.





aa
向量内积：与
b
的数量积(或内 积)：·
b
=|
a
||
b
|
cos



x
1
x
2
y
1
y< br>2
ab
cos





两向量 的夹角公式：
2222
|a||b|
x
1
y
1
x
2
y
2


a
(=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
).
(x
2
x
1
)
2
(y
2
y
1
)
2
(A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
).



向量的平行与垂直 ：设a
=
(x
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，且
b

0，则：


a
||
b
x
1
y2
x
2
y
1
0
.（交叉相乘差为零）





a

b
(
a

0
)


a
·
b
=0
x
1
x
2
y
1
y
2
0
.（对应相乘和为零）

是实数，且线段的定比分公式 ：设
P
1
P
2
的分点,
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，
P(x,y)
是线段
P

PP
1


PP
2
，则
平面两点间的距离公式：
d
A,B


x
1


x
2
< br>x


OP

OP
2

1





OP
1
y

y
1

2

y
1
< br>1


直线和圆
y
2
y
1
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）.
x
2
x
1
k
直线方程：（1）点斜式
yy
1
k(xx
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为)．
（2）斜截式
ykxb
(b为直线
l
在y轴上的截距).
yy
1
xx
1

（3）两点式 (
y
1
y
2
) (
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)

y
2
y
1
x
2
x
1
(
x
1
x
2
,y
1
y
2
))
xy
(4)截距式
1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a0、b0
)
ab
（5）一般式
AxByC0
(其中A、B不同时为0).


直线
AxByC0
的法向量：
l (A,B)
，方向向量：
l(B,A)

kk
1
|
. (
l
1
:yk
1
xb
1
，
l
2
:yk
2
xb
2< br>,
k
1
k
2
1
) 夹角公式：(1)
t an

|
2
1k
2
k
1
斜率公式 ：
k

(2)
tan

|
A
1
B
2
A
2
B
1
|
.(
l< br>1
:A
1
xB
1
yC
1
0
,
l
2
:A
2
xB
2
yC
2
 0
,
A
1
A
2
B
1
B
2
0
).
A
1
A
2
B
1
B
2

直线
l
1
l
2
时，直线l
1
与l
2的夹角是.
2

l
1
到
l
2
的 角：(1)
tan



(2)
tan


k
2
k
1
.(
l
1
:y k
1
xb
1
，
l
2
:yk
2
xb
2
,
k
1
k
2
1
)
1k
2
k
1
A
1
B
2
A
2
B
1
.(
l
1
:A
1
xB
1< br>yC
1
0
,
l
2
:A
2
xB
2
yC
2
0
,
A
1
A
2B
1
B
2
A
1
A
2
B
1
B
2
0
).
直线
l
1
l< br>2
时，直线l
1
到l
2
的角是
点到直线的距离 ：
d

.
2
|Ax
0
By
0
C|
22
AB
圆的四种方程：（1）圆的标准方程
(xa)
2
(yb)
2
r
2
.
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
AxByC0
).
（2）圆的一般方程
x
2
y
2
DxEyF0
(
DE4F
＞0).
（3）圆的参数方程

22

xarcos

.

y brsin

222
点与圆的位置关系：点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(xa)(yb)r
的位置关系有三种：
d(ax
0
)
2
(by
0
)
2
， 则
dr
点
P
在圆外;
dr
点
P
在圆上;
dr
点
P
在圆内.
直线与圆的位置关系：
直线
AxByC0
与圆
(xa)
2
(yb)
2
r
2
的位置关系有三种
AB

dr相离0
dr相交0
.
(
d
AaBbC
22
):
;
dr相切0
;
两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
d
，则：

dr
1
r
2
外离4条公切线
;

dr
1
r
2
外切3条公切线
;

r
1
r
2
dr
1
r
2
 相交2条公切线
;

dr
1
r
2
内切1条公切线
;

0dr
1
r
2
内含无公切线
.

立体几何

空间中的平行问题
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。
线线平行

线面平行
两个平面平行的判定定理：（1）如果一个平面内的两条相交直 线都平行于另一个平面，那么
这两个平面平行
（线面平行→面面平行），
（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两
个平面平行。
（线线平行→面面平行），
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，
两个平面平行的性质定理：

（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面
平行。
（面面平行→线面平行）
（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平
行。
（面面平行→线线平行）
空间中的垂直问题
线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直
线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相
垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的
直线垂直于另一个平面。
空间角问题
直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角：规定为
0

。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。
③两 条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线
a

,b

，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角：规定为
0
。

②平面的垂线与平面所成的角：规定为
90
。
③斜线与平面所成 的角：一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平
面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，
在解题时， 注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一
点或过斜线的平面与 已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。
二面角和二面角的平面角
①二面角的定义：从一条 直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二
面角的棱，这两个半平面叫做二面角的 面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射
．．．．．
线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。