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2019年4月版
秒解高考数学100招
—— 选择、填空篇 ——

◆ 例（2016山东理7）函数
f(x)(3sinxcosx)
(3cosx sinx)
的最小正周期是( )

3


A. B. C. D.
2


22
【秒解】根据口诀：和差不变,积商减半,易知
3sinxcosx
以及
3cosx sinx
的周期
均为
2

,则
f(x)(3sinx cosx)(3cosxsinx)
的周期为

,选
B
.



四大特色助快速解题
◎ 100个秒解技巧

◎ 80个精妙二级结论

◎ 10年高考真题为例



◎ 700个例题深入剖析




1

目录 CONTENTS
1、集合  利用特值逆代法速解集合运算题……………………………………2
2、集合  利用对条件具体化巧解集合运算题……………………………………
3、集合  运用补集运算公式简化集合计算………………………………………
4、简易逻辑  利用韦恩图巧解集合与数量关系题………………………………
5、简易逻辑  借助数轴法巧解充要条件问题……………………………………
6、复数  利用逆代法、特值法速解含参型复数题………………………………
7、复数  利用公式速解有关复数的模的问题……………………………………
8、复数  利用结论快速判断复数的商为实数或虚数……………………………
9、复数  利用公式快速解决一类复数问题………………………………………
10、三视图  柱体和锥体的三视图快速还原技巧………………………………
11、三视图  利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图……………………
12、不等式  利用逆代法巧解求不等式解集问题 ………………………………
13、不等式  利用特值法速解比较大小问题 ……………………………………
14、不等式  利用数轴标根法速解高次不等式…………………………………
15、不等式  用代入法速解f型不等式选择题…………………………………
16、不等式  利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式…………
17、不等式  利用结论速解含双绝对值函数的最值问题………………………
18、不等式  利用“1的代换”巧解不等式中的最值问题……………………
19、不等式  利用“对称思想”速解不等式最值问题…………………………
20、不等式  利用柯西不等式速解最值问题……………………………………
21、线性规划  利用特殊法巧解线性规划问题…………………………………
22、线性规划  高考中常见的线性规划题型完整汇总…………………………
23、程序框图  程序框图高效格式化解题模式…………………………………
24、排列组合  排列组合21种常见题型解题技巧汇总………………………
25、排列组合  利用公式法速解相间涂色问题…………………………………
26、排列组合  速解排列组合之最短路径技巧…………………………………
27、二项式定理  二项式定理常见题型大汇总…………………………………
28、二项式定理  利用公式速解三项型二项式指定项问题……………………
29、平面向量  特殊化法速解平面向量问题……………………………………
30、平面向量  利用三个法则作图法速求平面向量问题………………………
31、平面向量  三点共线定理及其推论的妙用…………………………………
32、平面向量  平面向量等和线定理的妙用……………………………………
33、平面向量  向量中的“奔驰定理”的妙用…………………………………
34、平面向量  三角形四心的向量表示及妙用…………………………………
35、平面向量  利用极化恒等式速解向量内积范围问题………………………
36、空间几何  利用折叠角公式速求线线角……………………………………
37、空间几何  求体积的万能公式：拟柱体公式………………………………
38、空间几何  空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用…
39、空间几何  利用空间余弦定理速求异面直线所成角………………………
40、空间几何  利用公式速解空间几何体的外接球半径………………………
41、函数  用特值法速解分段函数求范围问题…………………………………
42、函数  数形结合法速解函数的零点与交点问题……………………………
2

43、函数  数型结合法巧解带f的函数型不等式………………………………
44、函数  函数的周期性的重要结论的运用……………………………………
45、函数  利用特值法巧解函数图像与性质问题………………………………
46、函数  通过解析式判断图像常用解题技巧…………………………………
47、函数 利用结论 速解“奇函数＋C”模型问题……………………………
48、函数  利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较问题………………
49、函数  巧用耐克函数求解函数与不等式问题………………………………
50、函数  利用对数函数绝对值性质速解范围问题……………………………
51、函数  巧用原型函数解决抽象函数问题……………………………………
52、函数  构造特殊函数巧解函数问题…………………………………………
53、导数  特殊化与构造方法巧解导数型抽象函数问题………………………
54、导数  极端估算法速解与导数有关选择题…………………………………
55、导数  用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题……………………
56、导数  隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用…………………
57、三角函数  利用口诀巧记诱导公式及其运用………………………………
58、三角函数  利用结论速求三角函数周期问题………………………………
59、三角函数  巧用特值法、估算法解三角函数图像问题……………………
60、三角函数  海伦公式及其推论在求面积中的妙用…………………………
61、三角函数  借助直角三角形巧妙转换弦与切………………………………
62、三角函数  特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用………………
63、三角函数  齐次式中弦切互化技巧…………………………………………
64、三角函数  利用射影定理秒解解三角形问题………………………………
65、三角函数  三角形角平分线定理的妙用……………………………………
66、三角函数  三角形角平分线长公式的妙用…………………………………
67、三角函数  三角形中线定理及其推论的妙用………………………………
68、三角函数  利用测量法估算法速解三角形选择题…………………………
69、三角函数  利用公式法速解三角函数平移问题……………………………
70、数列  利用公式法速解等差数列
a
n
与
S
n
……………………………………
71、数列  利用列举法速解数列最值型压轴题…………………………………
72、数列  用特殊化法巧解单条件等差数列问题………………………………
73、数列  等差数列性质及其推论的妙用………………………………………
74、数列  观察法速解一类数列求和选择题……………………………………
75、数列  巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式……………………………
76、数列  代入法速解数列选项含
n
型选择题…………………………………
77、数列  一些数列选择填空题的解题技巧……………………………………
78、统计与概率  估算法速解几何概型选择题…………………………………
79、直线与圆  利用相交弦定理巧解有关圆的问题……………………………
80、直线与圆  利用精准作图估算法速解直线与圆选择题……………………
81、直线与圆  利用两圆方程作差的几何意义速解有问题……………………
82、圆锥曲线  利用“阿波罗尼圆”速解一类距离比问题……………………
83、圆锥曲线  用点差法速解有关中点弦问题…………………………………
84、圆锥曲线  用垂径定理速解中点弦问题……………………………………

85、圆锥曲线  用中心弦公式定理速解中心弦问题……………………………
86、圆锥曲线  焦点弦垂直平分线结论的妙用…………………………………
87、圆锥曲线 利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程……
88、圆锥曲线  用公式速解过定点弦中点轨迹问题……………………………
89、圆锥曲线  巧用通径公式速解离心率等问题………………………………
90、圆锥曲线  巧用三角形关系速求离心率……………………………………
91、圆锥曲线  构造相似三角形速解离心率……………………………………
92、圆锥曲线  用平面几何原理巧解圆锥曲线问题……………………………
93、圆锥曲线  利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题…………………………
94、圆锥曲线  利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题………………………
95、圆锥曲线  椭圆焦点三角形面积公式的妙用………………………………
96、圆锥曲线  双曲线焦点三角形面积公式的妙用……………………………
97、圆锥曲线  离心率与焦点三角形底角公式的妙用…………………………
98、圆锥曲线  用离心率与焦点三角形顶角公式速求离心率范围……………
99、圆锥曲线  用特值法巧解圆锥曲线选填题…………………………………
100、圆锥曲线  用对称思想速解圆锥曲线问题………………………………
40、空间几何  利用公式速解空间几何体的外接球半径
基础知识:三角形、矩形的外接圆半径为
r
,则
①
r
正三角形

3
a(a是边长)

3< br>②
r
直角三角形
a
2
b
2
斜边
 (a和b是直角边)

22
a
2
b
2
对角线< br>(a和b是长和宽)

22
③
r
矩形

④ 外接圆半径万能公式（正弦定理）
2r

外接圆模型及方法
abc


sinAsinBsinC
（1）汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）



A
C
1
A
1
O
2
B
1
O
C
C
1
A
1
O
2
O
C
A
O
1
B
A
B
C
1
B
1
A
1
B
1
O
2
O
C
O
1


O
1
B
图10-1
图10-2图10-3
【探究】如图10-1,图10-2,图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内 接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任
意三角形）
第一步：确定球心
O
的位置 ,
O
1
是
ABC
的外心,则
OO
1
< br>平面
ABC
；
第二步：算出小圆
O
1
的半径
AO
1
r
,
OO
1

11
AA1
h
（
AA
1
h
也是圆柱的高）；
22
第三步：勾股定理：
OA
2
O
1
A
2
 O
1
O
2

3

h
h

R
2
()
2
r
2

Rr
2
()
2
,解出
R

2
2
【结论】各顶点都在球面上,且有条棱垂直于底面,且垂点是顶点.
h
秒杀公式1：
R()
2
r
2
(
h
表示 垂直于底面的棱长,
r
表示底面外接圆半径)
2




h
r
BAC120
,则此球的◆ 例1 直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的各顶点都在同一球面上,若
ABACAA
1
2
,
表面积等于 。
【秒解】
BC23
,
2r

AD2AB6
,则该球的体积◆ 例2 点
A,B,C,D
均在同一球面 上,其中
ABC
是正三角形,
AD面ABC，
为 .
23h
22
4R()r12
2
5
,
S20

.
hAA2
,,
r2
1
2
sin120




D
6
Cr
A
3
B
【秒解】
hAD6
,
r
33
a33
,
33
4
h
R()
2r
2
9323
,
V

R
3
323


2
3

◆ 例3 已知
EAB所在的平面与矩形
ABCD
所在的平面互相垂直,
EAEB3,AD2, AEB60
,则多面体

EABCD
的外接球的表面积为 .
【秒解】如图,可知
AEB
为正三角形,
r




h
33
hAD2
,
R
2
()
2
r
2
4
,外接球的表面积
S4
< br>R
2
16

.
a33
,
AD面 AEB，
2
33
E
3
3
A
2
D
3
(2)墙角模型（三条线两个垂直,不找球心的位置即可求出球半径）
B
C
【探究】长方体的外接球直径
2Ra
2
b
2
c
2,

c
4
2R
b

a

【结论】秒杀公式2：如以下四种情形的几 何体,均可看成对应长方体的一部分,找三条两两垂直的线段,直接
用公式
(2R)
2
a
2
b
2
c
2
,即
2Ra
2
b
2
c
2
,求出
R
.








< br>A
b
a
B
P
B
a
P
P
c< br>c
A
b
C
A
a
B
C
b
图1
图2
P
O
2
c
C
c
B
a
A
b
C
图3
图4
◆ 例4 若三棱锥的三个侧面两垂直,且侧棱长均为
3
,则其外接球的表面积是 .
【秒解】
4R3339
,
S4

R9

.

◆ 例5 如果三棱锥的三个侧面两两垂直,面积分别为
6
、
4
、
3
,那么它的外接球的表面积是 .
2 2

ab12

【秒解】三条侧棱两两生直,设三条侧棱长分别为
a,b,c
（
a,b,cR

）,则

bc8
,

abc24
,

ac6


a 3
,
b4
,
c2
,
(2R)
2
a
2
b
2
c
2
29
,
S4

R
2
29

.

◆ 例6 已知某几何体的三视图如图所示,三视图是
腰长为
1
的等腰直角三角形和边长为
1
的正方形,则
该几何体外接球的体积为 .



2222
【秒解】
(2R)abc3
,
R2
3
3
,
R
,
4
2
44333< br>V

R
3




,
3382





5

（3）对棱相等模型（补形为长方体）
【探究】三棱锥（即四面体）中,已知 三组对棱分别相等,求外接球半径（
ABCD
,
ADBC
,
AC BD
）





第一步：画一长方体,标出三组互为异面直线的对棱;
第二步：设出长方体的长宽高分别为
a,b,c
,
ADBCx
,
ABCDy
,
ACBDz
,列方程组,

a< br>2
b
2
x
2

222
x
2y
2
z
2
2222
,

bcy
(2R)abc
2

c
2
a
2< br>z
2

补充：
V
ABCD
abc
1 1
abc4abc

63
222
x
2
y2
z
2
第三步：根据墙角模型,
2Rabc
, 2
x
2
y
2
z
2
R
,
R
8
2
x
2
y
2
z
2
,求 出
R
,
8
a
2
b
2
c
2< br>【结论】秒杀公式3：对棱相等的棱锥的外接球半径：
R

8

◆ 例7 如图所示三棱锥
ABCD
,其中
ABCD5,ACBD 6,ADBC7,
则该三棱锥外接球的表
面积为 .





【秒解】由条件可知,属于对棱相等的棱锥外接球
222
abc55
问题,
a5,b6,c7
,
R,

84
2
外接球的表面积
S4

R2
55

.

◆ 例8 正四面体的各条棱长都为
2
,则该正面体
外接球的体积为 .
6

【秒解】这是特殊情况,但也是对棱相等的模式,
a
2
b
2
c
2
3

,外接球的表 < br>abc2
,
R
84
2
面积
S4

R
2
3

.

(4)正棱锥模型
【结论】 棱锥各个顶点在球面上,顶点到底面的距离为
h
,且顶点到底面的垂点为底 面外接圆圆心,典型例子
为：正三棱锥,正四棱锥.

h
2
r
2
秒杀公式4：
R

r
2h

◆ 例9 已知正四棱锥的顶点都在同一个球面上,且该棱锥的高为4,底面边长为
22
,则球的体积为 .
h
4
2
2
2
5

【秒解 】
h4
,
r2
R
242

4
3
4
2
2
2
125

V

R 

3246

4


2
22
◆ 例10 已知正三棱锥
SABC
及其正视图如图所示,则其外接球的半径为 .


A
C
S
3
3
3

B
【秒解】
ABC
边长为
23
,
r
33
a232

33
h
2
r
2
73
,
h3
,
R


2h6

◆ 例11 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为
1
的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则 其外
接球的半径为 .
【秒解】高
hr1
,底面外接圆的半径为
r1
,
7

h
2
r
2
R1
.
2h




8