抗战老兵-新青年五年四班

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泰勒公式的几何意义及其表达式中n！的非
唯一性

作者：庞岩涛 薛炳修 赵俊卿 李鲁艳 张宝金

来源：《教育教学论坛》2016年第25期

摘要：阐述泰勒公式的几何意义，结合拉格朗日中值定理说明泰勒公式中n！不是唯一和
必须的选择，而 仅仅是为了满足一个并非普遍性假设的需要，并且给出了泰勒公式的其他表达
形式；同时清楚地说明了泰 勒公式中值的含义：它是拉格朗日中值定理在原函数及其一阶导函
数、二阶导函数一直到n+1阶导函数 中应用的结果。
关键词：泰勒公式；几何意义；n！的非唯一性
中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）25-0216-03
引言：泰勒公式 （又称泰勒中值定理）在高等数学中占有重要的地位，一方面体现了复杂
函数可以用多项式函数逼近的原 则，另一方面也反映了函数与高阶导数之间的关系[1]，在物
理学、化学等其他学科中也有广泛的应用 。但是目前普遍使用的高等数学教材对该定理的证明
过于追求简练[2]，对定理的解释不够清晰，导致 学生的理解含糊不清，不能灵活使用，更不
利于学生解析思维的培养。
一、泰勒公式证明过程中存在的不足
高等学校多采用的高等数学教材中对泰勒公式的 证明常采用以下方法：为了近似表达函数
f（x）在x点的值，先在x的邻域内找一点x，然后构造一个 含有（x-x）的n次多项式的函
数，假设这两个函数从零阶直到n阶导数在x点的值分别相等[2]（ 而这个假设并非必须，详见
下面的分析），再证明余项就是f（x）与（x-x）的n次多项式的差[2 ]；或直接通过柯西中值
定理证明[3]，这样的证明无疑是简洁的，缺点是几何意义模糊，掩盖了泰勒 公式中值的含
义，也没有体现出解断、分析从而逼近这一重要的数学思想，更重要的是会使人误解泰勒公 式
中n！为唯一、必然的选择。不少教师对泰勒公式的几何意义的讨论[4]，对学生更好地理解泰勒公式有极大的帮助，但是从几何意义上推演泰勒公式的过程中，常常会不假思索地利用本段
提到的 假设，仍然会使人误解泰勒公式中的系数n！是唯一的选择。
二、泰勒公式的几何意义及n！的非唯一性
三、结论
本 文详细描述了泰勒公式几何意义，结合拉格朗日中值定理得出泰勒公式中与高阶导数对
应的分母取值n！ 并不是唯一的选择，而是为了满足一个并非普遍性的假设的需要，同时给出