健康教育活动记录-小学语文论文集

四、几何变换
由三角形的面积公式易得：等底等高的三角形面积相等。现对其常用的< br>特殊情形及推广谈谈它们的应用，供大家参考。
1、同底等高型这种情形往往有平行线，通过平行线确
定等高。如下图 AD∥BC，则有

2、等底同高型这种情形往往有线段
中点，由中点确定等底。如下图 D是BC
的中点，则有



A





B D C
S
△ABC=
S
△DBC。
S
△ABD=
S
△ADC。
下面的直角三角形ABC，D是BC边的中点，显而易见，△ABD=









C A
B


D
B
S S
△ADC。
如果我们把左图变成右图：
D是BC边的中点，同理可以得到：
1、△ABC= 2 △ADC；
2、△ABC的高是△ADC的高的两倍。

下面学习：
1、利用等底等高的方法求面积
D




C A
SS
1 7

例1 如图，三角形ABC中，如果BD＝DE＝EF＝FC，BG＝ GH＝HA，三
角形DEG的面积是2平方厘米，求三角形ABC的面积. 。

解法一：连结GF、GC。由△GBD与△GDE、△GEF与△GFC分别都是等底
同高的三角形知 ，△GBC=4△GDE=4×2=8平方厘米。
BG＝GH＝HA， 即G是AB的三分之一点，同理可得，
SS
S
△ABC=3

S
△GBC=3×8=24平方厘米。
解法二：
由于BD＝DE＝EF＝FC，即DE=BC，
BG＝GH＝HA，可得，△GDE的高是△ABC的高的
。
所以
S
△GDE = ×
S
△ABC， 解得，
S
△ABC=24平方厘米。
小结：看到谁是谁的几分之几或是几倍（中点、 三分之一点），有时是谁
等于谁，立刻要判断两者是否属于同一条线上？是，就要通过添加辅助线构造△，利用等底等高的方法求解。
2、用等积转换的方法求面积
要利用等积转换的方法求面积，常常会用到上面学的
左 右
S
△AB C=
S
△DBC,大家都减掉相同的
S
△BOC，剩下的
S
△AOB=
S
△DOC。对角线与两腰围成部分面积相等，通常讲的 左=右。
2 7

例2 如图，正方形ABCD的边长是8厘米，正方形GCEF的边长是6厘
米，求图中阴影部分的面积。
O


解法一：
连结AC。因为ABCD和GCEF都是 正方形，所以AC∥GE。可得，△ACG
与△ACE都是等底同高的三角形，即
所求阴影部分 转换成求
S
△AGO=
S
△OCE。
= 18平方厘米。
S
△GCE， 6×6
我们发现
正方形ABCD的边长是8厘米，长度没必要知道。


解法二：（略）提示总面积减去空白部分(三个三角形面积)就可以求出阴
影部分面积。

小结：平面几何，当看到平行线或是交叉线，就要思考能否通过添加辅
助线构造出一 个梯形，利用左=右，实现等积转换。
例3 如下图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块， △DEF的面积是
4cm，△CED的面积是6cm。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？
22

解：如下图，连结BF。则△BDF与△CFD面积相等，减去共同的部分△D EF，
可得△BEF与△CED面积相等，等于6cm
2
。
3 7

四边形ABEF的面积等于
S△
ABD
-S△
DEF

=S△
BDC
-S△
DEF

=S△
BCE
+S△
CDE
-S△
DEF

=9+6-4=11（）。

例4 如图，梯形ABCD的上底AD长为3厘米，下底BC 长为9厘米，而
三角形ABO的面积为12平方厘米．则梯形ABCD的面积为多少平方厘米?





A D F

O

B C
解： 如右图过C点作BD的平行线CF，连接DF。得到
AD:AF=OD:CF（BD）=3：(3+9)=1:4,即有
S
△ADO:
S
△ADB=1:4，同理可得，
S
△ADO:
S
△ABO=1:3，
S
△DOC:
S
△BOC=1:3,
4 7

即
S
△ADO=4平方厘米,
S
△BOC=36平方厘米。
=1:9。
所以梯形ABCD的面积为4+12+12+36=64平方厘米。
另解：提示：△ADO与 △BCO的面积比为AD平方与BC平方的比，即为
:
（过程略）
例5 如右图， 在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10与12，已知
2
梯形的上底长是下底长的．那么余 下阴影部分的面积是多
3
少?
解： 不妨设上底长2，那么下底长3，则上 面部分的三
角形的高为10÷2×2=10，下面部分的三角形的高为
12÷3×2=8，则梯 形的高为lO+8=18．
1
所以梯形的面积为×(2+3)×18=45，所以余 下阴影部分的面积为
2
45-10-12=23。

知识点提示： 这道题中上下底、梯形的高都不确定，但是余下阴影部分的
面积却是确定的值，所以面积值与上下底、高 的确定值无关，所以可以大胆假
设，当然也可以谨慎的将上底设为2x，下底为3x。


难题分享：如图在△ABC中，AD=AB,CG=AC,BE=EF=FC。若
厘 米,则四边形DEFG的面积是多少平方厘米？

解：设

D
G


B E F C


5 7

S
△ABC=63平方
A
S
△ABC=1份，从AD=AB，
CG=AC，BE=EF=FC。可知

S
△BED=
故
×
=
，
S
△ADG=×
=
，
S
△FCG=
=。
×
=
，

S
四边形DEFG=
1
若

S
△ABC=63平方 厘米,则四边形DEFG的面积是
63
×
=
28
平方厘米。
课后习题：
1、将△ABC的各边都延长一倍至 A′、 B′、 C′，连接这些点，得到
一个新的三角形A′B′C′．若△ABC的面积为1，求△A′B′C′的面积．

2、如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，E为AB上的一点，且
BE
已知四边形E DCA的面积是35，求三角形ABC的面积。
1
AB
，
3

3、 如图，已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，
且正方形ABCD的边长为10厘米 ，那么图中阴影三角形
BFD的面积为多少平方厘米?
【提示】 连接FC，有FC平行与DB，则四边形BCFD
为梯形。 阴影部分△BFD的面积为50平方厘米。
4、如左下图所示，长方形ABCD中，AB=24cm， BC=36cm，E是BC的中点，
F，G分别是AB，CD的4等分点，H为AD上任意一点。求阴影 部分面积。
6 7

7 7