机械加工合作-悲酥清风

重点高中数学必背公式——立
体几何与空间向量

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2

高中数学必背公式——立体几何与空间向量
知识点复习：
1. 空间几何体的三视图“长对正、高平齐、宽相等”的规律。
2. 在计算空间几何体体积时注意割补法的应用。
3. 空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化：
线线平行
ƒ
线面平行
ƒ面面平行，线线垂直
ƒ
线面垂直
ƒ
面面垂直。
4．求角：（1）异面直线所成的角：
rr
rr
|ab|
可平移 至同一平面；也可利用空间向量：
cos

|cosa,b|
=
rr
|a||b|
oo
|x
1
x
2
y1
y
2
z
1
z
2
|
xyzx
2
y
2
z
2
2
1
2
1
2
1
222

rr
b
所成角，
a,b
分 别表示异面直线
a,b
的方向向量）（其中

（
0
90
）为异面直线
a,
。
（2）直线与平面所成的角：
在 斜线上找到任意一点，过该点向平面作垂线，找到斜线在该平面上的射影，则斜线和射影所成的角便
uu urur
ABm
rur
是直线与平面所成的角；也可利用空间向量，直线
AB
与平面所成角
sin


uuu
|AB||m|
ur
(
m
为平面

的法向量).
（3）二面角：
方法一：常见的方法有三垂线定理法和垂面法；
urr
urr
mn
mn
或方法二：向量法：二面角

l

的平面角

arccos
u
rr


arccos
urr
|m||n|
|m||n|
urr
（
m
，
n
为平面

，

的法向量）.
5. 求空间距离：
（1）点与点的距离、点到直线的距离，一般用三垂线定理“定性”；
uuuruur
|ABn|
r
r
（2）两条异面直线的距离：
d
（
n
同时垂直于两直线，
A
、
B
分别在两直线上）；
|n|
uuuruur
|ABn|
r
r
（3）求点面距：
d
（
n
为平面

的法向量，
AB
是经过 面

的一条斜线，
A

）；
|n|
（3）线面距、面面距都转化为点面距。

题型一：空间几何体的三视图、体积与表面积
例1：已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，
其三视图如右，若图中圆的半径为
1
，等腰三角形的腰
长为
5
，则该几何体的体积是（ ）
A.


例2：某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积
为（ ）
A.
180
B.
200
C.
220
D.
240



例3：右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体
的表面积是（ ）
A．
10π
B．
11π
C．
12π
D．
13



题型二：空间点、线、面位置关系的判断
4

8

10

B.
2

C. D.
333

2


3


2 2
俯视正(主侧 )(左)
例4：已知
m
、
n
是不重合的直线，

和

是不重合的平面，有下列命题：
（1）若
m

，n
∥

，则
m
∥
n
；（2）若
m∥

，
m
∥

，则

∥
< br>；
（3）若



n
，
m
∥< br>n
，则
m
∥

且
m
∥

；
（4）若
m


，
m


，则< br>
∥

.
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1
例5：给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直；
其中真命题的个数是( )．
A．4 B．3 C．2 D．1


C．2 D．3

例6：给出下列命题
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面 垂直；②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行；③
过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线 垂直；④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直；
其中正确命题的个数为（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
☆题型三：空间线面位置关系的证明和角的计算
例7：空间四边形
ABCD
中，
ABCD
且成
60
的角，点
M
、
N
分别为
BC
、
AD
的中点，求异面
直线
AB
和MN
成的角．






例8：已知三棱锥
PABC
中，
PA
平面
ABC
，
ABAC
，
PAAC
0
1
AB
，
2
N
为
AB
上一点，
AB4AN
，
M
，
S
分别为
PB
，
BC
的中点.
（1）证明：CMSN
；（2）求
SN
与平面
CMN
所成角的大小.

例9：如图，四棱锥
PABCD
中 ，
PA
⊥底面
ABCD
，
PC
⊥
AD
．
底面
ABCD
为梯形，
ABDC
，
ABBC
．< br>PAABBC
，
点
E
在棱
PB
上，且
PE2EB
．
（1）求证：平面
PAB
⊥平面
PCB
；
（2）求证：
PD
∥平面
EAC
；
（3）求平面
AEC
和平面
PBC
所成锐二面角的余弦值．








例10：已知 四棱锥
PABCD
的底面为直角梯形，
ABDC
，
DAB90 ,PA
底面
ABCD
，
且
PAADDC

1
AB1
，
M
是
PB
的中点。
2
（1）证明：面
PAD
⊥面
PCD
；
（2）求
AC
与
PB
所成的角余弦值；
（3）求面
AMC
与面
BMC
所成二面角的余弦值。

题型四：空间距离的计算
例11：点
M
是线段
AB
的中点，若
A
、
B
到平面

的距离分别为
4cm
和
6cm
，则点
M
到平面
< br>的距
离为 .
例12：如图，在空间四边形ABCD中 ，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点.
（1）求证：EF是AB和CD的公垂线；（2）求AB和CD间的距离；








例13：如图，在长方体
A BCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB5
，
BC2
，

AA
1
22
，
E
在
AD
上，且
AE1
，
F
在
AB
上，且
AF3
，
（1）求点
C
1
到直线
EF
的距离；（2）求点
C
到平面
C
1
EF
的距离。








例14：如图，正方形
ABCD
与
ABEF
成
60
的二面 角，且正方形的边长
为
a
，
M
、
N
分别为
BD
，
EF
的中点，求异面直线
BD
与
EF
的距离 。

例15：如图，四棱锥P- ABCD的底面是正方形，
PA底面ABCD,

PA3AB3a
，求异面直线AB与PC的距离。









例16：已知
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
是底面边长为
1
的正四棱柱，
O
1
为
A
1
C
1
与
B
1
D
1
的交点．
（1）设
AB
1与底面
A
1
B
1
C
1
D
1
所 成角的大小为

，二面角
AB
1
D
1
A
1
的大小为

.
求证：
tan

2tan

；
（2）若点C
到平面
AB
1
D
1
的距离为
4
，求 正四棱柱
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1< br>的高．
3




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