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知识点060 平方差公式的几何背景（选择）
1、（2010•达州）如图所示， 在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），
将余下部分拼成一个梯形，根据两个 图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的
恒等式为（ ）
A．（a-b）2=a2-2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．a2-b2=（a+b）（a-b） D．a2+ab=a（a+b）

考点：平方差公式的几何背景．
分析：可分别在 正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a、b的恒
等式．
解答：解：正方形中，S阴影=a2-b2；
梯形中，S阴影=
1
（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；
2
故所得恒等式为：a2-b2=（a+b）（a-b）．
故选C．
点评 ：此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的
关键．
2. （2009•内江）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），
把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证
（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a-b）2=a2-2ab+b2C．a2-b2=（a+b）（a-b） D．（a+2b）（a-b）
=a2+ab-2b2

考点：平方差公式的几何背景．
分析：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）．
解答：解：阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）．
故选C．
点评 ：此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数
的平方差，这个公 式就叫做平方差公式．
3. （2006•襄阳）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小 正方形（a＞b），把
余下的部分剪拼成一矩形如图，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一 个等式，
则这个等式是（ ）
A．（a-b）（a+2b）=a2-2b2+ab B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．（a-b）（a+b）=a2-b2

考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．
分析：左图中阴影部分的面积=a2-b2， 右图中矩形面积=（a+b）（a-b），根据二者相等，即
可解答．
解答：解：由题可得：（a-b）（a+b）=a2-b2．
故选D．
点评：此题 主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数
的平方差，这个公式就叫 做平方差公式．
4. （2006•天门）如图所示，从边长为a的大正方形中挖去一个边长是b的小 正方形，小明
将图甲中的阴影部分拼成了一个如图乙所示的矩形，这一过程可以验证（ ）
A．a2+b2-2ab=（a-b）2 B．a2+b2+2ab=（a+b）2C．2a2-3ab+b2=（2a-b）（a-b） D．a2-b2=
（a+b）（a-b）

考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．
分析：利用正方形的面积公式可知阴影部分面 积为=a2-b2，根据矩形面积公式可知阴影部分
面积=（a+b）（a-b），二者相等，即可解答 ．
解答：解：由题可知a2-b2=（a+b）（a-b）．
故选D．

点评：此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数
的平方差， 这个公式就叫做平方差公式．
5. （2006•荆门）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小 正方形（a＞b），再沿虚线
剪开，如图（1），然后拼成一个梯形，如图（2），根据这两个图形的面 积关系，表明下列式
子成立的是（ ）
A．a2-b2=（a+b）（a-b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-b2=（a-b）2

考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．
分析：（1）中的面积=a2-b2，（2）中梯形的面积=（2a+2b）（a-b）÷2=（a+b）（a -b），两图
形阴影面积相等，据此即可解答．
解答：解：由题可得：a2-b2=（a+b）（a-b）．
故选A．

点评：本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
6. 如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一
个矩形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式，此等式是（ ）
A．a2-b2=（a+b）（a-b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．（a+2b）（a-b）
=a2+ab+b2

考点：平方差公式的几何背景 ．专题：计算题．分析：利用正方形的面积公式可知剩下的面
积=a2-b2，而新形成的矩形是长为a +b，宽为a-b，根据两者相等，即可验证平方差公式．解
答：解：由题意得：a2-b2=（a+b ）（a-b）．
故选A．点评：此题主要考查平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两 个数
的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
7. 如图，在边长为a的正方形上剪去一个边 长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼
成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由 此可以验证的等式是（ ）
A．a2-b2=（a+b）（a-b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-ab=a（a-b）

考点：平方差公式的几何背景．
分析：根据正 方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2-b2=
（a+b）（a-b） ．
解答：解：阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）．
故选A．
点评：此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方
差，这个公式 就叫做平方差公式．
8. 如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b） ，再把剩余的部
分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分的面积），验证了一个等式是（ ）
A．a2-b2=（a+b）（a-b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2

考点：平方差公式的几何背景．专题：几何图形问题．
分析：利用正方形的面积公 式可知剩下的面积=a2-b2，而新形成的矩形面积为（a+b）（a-b），
根据两者相等，即可验 证平方差公式．
解答：解：由题意得：a2-b2=（a+b）（a-b）．

故选A．
点评：本题主要考查平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积 等于这两个数的平方差，
这个公式就叫做平方差公式．
9. 从边长为a的正方形中去掉一个 边长为b的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成
一个矩形，上述操作所能验证的等式是（ ）
A．a2-b2=（a+b）（a-b） B．（a-b）2=a2-2ab+b2
C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．a2+ab=a（a+b）

考点：平方差公式的几何背景．
分析：由大正方形的面积- 小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
解答：解：大正方形的面积- 小正方形的面积=a2-b2，
矩形的面积=（a+b）（a-b），
故a2-b2=（a+b）（a-b）．
故选A．
点评：本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
10. 如图（一），在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成一个矩形（如图（二）），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，
则这 个等式是（ ）
A．a2-b2=（a+b）（a-b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．（a+2b）（a-b）
=a2+ab-2b2

考点：平方差公式的几何背 景．专题：应用题．分析：左图中阴影部分的面积=a2-b2，右图
中矩形面积=（a+b）（a-b ），根据二者相等，即可解答．解答：解：由题可得：a2-b2=（a-b）
（a+b）．
故选A．点评：本题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于
这两个数的平 方差，这个公式就叫做平方差公式．
11. 如图，在边长为a的正方形中裁掉一个边长为b的小正方 形（如图Ⅰ），将剩余部分沿
虚线剪开后拼接（如图Ⅱ），通过计算，用接前后两个图形中阴影部分的面 积可以验证等式
（ ）
A．a2-b2=（a+b）（a-b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2 D．（a-b）2=a2-2ab+b2

考点：平方差公式的几何背景．
分析：易求出图（1）阴影部分的面积=a2-b2，图（2）中阴影部分进行拼接后，长为a+b，< br>宽为a-b，面积等于（a+b）（a-b），由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．
解答：解：图（1）中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2-b2；
图（2）中阴影部分为矩形，其长为a+b，宽为a-b，则其面积为（a+b）（a-b），
∵前后两个图形中阴影部分的面积，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）．
故选A．
点评：本题考查了利用几何方法验证平方差公式：根据拼接前后不同的几何图形的面 积不变
得到等量关系．
12. 如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（ a＞b），把剩下的部分拼
成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，可以验证下面一个等式是（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a-b）2=a2-2ab+b2
C．a2-b2=（a+b）（a-b） D．a2+b2=12[(a+b)2+(a-b)2]

考点：平方差公式的几何背景．
分析：分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．
解答：解：第一个图形的阴影部分的面积=a2-b2；
第二个图形是梯形，则面积是：12（2a+2b）（a-b）=（a+b）•（a-b）．
则a2-b2=（a+b）（a-b）．
故选C．
点评：本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．
13. 如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个梯形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A．a2-b2=12(2a-2b)(a-b) B．（a-b）2=a2-2ab+b2C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．（a+2b）（a-b）
=a2+ab-2b2

考点：平方差公式的几何背景．

分析：根据正方形的面积公式与梯形的面积公 式，列出两个图形中的阴影部分的面积，再根
据两个阴影部分的面积相等解答即可．
解答：解：图1中，阴影部分的面积=a2-b2，
根据图1可得，图2中梯形的高为（a-b），
因此图2中阴影部分的面积=12（2a+2b）（a-b），
根据两个图形中阴影部分的面积相等可得a2-b2=12（2a+2b）（a-b）．
故选A．
点评：本题考查了平方差公式的几何解释，根据面积相等，列出两个图形的面积表达 式是解
题的关键．
14. 关于以如图形面积从左到右的变化过程，能正确表示其中变化规律的等式是（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．a2-b2=（a+b）（a-b）
C．a2-2ab+b2=（a-b）2 D．（a+b）（a-b）=a2-b2

考点：平方差公式的几何背景．专题：几何图形问题．
分析：利用正方形的面积公式可知剩下 的面积=a2-b2，而新形成的矩形面积为（a+b）（a-b），
根据两者相等，即可验证平方差公 式．解答：解：由题意得：a2-b2=（a+b）（a-b）．
故选B．
点评：本题主要 考查平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，
这个公式就叫做平方差公式 ．
15. 将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到
的数学公式是（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a-b）2=a2-2ab+b2
C．a2-b2=（a+b）（a-b） D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2

考点：平方差公式的几何背景．
分析：首先求出甲的面积为a2-b2，然后求出 乙图形的面积为（a+b）（a-b），根据两个图形
的面积相等即可判定是哪个数学公式．
解答：解：甲图形的面积为a2-b2，乙图形的面积为（a+b）（a-b），
根据两个图形的面积相等知，a2-b2=（a+b）（a-b），
故选C．
点评：本题主要考查平方差的几何背景的知识点，求出两个图形的面积相等是解答本题的关
键．

16. 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以得 到一个
关于a、b的恒等式为（ ）
A．（a-b）2=a2-2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a+b）（a-b）=a2-b2 D．a（a-b）=a2-ab

考点：平方差公式的几何背景．专题：证明题．
分析：分别求出两个图形的面积，再根据两图形的面积相等即可得到恒等式．
解答：解：图甲面积=（a-b）（a+b），
图乙面积=a（a-b+b）-b×b=a2-b2，
∵两图形的面积相等，
∴关于a、b的恒等式为：（a+b）（a-b）=a2-b2．
故选C．
点评：本题考查了平方差公式的几何解释，根据面积相等分别求出图形的面积是解题的关键．
17. 比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到因式分解公式（ ）
A．a2-b2=（a+b）（a-b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-ab=a（a-b）

考点：平方差公式的几何背景；矩形的判定与性质．专题：证明题．
分析：过A作AE⊥BC 于E，过D作DF⊥BC于F，得出矩形AEFD，求出BE值，求出高
AE，根据矩形和正方形的面积 公式求出第一个和第二个图形阴影部分的面积，根据阴影部
分的面积相等即可得出答案．
解答：解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠DAE=∠DFE=90°，
则四边形ADFE是矩形，
∴AD=EF，BE=CF=12（a-b），
由图形可知：∠B=45°，
∴AE=BE=12（a-b），
∴第一个图形阴影部分的面积等于矩形QMNH的面积，是 （a+b）×12（a-b）×2=（a+b）
（a-b），
第二个图形阴影部分的面积是a2-b2，
∴a2-b2=（a+b）（a-b），
故选A．

点评：本题考查了对平方差公式的几何图形的运用，表示出阴影部分的面积是解此题的关键．