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虎山路初中七年级数学学科导学案 主备人： 沈佳 备课组长：华燕平 审核人： 使用人：
乘法公式（因式分解）的几何解释
——“数形结合”思想

学习目标：1、理解乘法公式（多项式乘法）与几何图形表示之间的相互推导
2、体会数形结合，能熟练“数”与“形”之间的转化


一、回顾旧知、预学展示
1
、
边长为
a
的大正方形中有一个边长为
b
的小正 方形，如图
2
是由图
1
中阴影部分拼成的一个长方形
.
（
1
）请你分别表示出图
1
阴影部分的面积
S
1
，图
2
阴影部分的
面积
S
2

（
2
）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？









2、
在边长为a的正方形中 剪去一个边长为b的小正方形，把剩下部分如图所示拼成一个长方形.
（
1
）请你分 别表示出两个图形中阴影部分的面积
S
1
，
S
2

（
2
）请问以上结果可以验证哪个因式分解？








3、
前两题都通过图形变换，用不同的 方式表示了相同的面积（阴影部分的面积），证明了乘法公式
的正确性 ，思考一下，你还能够将图1中的阴影部分转化成其它几何图形吗（画出图形）？是否也能证明以上的乘法
公式（写出证明过程）！（小贴士：动手做一做，思路会更清晰哦，方法越多越好）







图1





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4、如图1，边长为（a+b）的正方形，按图2 所示分割.请用不同的方法来表示大正方形的面积，从而验证了哪个乘法
公式？







图1 图2



5、想要证明

ab

2
a
2b
2
2ab
，由上题启发，从等式出发，你该如何构造下面的正方形？








6、图①是一 个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个
正方形．
（1）图②中的阴影部分的面积为 ；
（2）观 察图②请你写出三个代数式
(mn)
、
(mn)
、
mn
之间
的等量关系是 ．
（3）若
x
2
2
y6
，
xy2.75
，则
xy
．




二、归纳方法、思想提炼

①已知图形的变换，根据面积 ，列出等式，可得乘法公式（多项式乘多项式），即由“形”到
“数”（1、2、4题）；

②已知乘法公式（多项式乘多项式的结果），同样可以得到图形分割、拼接的思路，从而构造出可证明乘法公式的图形变换，即由“数”到“形”（3、5题）；

③由“数”到“形”，再由“形”到“数”，充分利用了 数学思想.
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三、拓展提高、探究活动
7、我们在学 习完全平方公式
(ab)
2
a
2
b
2
2a b
时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立．在
2
习题中我们又遇到了 题目“计算：
(abc)
”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可） 并
根据图形直接写出
(abc)
的展开式吗？
2







8、如图，现有2张边长为b的正方形纸片，3 张长为b、宽为a的长方形纸片和1张边长为a的正方形纸片，试一试，
能否将这些纸片拼成一个长方形 （每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图痕迹）？由此你发
现了什么？










9、
如图2所示是2002年8月20日在北京召开的国际数学家大会的会标．它是由四个全等 的如图1所示的直角三角
形（每个直角三角形两直角边分别是a和b，斜边长为c）与中间的小正方形拼 成的一个大正方形．请你根据图2中的
面积写出它所能说明的等式，并写出推导过程








图1 图2
四、目标反思、自我小结
1、今天这节课，我们学会从已知的图形变换，来证明 (填公式)，
体会了乘法公式（或因式分解）的几何解释；
2、反之，我们为了得到乘法（或 因式分解）的结果，也会从图形入手，巧妙构造图形，也推导出以
上 （填公式）；
3、今天，我们主要感受了 的数学思想，并学会了应用。
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动手做一做
1~3

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