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高中数学必修2《解析几何》常用公式结论

1、直线的倾斜角与斜率：ktan

，当

∈[0°,90°）时，斜率
k
∈ [0，+∞）；
当

∈（90°,180°）时，斜率
k
∈（－∞，0）。
过两点
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
的直线斜率公式：
k 
y
y
2
y
1
.
x
2
x< br>1
O

2

2、直线的五种方程：
⑴点斜式：
yy
0
k(xx
0
)
(直线< br>l
过点
P(x
0
,y
0
)
，且斜率为
k
)．
⑵斜截式：
ykxb
(
k
为直线的斜率，b 为直线
l
在y轴上的截距).
x
yy
1
xx
1
(
y
1
y
2
且
x
1
x
2
)(
P
< br>1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
).
y
2
y
1
x
2
x
1
xy
⑷截距式：
1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，且
a、b0
)
ab
⑸一般式：
AxByC0
(其中A、B不同时为0).
⑶两点式：
3、两条直线平行和垂直的等价关系：
(1)若
l
1< br>:yk
1
xb
1
，
l
2
:yk
2
xb
2
，则①
l
1
||l
2
k< br>1
k
2
,b
1
b
2
②
l
1
l
2
k
1
k
2
1
；
(2)若
l
1
:A
1
xB
1
yC
1
0
,
l
2
:A
2
xB
2
y C
2
0
,且A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零；
①
l
1
||l
2
< br>A
1
B
1
C
1

或
A
1
B
2
A
2
B
1
0
且B
1C
2

B
2
C
1
；②
l
1< br>l
2
A
1
A
2
B
1
B
2
0
；
A
2
B
2
C
2
4、五种常用直线系方程：
⑴斜率为
k
的直线系方程为：
ykxb
（
k
为常数，
b
为参数；）.
⑵过定点
M

x
0
,y
0

的直线系方程为：
yy
0
k

x x
0

及
xx
0

⑶与直线
AxB yC0
平行的直线系方程为：
AxBy

0
（
C 

）（

为参数）
⑷与直线
AxByC0
垂直的直线系方程为：
BxAy

0
（

为参数）
⑸过直线
l
1
：A
1
xB
1
yC1
0
和
l
2
：A
2
xB
2
yC
2
0
的交点的直线系的方程为：

AxByC



A
1112
xB
2
yC
2

0
（不含
l
2
）（

为参 数）
22
｜P｜＝(x
2
x
1
)(y
2y
1
)
（其中两点为
P
5、两点间距离公式：
1P
2
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）
特别的：点
P(x,y)
到坐标原点
O(0,0)
的距离为：
|OP|
6、 点到直线的距离公式：
d
x
2
y
2

|Ax< br>0
By
0
C|
22
AB
|C
2
C
1
|
7、两条平行直线间的距离公式：
d
(直线
l
1
：
AxByC
1
0
，
l
2
：
AxByC
2
0
).
22
AB
8、 光的反射定律：当反射面是坐标轴时，入射光线与反射光线所在直线的斜率互为相反数，即：
k
入
＝－k
反
。
9、四种对称的求解方法：
⑴点P
x
0
,y
0

关于点C

a,b
< br>的对称点坐标为

2a－x
0
,2b－y
0

。
特别的：点
P

x
0
,y
0
关于
x
轴的对称点为

x
0
,－y
0

；关于
y
轴的对称点为

－x
0
,y
0

；关于原点的对称点
为

x
0
,－y
0

；关于
yx
的对称点为

y
0
,x
0

；关于
yx
的对称点为

－y
0
,－x
0

.
⑵直线
l：AxByC0
关 于点C

a,b

对称的直线方程为
A(2a－x)B(2b－y )C0
.
求法：设所求直线上任意一点为P

x,y

，则P关于C

a,b

的对称点

2ax,2by

在直线
(点
P(x
0
,y
0
)
，直线
l
：
AxByC0
).
AxByC0
上，即所求直线方程为
A(2a－x)B(2b－y)C0

⑶点
P< br>
a,b

关于直线
AxByC0
的对称点的坐标的求 法：


ax
0
by
0

一定 在直线
AxByC0
上，且
,

2

2< br>yb

A

'
直线
PP
与直线
A xByC0
的斜率互为负倒数，即
0




1
，联立解出对称点
P
'

x
0
,y
0

。
x
0
a

B

设所 求的对称点
P
的坐标为

x
0
,y
0
< br>，则
PP
的中点

''
⑷直线关于直线对称：
‘< br>l
直线关于直线对称可转化为点关于直线对称解决，在
l
1
上任取两点
P
求出
P
1
、
P
2
，
1
、
P
2
关于的对称点
P
1
、
‘
l
P
2
，再用两点式求出
l
1
关于对称的直线
l
2< br>的方程。
10、圆的两种方程：⑴圆的标准方程
(xa)
2
( yb)
2
r
2
（圆心为
(a,b)
，半径为
r
）.
⑵圆的一般方程
x
2
y
2
DxEyF0
(
DE4F0
).
22
DE
（圆心为
(,)< br>，半径为
r
22
11、圆系方程：
D
2
E
2
4F
）
2
⑴过直线
l
:
AxByC0
与圆
C
:
x
2
y
2
DxEyF0
的交点的圆系方程是
x
2
y
2
DxEyF

(AxByC)0
,λ是待定的系数 ．
22
⑵过圆
C
1
:
x
2
y
2
D
1
xE
1
yF
2
0
的交点的 圆系方程是
1
0
与圆
C
2
:
xyD
2
xE
2
yF
x
2
y
2
D
1
xE
1
yF
1


(x
2
y
2
D
2
xE
2
yF
2
)0
,λ是待定的系数．
⑶过两个相交圆公共点的直线方程的求法：只需将两圆的方程相减，消去
x
2
、y
2
，即可得到所求方程。
12、点与圆的位置关系：
点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(xa)
2
(yb)
2
r
2
的位置关系有三种，若
d
13、直线与圆的三种位置关系：
直线
l
：
AxByC0
与圆
(xa)
2
(yb)
2
r
2
的位置关系判断的两种方法（常用方法⑴）:
⑴设圆心
(a ,b)
到直线
l
的距离
d
(ax
0
)
2
(by
0
)
2
，则
dr
点
P
在圆外；
dr
点
P
在圆上；
dr
点
P
在圆内.
AaBbC
22
，则
dr相离；dr相 切；dr相交。

AB
⑵将直线代入圆的方程消去y，得到关于x的一元二次方 程，再利用

判断：
即：
0相交；＝0相切；0相离。

14、两圆位置关系的 判定方法：设两圆圆心分别为
O
1
、O
2
，半径分别为
r< br>1
、r
2
，
O
1
O
2
d
，则：
⑴
dr
1
r
2
外离4条公切线
； ⑵
dr
1
r
2
外切3条公切线
;
⑶r
1
r
2
dr
1
r
2
相交 2条公切线
；⑷
dr
1
r
2
内切1条公切线;
⑸
0dr
1
r
2
内含无公切线

15、圆的切线方程：⑴已知圆
xyDxEyF0
．
①过圆外一 点的切线方程可设为
yy
0
k(xx
0
)
，再利用相 切条件求k，这时必有两条切线，注意不
要漏掉平行于y轴的切线．
②斜率为k的切线方程可设为
ykxb
，再利用相切条件求b，必有两条切线．
22
D(x
0
x)E(y
0
y)
F0< br>.
22
222
2
⑵已知圆
xyr
．①过圆上的
P
0
(x
0
,y
0
)
点的切线方程为x
0
xy
0
yr
;
③若已知切点
(x< br>0
,y
0
)
在圆上，则只一条切线，方程为
x
0xy
0
y
②斜率为
k
的圆的切线方程为
ykx r1k
2
.
16、空间两点间的距离公式：
｜P｜＝(x
2< br>x
1
)
2
(y
2
y
1
)2
(z
2
z
1
)
2
（其中两点为
P
1
P
2
2
(x
2
,y
2
,z< br>2
)
）
1
(x
1
,y
1
,z1
)
、
P
特别的：点
P(x,y,z)
到坐标原点O(0,0,0)
的距离为：
|OP|x
2
y
2
 z
2