完全平方公式、平方差公式的几何背景
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专题 完全平方公式、平方差公式的几何背景
【例7】（2012•遵义）如图，从
边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a-1）
cm的正方形（a＞1），剩余部分沿
虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的
面积是（ C ）
A．2cm B2acm C．4acm D．（a-1）cm
分析：先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-
矩形
的面积即可得出答案．
解答：解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），
2
故正方形的面积为（m+n），
22
又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）-4mn=（m-n）．
故选C．
【例8】（2012•白银）如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长
为m的正方形之
后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边
长
是（ ）
22222
A．m+3 B．m+6 C．2m+3
D.2m+6
分析：由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又
剪拼
成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而
矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．
2222
解答：解：依题意得剩余部分为（m+3）-m=m+6m+9-m=6m+9，
而拼成的矩形一边长为3，∴另一边长是
6m9
=2m+3．故选C．
3
【变式训练】
15.（2012四川绵阳）图（1）是一个长为2m，宽为2n（
m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚
线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然
后按图（2）那样拼成
一个正方形，则中间空的部分的面积是（ C ）
A．2mn B．（m+n） C．（m-n） D．m-n
16.如图所示，在边
长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部
分拼成一个梯形，根据两个图形
阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式
为（ C ）
2222
222
A．（a-b）=a-2ab+b
B．（a+b）=a+2ab+b
222
C．a-b=（a+b）（a-b）
D．a+ab=a（a+b）
17.图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分
拼成图②的形状，由图①
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和图②能验证的式子是（ B ）
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A.（m+n）-（m-n）=4mn
222
B.（m+n）-（m+n）=2mn
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C.（m-n）+2mn=m+n
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D.（m+n）（m-n）=m-n
18.（2012广东佛山）如图，边长为
m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩
余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长
为4，则另一边长为 2m+4 .
19.如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小
正方形，若将图1的阴影部分拼成一个
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长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积
，你能得到的公式是 a-b=（a+b）
（a-b）.
20.利用图形中面积
的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两
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数和的平方公式：
（a+b）=a+2ab+b．你根据图乙能得到的数学公式是 （a-b）
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=a-2ab+b.
21.阅读材料并回答问题：
我们知道，完全平方
式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也
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可以用这种形式表示，
如：（2a+b）（a+b）=2a+3ab+b，就可以用图（1）或图（2）等
图形的面积表示．
（1）请写出图（3）所表示的代数恒等
式：
.
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（2）试画一个几何图形，使它的面积表示：（a+b）（a+3b）=a+4ab
+3b；
（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．
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解：（1）（2a+b）（a+2b）=2a+5ab+2b；
（2）（答案不唯一）；
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（3）恒等式是（a+2b）（a+b）=a+3ab+2b，如图所示．
（答案不唯一）