平方差的几何意义
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探索平方差公式的几何意义
陕西省咸阳市武功县贞元中学(邮编:712200) 许雨玲
平方差公式(a+
b)(a-b)=a
2
-b
2
的应用十分广泛,能够灵活运用
该公式
进行计算是整式乘法学习的重要内容之一。学习中要善于观
察,多分析,掌握公式的结构特征,真正理解
公式,才能在解题中运
用自如,避免出现错误。下面我们从几何意义方面对该公式全新的认
识。
首先认识公式的特征:(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
公式的
左边是两数和
与这两数差的积的形式,公式右边恰好是这两数的平方差,我们要弄
清来源自然易
记。若要用几何图形来表示,如图(1)所示,阴影部
分面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的
面积,即为a
2
-b
2
公式的右边。下一步关键是如何将
阴影部分拼揍成一个规则的图形,
且让它的面积为(a+b)(a-b)即为公式的右边,再利用图形拼
揍前
后面积相等得到平方差公式。
拼法一:将图(1)沿虚线把长方形Ⅰ剪下来,恰好拼到图
(2)
中所示长方形Ⅱ的位置,得到一个新长方形:长为(a+b),宽为(a-b) ,
即它
的面积为(a+b)(a-b)。从而验证(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
。
Ⅰ
b
图1
Ⅰ
a-b
图2
a
a+b
拼法二:将图(3)沿虚线剪下来,阴影部分正好分成两个全等的
直角梯形,按图(4)所示的方法拼成
一个等腰梯形,上底为2b,下底
为2a ,高为
a-b,所以此等腰梯形的面积 1/2(2a-2b)(a-b),为化简后
(a+b)(a-b),
从而可得(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
a
②
b
①
a
b
图4
②
a
①
图
3
a-b b
拼法三:将图(3)沿虚线剪下来恰好拼成一个长方形如图(5)
所示,长为
(a+b),宽为(a-b),所以长方形的面积为 (a+b)(a-b),
即可得:(a+b)(
a-b)=a
2
-b
2
①
②
a-b
图5
a+b
a-b
a+b
①
②
图6
拼法四
:将图(3)沿虚线剪下来恰好有拼成一个平行四边形如图
(6)所示,底边长为(a+b),高为(a
-b),则平行四边形的面积为(a+b)
(a-b)
,又一次验证:(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
如果我们把图
(1)中的小正方形移到大正方形的内部(不一定在
中间)时,当然阴影部分的面积仍是a
2<
br>-b
2
,如图(7)所示,还能将
阴影部分拼成一个规则的图形吗?我们不妨试一试:
拼法五:将图
(7)沿虚线剪下来,得到四个小长方形⑴⑵⑶⑷,
这是恰好可拼成如图(8)所示的长方形,长为(a
+b),宽为(a-b),
则长方形的面积为(a+b)(a-b),再一次验证了平方差公式。
⑴
⑵
a+b
⑶
⑷
a-b
图7
⑶
⑴
⑷
b
⑵
a
图8
通过以上五种拼法,均可得到平方差公式,让我们进一步认识平
方差
公式的特点,利用数形结合的思想在拼图时将阴影部分拼成一个
规则图形,同时让拼后的图形面积必须表
示为(a+b)(a-b),从中我
们认识到几何图形的多样性,便于思考问题时思路开阔,方法灵活。