平方差的几何意义
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探索平方差公式的几何意义
陕西省咸阳市武功县贞元中学(邮编:712200) 许雨玲
平方差公式（a+
b）（a-b）=a
2
-b
2
的应用十分广泛，能够灵活运用
该公式
进行计算是整式乘法学习的重要内容之一。学习中要善于观
察，多分析，掌握公式的结构特征，真正理解
公式，才能在解题中运
用自如，避免出现错误。下面我们从几何意义方面对该公式全新的认
识。
首先认识公式的特征：（a+b）（a-b）=a
2
-b
2
公式的
左边是两数和
与这两数差的积的形式，公式右边恰好是这两数的平方差，我们要弄
清来源自然易
记。若要用几何图形来表示，如图（1）所示，阴影部
分面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的
面积，即为a
2
-b
2
公式的右边。下一步关键是如何将
阴影部分拼揍成一个规则的图形，
且让它的面积为（a+b）（a-b）即为公式的右边，再利用图形拼
揍前
后面积相等得到平方差公式。
拼法一：将图（1）沿虚线把长方形Ⅰ剪下来，恰好拼到图
（2）
中所示长方形Ⅱ的位置，得到一个新长方形：长为（a+b），宽为（a-b） ，
即它
的面积为（a+b）（a-b）。从而验证（a+b）（a-b）=a
2
-b
2
。
Ⅰ
b
图1
Ⅰ
a-b
图2
a
a+b
拼法二：将图(3)沿虚线剪下来，阴影部分正好分成两个全等的
直角梯形，按图（4）所示的方法拼成
一个等腰梯形，上底为2b,下底
为2a ,高为
a-b，所以此等腰梯形的面积 1／2(2a-2b)(a-b)，为化简后
（a+b）（a-b）,
从而可得（a+b）（a-b）=a
2
-b
2
a
②
b
①
a
b
图4
②
a
①
图
3
a-b b
拼法三：将图（3）沿虚线剪下来恰好拼成一个长方形如图（5）
所示，长为
（a+b），宽为（a-b），所以长方形的面积为 （a+b）（a-b），
即可得：（a+b）（
a-b）=a
2
-b
2
①
②
a-b
图5
a+b
a-b
a+b
①
②
图6
拼法四
：将图（3）沿虚线剪下来恰好有拼成一个平行四边形如图
（6）所示，底边长为（a+b），高为（a
-b），则平行四边形的面积为（a+b）
（a-b）
，又一次验证：（a+b）（a-b）=a
2
-b
2
如果我们把图
（1）中的小正方形移到大正方形的内部（不一定在
中间）时，当然阴影部分的面积仍是a
2<
br>-b
2
，如图（7）所示，还能将
阴影部分拼成一个规则的图形吗？我们不妨试一试：
拼法五：将图
（7）沿虚线剪下来，得到四个小长方形⑴⑵⑶⑷，
这是恰好可拼成如图（8）所示的长方形，长为（a
+b），宽为（a-b），
则长方形的面积为（a+b）（a-b），再一次验证了平方差公式。
⑴
⑵
a+b
⑶
⑷
a-b
图7
⑶
⑴
⑷
b
⑵
a
图8
通过以上五种拼法，均可得到平方差公式，让我们进一步认识平
方差
公式的特点，利用数形结合的思想在拼图时将阴影部分拼成一个
规则图形，同时让拼后的图形面积必须表
示为（a+b）（a-b），从中我
们认识到几何图形的多样性，便于思考问题时思路开阔，方法灵活。