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完全平方公式的几何背景专题训练试题精选
一．选择题（共6小题）
1．（ 2010•丹东）图①是一个边长为（）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼
成图②的形状，由图①和 图②能验证的式子是（ ）
A． （）﹣（m﹣n）=4 B． （）﹣（m）=2
22222

22222
C．（m﹣n）+2 D（）（m﹣n）﹣n
．

2．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我 们
可以得到两数和的平方公式：（）+2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
222

A． （）（a﹣b）﹣B． （a﹣b）﹣2 C． a（）
22222
D．a （a﹣b）﹣
2
b
2

3．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（ ）

A． a﹣b=（）（a﹣b）B ． （）+2
22222
C．（ a﹣b）﹣2 D． a（）
2222

4．如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的 矩形，用剪刀沿矩形的两条对角
轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方 形，则
中间空白部分的面积是（ ）

A．

5．如图的图形面积由以下哪个公式表示（ ）
B． （）
2
C．（ a﹣b）
2
D．a ﹣b
22

A． a﹣b（a﹣b）（aB． （a﹣b）﹣2 C． （）+2
22222222
D．a ﹣b=（）（a﹣b）
22
﹣b）

6．如果关于x的二次三项式x﹣16是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A． 8 或﹣8

二．填空题（共7小题）
7．（2014•玄武区二模）如图，在一个 矩形中，有两个面积分别为a、b（a＞0，
b＞0）的正方形．这个矩形的面积为 （用含a、b的代数式表示）
22
2
B． 8 C． ﹣8 D． 无法确定

8．如图，边长为（2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方 形之后，剩余部分
又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长
是 ．（用含m的代数式表示）


9．有两个正方形A，B，现将B放在A的 内部得图甲，将A，B并列放置后构造新
的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和1 2，则正方形A，
B的面积之和为 ．


10．如图1和图2，有多 个长方形和正方形的卡片，图1是选取了2块不同的卡
片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不 同表示可以用来验证等式a（）
2
成立．根据图2，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒 等式 ．


11．如图，正方形广场的边长为a米，中央有一个正方形的水池 ，水池四周有一
条宽度为
平方米．
的环形小路，那么水池的面积用含a、b的代数式可表示为

12．如图，请写出三个代数式（）、（a﹣b）、之间的等量关系是 ．
22


13．如图，长为a，宽为b的四个小长方形拼成一个大正方形，且大正方形的面
积为64，中间小正方形的面积为16，则 ， ．


三．解答题（共10小题）
14．阅读学习：
数学中有很多等式可以用图形的面积 来表示．如图1，它表示（2n）（）+32n，
22

（1）观察图2，请你写出（），（a﹣b），之间的关系 ．
22

（2）小明用8个一样大的长方形，（长为a，宽为b），拼成了如图甲乙两种图案，
图案甲是一个正 方形，图案甲中间留下了一个边长为2的正方形；图形乙是一个
长方形．
①a﹣44b= ② ．

15．【学习回顾】我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方 公
22
式，说明如下：
如图1，正方形的面积=正方形的面积+（长方形的面积+长 方形的面积）+正方形
的面积．即：（）+2．
【思考问题】还有一些等式也可以用上述方式加以说明，请你尝试完成．
如图2，长方形的面积=长方形的面积+长方形的面积﹣长方形的面积﹣ 的面
积，即：（2a﹣b）（）= ．
【尝试实践】计算（2）（）= ．仿照上述方法，画图并说明．








222

16．阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通 过不同的方法计算图形的面积，
可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（2b）（）+32b．请 解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知11，38，求a的值；
（3）图 3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a
和宽为b的长方形纸片，利用所给 的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积
能得到数学公式：2a+52b=（2）（2b）．
22
222
22

17．如图1，将 一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长
方形，然后按图2形状拼成一个正方形 ．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含的式子表示）
（2）若27，且3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b），和（2）的数量关系．
22











18．动手操作：
如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大 小相等
的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．
提出问题：
（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；
（2）请写出三个代数式（），（a﹣b），之间的一个等量关系．
22

问题解决：
根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：
已知：6，3．求：（x﹣y）的值．
2







19．图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长
方形． < br>（1）将图①中所得的四块长为a，宽为b的小长方形拼成一个正方形（如图②）．请
利用图②中 阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式（）、（a﹣b）、之
间的等量关系是 ；
（2）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知8，7，则m﹣ ；
（3）将如图 ①所得的四块长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在长方形的内部
（如图③），未被覆盖的部分（两个 长方形）用阴影表示．若左下角与右上角的
22

阴影部分的周长之差为4，且小 长方形的周长为8，则每一个小长方形的面积
为 ．









20．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图 形面积的计算，常常可以得到一些
有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．

（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，
试用不同的方法计 算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．
（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方 形拼在一起，B、C、G三点在同
一直线上，连接和，若两正方形的边长满足10，20，你能求出阴影 部分的面积吗？

21．阅读材料并填空：
我们知道，完全平方式可以用平 面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数
恒等式样也可以用这种形式表示，
如：（2）（）=2a+3，就可以用图（1），或图（2）等图形的面积表示．
22

请你写出图（3）所表示的代数恒等式 ．
请你写出图（4）所表示的代数恒等式 ．

22．图1是一个长 为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相
同的小长方形，然后按图2所示拼成一个 正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 ．
（2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1： ；方法2： ．
（3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（），（x﹣y），4．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：
若4，3，则（x﹣y）= ．
2
22

23．已知图甲是一个长为2m，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四
小块长方形，然后按图乙的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少？ ．
（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积．
方法一： ；方法二： ．
（3）观察图乙，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
（）；（m﹣n）；
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若8，5，求（a﹣b）的值．
2
22

完全平方公式的几何背景专题训练试题精选
参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题）

1．（2010•丹东）图①是一个边长为（）的正方形 ，小颖将图①中的阴影部分拼
成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）
A． （）﹣（m﹣n）B． （）﹣（m）=2 C． （m﹣n）+2
2222222
2

D． （）（m﹣n）﹣
2
=4 n
2

考完全平方公式的几何背景．
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点：
专计算题；压轴题．
题：
分根据图示可知，阴影部分的面积是边长为的正方形减去中间白色的正方形
22
析： 的面积m，即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．
解解：（）﹣（m）=2．
222
答： 故选B．
点本题是利用几何图形的面积来验证（）﹣（m）=2，解题 关键是利用图形
222
评： 的面积之间的相等关系列等式．

2．利用 图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们
可以得到两数和的平方公式：（） +2．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
222

A． （）（a﹣b）﹣B． （a﹣b）﹣2 C． a（）
22222
D．a （a﹣b）﹣
2
b
2

考完全平方公式的几何背景．
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点：
分根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，
析： 然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．
解解：大正方形的面积=（a﹣b），
2
22
答： 还可以表示为a﹣2，
∴（a﹣b）﹣2．
222
故选B．
点正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方
评： 公式的理解能力．

3．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（ ）

A． a﹣b=（）（a﹣b）B ． （）+2
22222
C．（ a﹣b）﹣2 D． a（）
2222

考完全平方公式的几何背景．
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点：
分根据 图形得出阴影部分的面积是（a﹣b）和b，剩余的矩形面积是（a﹣b）
22
2
析： b和（a﹣b）b，即大阴影部分的面积是（a﹣b），即可得出选项．
解解：从图中可知：阴影部分 的面积是（a﹣b）和b，剩余的矩形面积是（a
22
答： ﹣b）b和（a﹣b）b，
即大阴影部分的面积是（a﹣b），
2
∴（a﹣b）﹣2，
222
故选C．
点本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的阅读能力和转化能力，
评： 题目比较好，有一定的难度．

4．如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩 形，用剪刀沿矩形的两条对角
轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形 ，则
中间空白部分的面积是（ ）

A．

考完全平方公式的几何背景．
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B． （）
2
C．（ a﹣b）
2
D．a ﹣b
22
点：
分先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的
析： 面积﹣矩形的面积即可得出答案．

解解：由题意可得，正方形的边长为（），
2
答： 故正方形的面积为（），
又∵原矩形的面积为4，
∴中间空的部分的面积=（）﹣4（a﹣b）．
22
故选C．
点此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关
评： 键，难度一般．

5．如图的图形面积由以下哪个公式表示（ ）

A． a﹣b（a﹣b）（aB． （a﹣b）﹣2 C． （）+2
22222222
D．a ﹣b=（）（a﹣b）
22
﹣b）

考完全平方公式的几何背景．
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点：
分通过图中几个图形的面积的关系来进行推导．
析：
解解：根据图形可得出：大正 方形面积为：（），大正方形面积=4个小图形
2
22
答： 的面积和，
∴可以得到公式：（）+2．
222
故选：C．
点本题考查了完全平方公式的推导过程，运用图形的面积表示是解题的关键．
评：

6．如果关于x的二次三项式x﹣16是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A． 8 或﹣8

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2
B． 8 C． ﹣8 D． 无法确定
点：
分根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可．
析：
解解：∵x﹣16是一个完全平方式，
2
答： ∴﹣±2×4•x，
解得±8．
故选A．
点本题是完全平方公式的考查，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，
评： 就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

二．填空题（共7小题）
7．（2014•玄武区二模）如图，在一个矩形中，有两个面积分别为a、b（a＞0，
b＞ 0）的正方形．这个矩形的面积为 （） （用含a、b的代数式表示）
2
22


考完全平方公式的几何背景．
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点：
分求出大正方形的边长为，再利用正方形的面积公式求解．

析：
解解；∵两个小矩形的长为a，宽为b，
答： ∴正方形的边长为：
∴它的面积为：（）
2
故答案为：（）
2
点本题主要考查完全平方公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积
评： 是解题的关键．

8．如图，边长为（2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后， 剩余部分
又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是
22 ．（用含m的代数式表示）


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点：
专几何图形问题．
题：
分由于边长为（2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分
析： 又剪拼成一 个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求
出剩余部分的面积，而矩形一边长为2， 利用矩形的面积公式即可求出另一
边长．
解解：依题意得剩余部分为
2222
答： （2）﹣m+44﹣m=44，

而拼成的矩形一边长为2，
∴另一边长是（44）÷2=22．
故答案为：22．
点本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟悉除法法则．
评：

9．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置 后构造新
的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，
B的 面积之和为 13 ．


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点：
分设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．
析：
解解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
2222
答： 由图甲得a﹣b﹣2（a﹣b）=1即a﹣21，
由图乙得（）﹣a﹣b=12，212，
222
所以a=13，
22
故答案为：13．
点本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数
评： 量关系．

10．如图1和图2，有多个长方形和正方形的卡片，图1是选取了2块不 同的卡
片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a（）
2成立．根据图2，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式 （）（2b）
+2b+3 ．
22


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点：
专计算题．
题：
分表示阴影部分的面积有 两种方法：①大长方形的面积=（）（2b），②3个正
222
析： 方形的面积加上3个矩形的面积a，推出即可．
解解：由图2可知：阴影部分的面积是：①（）（2b），②a+2b+3，
22222
22
答： ∴（）（2b）+2b+3，
故答案为：（）（2b）+2b+3．
22
点本题考查了完全平方公式的几何背景的应用，关键是检查学生能否正确表
评： 示图形中阴影部分的面积，题目具有一定的代表性，考查了学生的理解能
力、观察图形的能力等

11．如图，正方形广场的边长为a米，中央有一个正方形的水池，水池四 周有一
条宽度为
22
的环形小路，那么水池的面积用含a、b的代数式可表示为
2
a﹣44b或（a﹣2b） 平方米．


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点：
专几何图形问题．
题：
分根据图示计算出中央正方形的水池的边长，然后根据正方形的面积公式来
析： 计算水池的面积．
解解：水池的边长是：a﹣2b，
22
答： 所以，正方形水池 的面积是（a﹣2b）（a﹣2b）﹣44b或（a﹣2b）（a﹣2b）
=（a﹣2b）．
2
故答案是：a﹣44b或（a﹣2b）．
222
点本题考查对完全平方公式几何意义的理解．解题时，主要围绕图形面积展
评： 开分析．

12．如图，请写出三个代数式（）、（a﹣b）、之间的等量关系是 ）=（a﹣b）
2
222
+4 ．

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点：
分通过观察图形知：（ ），（a﹣b），分别表示的是大正方形、空白部分的正
22
析： 方形及小长方形的面积．
解解：由图可以看出，大正方形面积=阴影部分的正方形的面积+四个小长方
答： 形的面积，
即：（）=（a﹣b）+4，
22
故答案为：（）=（a﹣b）+4．
22
点此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力，关键是通过观察图
评： 形找出各图形之间的关系．

13．如图，长为a，宽为b的四个小长方形拼成一个大正方 形，且大正方形的面
积为64，中间小正方形的面积为16，则 6 ， 2 ．


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点：
分先求出大正方形的边长为：，小正方形的边长为：a﹣b，再列出方程组求解．

析：
解解：大正方形的边长为：，小正方形的边长为：a﹣b
即：


答：
解得
故答案为：6，2．
点本题的关键是求出大正方形的边长和小正方形的边长．列出方程组．
评：

三．解答题（共10小题）
14．阅读学习：
数学中有很多等式可以用图形的面积 来表示．如图1，它表示（2n）（）+32n，
22

（1）观察图2，请你写出（），（a﹣b），之间的关系 （）﹣（a﹣b）=4 ．
（2 ）小明用8个一样大的长方形，（长为a，宽为b），拼成了如图甲乙两种图案，
图案甲是一个正方形， 图案甲中间留下了一个边长为2的正方形；图形乙是一个
长方形．
①a﹣44b= 4 ② 60 ．

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2222
22
点：
专数形结合．

题：
分根据图形的面积公式来进行分析即可得到．
析：
解解：（1）（）﹣（a﹣b）=4；
22
答： （2）①4 ②60
点该题目考查了利用图形的面积来得到数学公式，关键是灵活进行数学结合
评： 来分析．

15．【学习回顾】我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公
式，说明如下：
如图1，正方形的面积=正方形的面积+（长方形的面积+长方形的面积）+正方形< br>的面积．即：（）+2．
【思考问题】还有一些等式也可以用上述方式加以说明，请你尝试完成．
如图2，长方形的面积=长方形的面积+长方形的面积﹣长方形的面积﹣ 正方形
的面积，即：（2a﹣b）（）= 2a﹣﹣b ．
【尝试实践】计算（2）（）= 2a+3 ．仿照上述方法，画图并说明．

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222
22
22
点：
分（1）利用长方形的面积=长方形的面积+长方形的面积﹣长方形的面积﹣正
析： 方形的面积计算．

（2）利用长方形的面积=正方形的面积+正方形的面积+长方形的 面积+长方
形的面积+长方形的面积+正方形的面积计算．
解解：（1）长方形的面积=长方 形的面积+长方形的面积﹣长方形的面积﹣正
22
答： 方形的面积，即：（2a﹣b）（）=2a﹣﹣b．
故答案为：正方形，2a﹣﹣b．
22
（2）（2）（）=2a+3．
22
如图，

故答案为：2a﹣﹣b．
22
点本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是通过几何图形之
评： 间的数量关系对公式做出几何解释．

16．阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过 不同的方法计算图形的面积，
可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（2b）（）+32b．请解 答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 （）
2222
22
+222 ；
222
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知11，38，求a的值； < br>（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a
和宽为b的长方形 纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积
能得到数学公式：2a+52b=（2）（ 2b）．
22

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点：
分（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左
析： 边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．
（2）根据利用（1）中所得到的结论，将11，38作为整式代入即可求出．
（3）找规律，根据公式画出图形，拼成一个长方形，使它满足所给的条件．
解解：（1）根据题意，大矩形的面积为：（）（）=（），
2
222
答： 各小矩形部分的面积之和+2+22，
∴等式为（）+222．
2222
（2）a=（）﹣2﹣2﹣2
222 2
=11﹣2×38
2
=45．
（3）如图所示

点本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分
评： 两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．

17．如图1，将一 个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长
方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含的式子表示）
（2）若27，且3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b），和（2）的数量关系．
22


考完全平方公式的几何背景．
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点：
分（1）观察由已知图形，得到四个小长方形的长为2a，宽为b，那么图2中
析： 的空白部分的正方形的边长是小长方形的长减去小长方形的宽．
（2）通过观察图形，大正方形的边长 为小长方形的长和宽的和．图2中空
白部分的正方形的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积．
（3）通过观察图形知：（2）（2a﹣b） 8．分别表示的是大正方形、空
2 2
白部分的正方形及小长方形的面积．
解解：（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b
答： （2）由图21﹣2可知，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4个小长方形的
面积，
∵大正方形的边长=27，∴大正方形的面积=（2）=49，
2

又∵4个小长方形的面积之和=大长方形的面积=4a×288×3=24，
∴小正方形的面积=（2a﹣b）=49﹣24=25
2
（3）由图2可以看出，大 正方形面积=空白部分的正方形的面积+四个小长
方形的面积
即：（2）﹣（2a﹣b）=8．
22
点此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力，以及对列代数式、
评： 代数式求值的理解与掌握．关键是通过观察图形
找出各图形之间的关系．

18．动手操作：
如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大 小相等
的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．
提出问题：
（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；
（2）请写出三个代数式（），（a﹣b），之间的一个等量关系．
问题解决：
根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：
已知：6，3．求：（x﹣y）的值．
2
22


考完全平方公式的几何背景．
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点：
专几何图形问题．
题：
分（1）第一种方法为：大正方形面积﹣4个小长方形面积，第二种表示方法
析： 为：阴影部分正方形的面积；
（2）利用（）﹣4（a﹣b）可求解．
22
解提出问题：
22
答： 解：（1）（）﹣4或（a﹣b）

（2）（）﹣4（m﹣n）
22
问题解决：
（3）（x﹣y）=（）﹣4
22
∵6，3．
∴（x﹣y）=36﹣9=25．
2
点本题考查了完全平方公式的几何背景．解决问题的关键是读懂题意，找到
评： 所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题．

19．图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长
方形． < /p>

（1）将图①中所得的四块长为a，宽为b的小长方形拼成一个正方形（如图②）．请利用图②中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式（）、（a﹣b）、之
间的等量关系是 （a﹣b）=（）﹣4 ；
（2）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知8，7，则m﹣ ±6 ；
（3）将如图①所得的四块长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在长方形的内部
（ 如图③），未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．若左下角与右上角的
阴影部分的周长之差为4， 且小长方形的周长为8，则每一个小长方形的面积为
3 ．

考完全平方公式的几何背景．
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22
22
点：
分（1）利用大正方形的面积减4个小长方形的面积等于小正方形的面积求解；
22
析： （2）利用公式（m﹣n）=（）﹣4求解即可；
（3）由左下角与右上 角的阴影部分的周长之差为4，得出﹣844，由小长方
形的周长为8，得出2（）=8，联立得出a， b的值即可求出小长方形的面
积．
解解：（1）（a﹣b）=（）﹣4．
22
22
答： 故答案为：（a﹣b）=（）﹣4．
（2）∵8，7，
∴（m﹣n）=（）﹣464﹣28=36，
22
∴m﹣±6
故答案为：±6．
（3）设长方形为m，为n，
右上角部分的阴影周长为：2（n﹣﹣a）

左下角部分的阴影周长为：2（m﹣2﹣2b）
∵左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，
∴﹣844，
又∵2（）=8，
∴解得3，1，
∴每一个小长方形的面积为3×1=3．
故答案为：3．
点本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间的
评： 数量关系解决问题．

20．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常 可以得到一些
有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．

（1）如图1，是 将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，
试用不同的方法计算这个图形的面积， 你能发现什么结论，请写出来．
（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C 、G三点在同
一直线上，连接和，若两正方形的边长满足10，20，你能求出阴影部分的面积吗？

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点：
分（1）此 题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是

析： 3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式
（）+222，
2222
（2）利用S
积求解．
解
阴影
=正方形的面积+ 正方形的面积﹣三角形的面积﹣三角形的面
（1）（）+222
2222
答： （2）∵10，20，
∴S
点
22
阴影
﹣（）•b﹣a
2 22
﹣（）﹣
2
×10﹣×20=50﹣30=20．
2
本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，
评： 会用不同的方法表示同一图形的面积．

21．阅读材料并填空：
我们知道，完 全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数
恒等式样也可以用这种形式表示，
如：（2）（）=2a+3，就可以用图（1），或图（2）等图形的面积表示．
22

请你写出图（3）所表示的代数恒等式 （）+2 ．
请你写出图（4）所表示的代数恒等式 （2）（2b）=2a+52b ．
22
222

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点：
分求出长方形的长和宽，根据长方形的面积公式求出即可．
析：
解解：图（3）所表示的代数恒等式是（）（）=（）+2，
222
22
答： 图（4）所表示的代数恒等式是（2）（2b）=2a+52b，
故答案为：（）+2，（2）（2b）=2a+52b．
22222
点本题考查了完 全平方公式的应用，主要考查学生的阅读能力和转化能力，
评： 题目比较好，有一定的难度．

22．图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相
同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 x﹣y ．
（2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1： （x﹣y） ；方法2： （）﹣4 ．
（3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（），（x﹣y），4． （）=（x﹣y）+4
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：
若4，3，则（x﹣y）= 4 ．
2
2222
2 2

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点：
分（1）图①分成了4个长为x，宽为y的长方形，图②中的阴影部分的小正
析： 方形的边长等于x﹣y，大正方形的边长等于；
（2）直接利用正方形的面积公式得到②中阴影部分的 面积为（x﹣y）；也
2
可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积即②（）﹣4；
2
（3）利用面积之间的关系易得（）=（x﹣y）+4．
22
解解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长﹣y；
答： 故答案为：（x﹣y）；

（2）方法①（x﹣y）；方法②（）﹣4；
22
故答案为：（x﹣y），（）﹣4；
2 2

（3）（）=（x﹣y）+4；
22
故答案为：（）=（x﹣y）+4；
22

（4）（x﹣y）=（）﹣44﹣12=4
222
故答案为：4．
点本题考查了列代数式：根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．
评：

23．已知图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四
小块长方形 ，然后按图乙的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少？ m﹣n ．

（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积．
方法一： （）﹣4 ；方法二： （m﹣n） ．
（3）观察图乙，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
（）；（m﹣n）；
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若8，5，求（a﹣b）的值．
2
22
22


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点：
分平均分成后，每个小长方形的长为m，宽为n．
析： （1）正方形的边长=小长方形的长﹣宽；
（2）第一种方法为：大正方形面积﹣4个小长方形面积， 第二种表示方法
为：阴影部分为小正方形的面积；
（3）利用（）
2
﹣4（m﹣n）
2
可求解；
（4）利用（a﹣b）
2
=（）
2
﹣4可求解．
解解：（1）m﹣n；
答：
（2）（）
2
﹣4或（m﹣n）
2
；

（3）（）
2
﹣4（m﹣n）
2
；

（4）（a﹣b）
2
=（）
2
﹣4，

∵8，5，
∴（a﹣b）=64﹣20=44．
2
点本题主要考查了完全平方式的知识，解决问题的关键是读懂题意，找到所
评： 求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题．