严意娜-经典文章推荐

一、猜想、探究题
1. 已知：抛物线
yax
2
bxc
与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． 其中点A在
x轴的负半轴上，点C在 y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA2
x5x40
的两 个根，且抛物线的对称轴是直线
x1
．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合）， 过点D作DE∥BC
交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数 关系
式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D
点坐 标；若不存在，请说明理由．








C
E
A
O
D
B
x
y

1

作平行于
x
轴的直线
l
，2. 已知，如图1，过点
E

0，
抛物线
y

1x
上的两点
A、B
的横
4
2
坐标分别为
1和4，直线
AB
交
y
轴于点
F
，过点
A、B
分别作直线
l
的垂线，垂足分别
为点
C
、
D
，连接
CF、DF
．
（1）求点
A、B、F
的坐标；
（2）求证：
CFDF
；
（3）点
P
是抛物线
Q
y
1
4
x
2
对称轴右侧图象上的一动点，过点
P
作
PQ⊥PO
交
x
轴于点
，是否存在点
P
使得
△OPQ
与
△CDF
相似？若存在，请求出所有符合条件的点
P
的坐标；
若不存在，请说明理由．

127

建
F
A
O
C
E
（图1）

D
l
x
y
B
y
F
O
C
E D
x
备用图
3. 已知矩形纸片
OABC
的长为 4，宽为3，以长
OA
所在的直线为
x
轴，
O
为坐标原点< br>立平面直角坐标系；点
P
是
OA
边上的动点（与点
O、A不重合），现将
△POC
沿
PC
翻
折
得到
△ PEC
，再在
AB
边上选取适当的点
D，
将
△PAD
沿
PD
翻折，得到
△PFD
，使得
直线
PE、PF
重合．
数关系式；

（1）若点
E
落在
BC
边上，如图①，求点
P、C、D
的坐标，并求过此三点 的抛物线的函
（2）若点
E
落在矩形纸片
OABC
的内部，如图 ②，设
OPx，ADy，
当
x
为何值时，
y
取得最大值？
（3）在（1）的情况下，过点
P、C、D
三点的 抛物线上是否存在点
Q，
使
△PDQ
是以
PD

为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点
Q
的坐标．









O
C
y
E
B
C
y
B
F
E
F
D
D
P
图①

A
x
O
P
A
图②

x
227

4. 如图，已知抛物线
yx4x3< br>交
x
2
轴于A、B两点，交
y
轴于点C，•抛物线的对称轴交
x
轴于点E，点B的坐标为（
1
，0）．
（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；
（2）在平面直角坐标系
xoy
中 是否存在点P，与A
、
B
、
C三点构成一个平行四边形？
若存在，请 写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是 否存在点M，使得直线
CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式 ；若
不存在，请说明理由．
y











5. 如图①， 已知抛物线
0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的 对称轴与
x
轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰
三角形？若存 在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，若点E为第二象 限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积
的最大值，并求此时E点的坐标．







327
C
D
A
E
B
O
x


y ax
2
bx3
（a≠0）与
x
轴交于点A（1，0）和点B（ －3，

y y
C C
B
M
O
A
x
B
O
A
x
图① 图②

二、动态几何
6. 如图，在梯形
ABCD
中，
DC∥AB，A90°，AD6
厘米，
DC4
厘米，
BC< br>的坡度
i3∶4，
动点
P
从
A
出发以2厘米秒的速 度沿
AB
方向向点
B
运动，动点
Q
从点
B
出
发以3厘米秒的速度沿
BCD
方向向点
D
运动，两个动点同时 出发，当其中一个
动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为
t
秒 ．
（1）求边
BC
的长；
（2）当
t
为何值时，
PC
与
BQ
相互平分； < br>（3）连结
PQ，
设
△PBQ
的面积为
y，
探求y
与
t
的函数关系式，求
t
为何值时，
y
有最 大
值？最大值是多少？






7. 已知：直线

Ac
Pc

D
c
Cc
Q
c
Bc
y
1
2
x1与
y
轴交于A，与
x
轴交于D，抛物线
y
1
2
xbxc
2
与直线交于
A、E两点，与
x
轴交于B、 C两点，且B点坐标为 （1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在
x
轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使
|AM









427
MC|
的值最大，求出点M的坐标．
y
E
A
D
O
B C
x

8. 已知：抛物线
y axbxc

a0

2
的对称轴为
x1，与
x
轴交于
A，B
两点，与
y
轴
0

、
C

0，2

．
交于点
C，
其中
A

3，

（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得
△PBC
的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）若点
D
是线段
OC
上的一个动点（不与点O、点C重合）．过 点D作
DE∥PC
交
x
轴于点
E．
连接
PD
、
PE
．设
CD
的长为
m
，
△PDE
的 面积为
S
．求
S
与
m
之间的函数关
系式．试说明< br>S
是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．







4)
；矩形9. 如图1，已知抛物线 经过坐标原点
O
和
x
轴上另一点
E
，顶点
M
的坐标为
(2，
ABCD

C
A
O
B
x
y
的顶点
A
与点
O
重合，
AD、A B
分别在
x
轴、
y
轴上，且
AD2
，
A B3
．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）将矩形
ABCD
以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿
x
轴的正方向匀速平 < br>行移动，同时一动点
P
也以相同的速度从点
A
出发向
B
匀速移动．设它们运动的时间为
．．．．．
t
秒（
0≤t≤3
）， 直线
AB
5
与该抛物线的交点为
N
（如图2所示）．
①当
t
2
时，判断点
P
是否在直线
ME
上，并说明理 由；
②设以
P、N、C、D
为顶点的多边形面积为
S
，试问
S
是否存在最大值？若存在，求出
这个最大值；若不存在，请说明理由．






D
O
(A)
E
x
D
O
C
B
C
y
M
N
B
y
M
P
A E
x
图1
527
图2

10. 已知抛物线：
1
y
1

1
2
x2x
2
．
（1）求抛物线
y
的顶点坐标．
（2）将抛物线
y
1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线
y
2
，求抛物线
y
2
的解析式．
（3）如下图，抛物线
y
的顶点为P，
x< br>轴上有一动点M，在
y
1
、
y
2
这两条抛物线上是< br>2
否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，
求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【提示：抛物线
y










11. 如图 ，已知抛物线C
1
：
ya

x2

5
的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点
2
ax
2

b4ac b
2

，
，
bxc
（
a0
）的对 称轴是
x
顶点坐标是



】
4a
2a

2a

b
y
5
4
3
2
1
1

1

2

3

P
y
2

y
1

O
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x

4

A在点B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；（4分）
（ 2）如图（1），抛物线C
2
与抛物线C
1
关于x轴对称，将抛物线C
2
向右平移，平移后的
抛物线记为C
3
，C
3
的顶点为M ，当点P、M关于点B成中心对称时，求C
3
的解析式；
（4分）
（3）如 图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C
1
绕点Q旋转180°后得到抛物线
C
4
．抛物线C
4
的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边 ），当以点P、
N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）


627

物线
yaxbx
过
图1
图2
P
B
A
O
x
A
O
B
Q
E
F
x
C
1

y
M
C
1

y
N
C
2

C
3
P
C
4

0)
、
C(8，0)
、
D(8，8)
．抛12. 如图，在 平面直角坐标系中，已知矩形
ABCD
的三个顶点
B(4，
2
A、C
两点．
（1）直接写出点
A
的坐标，并求出抛物线的解析式；
（ 2）动点
P
从点
A
出发，沿线段
AB
向终点
B运动，同时点
Q
从点
C
出发，沿线段
CD
向
终 点
D
运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为
t
秒．过点
P< br>作
PE⊥AB
交
AC
于
点
E
．
① 过点
E
作
EF⊥AD
于点
F
，交抛物线于点
G．当
t
为何值时，线段
EG
最长？
②连接
EQ
．在点
P、Q
运动的过程中，判断有几个时刻使得
△CEQ
是等腰三角形？
请直接写出相应的
t
值．


y
A F
G
D







13. 如图1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，
-1
），且 P（
-1
，
- 2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，Q B垂直于y轴，垂
足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△
727
P
E
Q
O
B
C
x

OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP
、
OQ为邻边的平行 四
边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．








M
y

y
B
Q
B
A
O
x
M
Q
A
O
x




P
图1
C
P
图2
14. 如图，矩形ABCD中，AB = 6cm，AD = 3cm，点E在边DC上，且DE = 4cm ．动
点P从点A开始沿着A→B→C→E的路线以2cms的速度移动，动点Q从点A开始沿
着 AE以1cms的速度移动，当点Q移动到点E时，点P停止移动．若点P、Q从点A

同时出发，设点Q移动时间为t（s），P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积
为S（cm
2
），求S与t的函数关系式．









D
E C
Q
A
P

B
15. 如图，已知二次函数
y(xm)
2
km
2
的图象与
x
轴相交于两个不同 的点
A(x
1
，0)
、
B(x
2
，0)
，与
y
轴的交点为
C
．设
△ABC
的外接圆的圆心为点P
．
827

（1）求
⊙P
与
y
轴的另一个交点D的坐标；
（2）如果
AB
恰好为
⊙P
的直径，且
△ABC
的面积等于
5
，求
m
和
k
的值．









16. 如图，点
A、B
坐标 分别为（4，0）、（0，8），点
C
是线段
OB
上一动点，点
E< br>在
x
轴
正半轴上，四边形
OEDC
是矩形，且
OE 2OC
．设
OEt(t0)
，矩形
OEDC
与
△AOB
重合部
分的面积为
S
．根据上述条件，回答下列问题：
（1）当矩 形
OEDC
的顶点
D
在直线
AB
上时，求
t
的值；
（2）当
t4
时，求
S
的值；
（3）直接写 出
S
（4）若
S12
与
t
的函数关系式；（不必写出解题 过程）
y
B
，则
t
．





17. 直线
y
4
x6< br>与坐标轴分别交于
A、B
两点，动点
P、Q
同时从
O
点出发，同时到达
点
A
，运动停止．点
Q
沿线段
OA
运动，速度为每秒1个单位长度，点
P
沿路线
O
→
B
→
A
3
C
O
D

E
A
x
运动．
（1）直接写出
A、B
两点的坐标；
（2）设点
Q
的运动时间为
t
秒，
△OPQ
的面积为
S
，求出
S
与
t
之间的函数关系式；
（3）当
S
48< br>5
时，求出点
P
的坐标，并直接写出以点
O、P、Q
为顶点的 平行四边形的第四
927

个顶点
M
的坐标．







O
P
B
y
Q
A
x
18. 如图1，过△ABC的三个 顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之
间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间 的这条直线在△ABC内部的线段的长度叫△
ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面 积的新方法：
S
ABC
形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

A2

1
2
ah
，即三角





B
水平宽
h
铅垂高
C




图1
a
解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2） 求△CAB的铅垂高CD及
S
△CAB
；
（3） 设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使得
S
△
PA B
=
8
S
△
CAB
，若存在，
求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．


1027
9

y
C







1
O
B
D
x
1
A
图2
0)、(0，
19. 如图，在平面直角坐标系中，点
A、C
的坐标分别为
(1，3)，
点
B
在
x
轴上 ．已
知某二次函数的图象经过
A
、
B
、
C
三点，且 它的对称轴为直线
x1，
点
P
为直线
BC
下方
的 二次函数图象上的一个动点（点
P
与
B
、
C
不重合），过点
P
作
y
轴的平行线交
BC
于点

F．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若设点
P
的横坐标为< br>m，
用含
m
的代数式表示线段
PF
的长．
（3）求
△PBC
面积的最大值，并求此时点
P
的坐标．





A
O
F
B
x
y



20. 如图所示，菱形
ABCD
的边 长为6厘米，
B60°
．从初始时刻开始，点
P
、
Q
同 时从
A

C
x=1
P
点出发，点
P
以1厘米秒的速度沿
ACB
的方向运动，点
Q
以2厘米秒的速度沿
的方向运动，当点
Q
运动到
D
点时，
P
、
Q两点同时停止运动，设
P
、
Q
运
y
平方厘米（这里规定 ：点和线动的时间为
x
秒时，
△APQ
与
△ABC
重叠部分 的面积为
．．．．
ABCD
段是面积为
O
的三角形），解答下 列问题：
（1）点
P
、
Q
从出发到相遇所用时间是 秒；
Q
从开始运动到停止的过程中，（2）点
P
、当
△APQ是等边三角形时
x
的值是 秒；
（3）求
y
与
x
之间的函数关系式．

1127

D
C




21. 定义一种变换：平移抛物线
F
得到抛物线
F
，使
F
经过
F
的顶点
A
．设
F
的对称轴
1
22
1
P
A
Q

B
2
分别交< br>F，F
于点
D，B
，点
C
是点
A
关于直线< br>BD
的对称点．
12
（1）如图1，若
F
：
y< br>1
x
2
，经过变换后，得到
F
：
yx
2< br>2
bx
0)
，则，点
C
的坐标为
(2，
①
b
的值等于______________；
②四边形
ABCD
为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）如图2，若
F：
yax
2
c
，经过变换后，点
B
的坐标为
(2，c1)
，求
△ABD
的面积；
1
（3）如图3，若F
1
：
y
1
3
x
2
2
3
x
7
AC
，经过变换后，
3
23
，点
P
是直线
AC
上的动点，
求点
P
到点
D
的 距离和到直线
AD
的距离之和的最小值．





y
F
1

y
F
1

D
P
O（A）
B
C
x
A
A
C
B
O
B
x
O
（图3）
x
C
y
F
1

D
F
2

D
F
2

F
2






（图1） （图2）
22. 如图，已知直线
y
2
x1
交坐标轴于
A
，
B
两点，以线段
AB为边向上作正方形
ABCD
，
过点
A
，
D
，< br>C
的抛物线与直线另一个交点为
E
．
（1）请直接写出点
C,D
的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒
5
1
个单位长度的速度沿射线
AB
下滑，直 至顶点
D
落在
x
轴上时停
止．设正方形落在
x
轴下 方部分的面积为
S
，求
S
关于滑行时间
t
的函数关系式，并 写
1227

出相应自变量
t
的取值范围；
（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上
C ,E
两点
间的抛物线弧所扫过的面积．
y

D







A
O
B
C
x
E
y
1
2
x1

23. 如图，点
A、B
坐标分别为（4，0）、（0，8），点
C
是线段
OB
上一动点，点
E
在
x
轴
正半轴上，四边 形
OEDC
是矩形，且
OE2OC
．设
OEt(t0)
，矩形
OEDC
与
△AOB
重合
部分的面积为
S
．根据上述条件，回答下列问题：
（1）当矩形
OEDC
的顶点
D
在直线
AB
上时，求
t
的值；
（2）当
t4
时，求
S
的值；
（3）直接写出
S
与
t
的函数关系式；（不必写出解题过程）
y
（4）若
S


12
，则
t
．
B




24. 如图所示，某校计划将一块形状为锐角三角形
ABC
的空地进行生态环境改造．已
知
△ABC
的边
BC
长120 米，高
AD
长80米．学校计划将它分割成
△AHG
、
△BHE、
△GFC
和矩形
EFGH
四部分（如图）．其中矩形
EFGH
的一边
EF
在边
BC
上，其余两个顶点
H
、
G
C
O
D
E
A
x
分别在边
AB
、
AC
上．现计划在
△AHG
上种草，每平米投资6元；在△BHE
、
△FCG
上
都种花，每平方米投资10元；在矩形
E FGH
上兴建爱心鱼池，每平方米投资4元．
（1）当
FG
长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？
（2）当矩形
EFGH
的边
FG
为多少米时，
△ABC
空地改造总投资最 小？最小值为多少？
1327

25.
2
A
H
K
G
B
E

D F
C
已知：
t< br>1
，t
2
是方程
t2t240
的两个实数根，且
t
1
t
2
，抛物线
y
2
3
xbx c
2
的图象
0)，B(0，t
2
)
． 经过点
A(t
1
，
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设点P(x，y)
是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形
OPAQ
是以
OA
为对角线
的平行四边形，求

OPAQ
的面积
S
与
x
之间的函数关系式，并写出自变量
x
的取值范
围；
（3）在（2）的条件下，当

OPAQ
的面积为24时，是否存在这样的点
P
，使

OPAQ
为
正方形？若存在，求出
P
点坐 标；若不存在，说明理由．






P
A
Q
B
y

O
x


三、说理题

0)，B(1，0)，C(0，2)
三点． 26. 如图，抛物线经过
A(4，
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点 ，过P作
PMx
轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，
M为顶点的三角形与
△OAC
相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，
1427

请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得< br>△DCA
的面积最大，求出点D的坐
标．







O
2

y
B
1

C
4

A
x
27. 如图，在平面直角 坐标系
xOy
中，半径为1的圆的圆心
O
在坐标原点，且与两坐标
轴 分别交于
A、B、C、D
四点．抛物线
yax
2
bxc
与
y
轴交于点
D
，与直线
y
M、N
x
交于点
，且
MA、NC
分别与圆
O
相切于点
A
和点
C
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交
x轴于点
E
，连结
DE
，并延长
DE
交圆
O于
F
，求
EF
的长．
（3）过点
B
作圆O
的切线交
DC
的延长线于点
P
，判断点
P
是 否在抛物线上，说明理
由．



E
A O
C
F
M
B
x
y
D
N




28. 如图1，已知：抛物线
两点的直线是
y
1
2

y
1
2
xbxc
2
与
x
轴交于
A、B
两点，与
y
轴交于点
C
，经过
B、C

x2
，连结
AC
．
（1）
B、C
两点坐标分别 为
B
（_____，_____）、
C
（_____，_____），抛物线 的函数关
系式为______________；
（2）判断
△ABC
的形状，并说明理由；
（3）若
△ABC内部能否截出面积最大的矩形
DEFC
（顶点
D、E、F、G
在
△ABC
各边上）？
若能，求出在
AB
边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说 明理由．
1527


b4acb
2

[抛物线
yax
2
bxc
的顶点坐标是


2a
,
4a

]








图1

图2(备用)
A
O
B
x
A
O
B
x
y
y
C
C
29. 已知：如图，在平面直角坐标系
xOy
中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，
OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点 O作∠AOC的平分线交AB于点D，连
接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后， 角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一
边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一 点M，点M的横坐标为
6
5
，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不 成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线
GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的
坐 标；若不存在，请说明理由．



E
A
y
D

B





30. 如图所示，将矩形
OABC
沿
AE
折叠，使点
O
恰好落在< br>BC
上
F
处，以
CF
为边作正方
形
CFGH
，延长
BC
至
M
，使
CMCEEO
O

x
C
，再以
CM
、
CO
为边作矩形
CMNO
．
（1）试比较
EO
、
EC
的大小，并说明理由．
1627

（2）令
m
明理由．
S
四边形CFG H
S
四边形CMNO
，请问
m
是否为定值？若是，请求出
m
的值；若不是，请说
（3）在（2）的条件下，若
CO1，CE
3
，Q
为
AE
上一点且
QF
经过
C
、
Q< br>两点，请求出此抛物线的解析式．
1

2
2
ymxbx c
，抛物线
3
（4）在（3）的条件下，若抛物线
ymx
2bxc
与线段
AB
交于点
P
，试问在直线
BC上
是否存在点
K
，使得以
P
、
B
、
K
为顶点的三角形与
△AEF
相似？若存在，请求直线
KP
与
y
轴的交点
T
的坐标；若不存在，请说明理由．











N O
M
y
H
G
C
F
B
E
Q
A
x












1727

1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14 两直线平行，同旁内角互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三
角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
1827

30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等
角）
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个
角所对的边也相等（等角对等边）
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于
斜边的一半
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分
线上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的
垂直平分线
44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相
交，那么交点在对称轴上
45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这
两个图形关于这条直线对称
46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，
即a^2+b^2=c^2
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系
a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形
48定理 四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°
1927

51推论 任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一
组对角
66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2
67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每
条对角线平分一组对角
71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并
且被对称中心平分
73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一
点平分，那么这两个图形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
2027

77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段
相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第
三边
81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它
的一半
82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的
一半 L=（a+b）÷2 S=L×h
83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc
如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d
85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么
(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b
86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应
线段成比例
87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所
得的对应线段成比例
88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应
线段成比例，那么这条直线平行于三 角形的第三边
89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角
形的三边与原三角形三边对应成比例
90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，
所构成的三角形与原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）
94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）
95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三
2127

角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平
分线的比都等于相似比
97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等
于它的余角的正弦值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等
于它的余角的正切值
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半
径的圆
106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直
平分线
107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距
离相等的一条直线
109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的
两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条
弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
2227

相等，所对的弦的弦心距相等
115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周
角所对的弧也相等
118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所
对的弦是直径
119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形
是直角三角形
120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它
的内对角
121①直线L和⊙O相交 d＜r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d＞r
122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆
的切线
123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积
相等
131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项
132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割
2327

线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点
的两条线段长的积相等
134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)
136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆
的外切正n边形
138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同
心圆
139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三
角形
141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长
142正三角形面积√3a／4 a表示边长
143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为
360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4
144弧长计算公式：L=n兀R／180
145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
（还有一些，大家帮补充吧）

实用工具:常用数学公式


公式分类 公式表达式
2427

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)2a -b-√(b2-4ac)2a

根与系数的关系 X1+X2=-ba X1*X2=ca 注：韦达定理

判别式
b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根
b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根
b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根

三角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB- sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)(ctgB-ctgA)

倍角公式
tan2A=2tanA(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式
2527

sin(A2)=√((1-cosA)2) sin(A2)=-√((1-cosA)2)
cos(A2)=√((1+cosA)2) cos(A2)=-√((1+cosA)2)
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA)) tan(A2)=-√((1-cosA)((1+cosA))
ctg(A2)=√((1+cosA)((1-cosA)) ctg(A2)=-√((1+cosA)((1-cosA))

和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)2)cos((A-B)2
cosA+cosB=2cos((A+B)2)sin((A-B)2)
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB tanA- tanB=sin(A-B)cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB

正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆
半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h
正棱锥侧面积 S=12c*h' 正棱台侧面积 S=12(c+c')h'
圆台侧面积 S=12(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=12*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=12*l*r

锥体体积公式 V=13*S*H 圆锥体体积公式 V=13*pi*r2h
2627

斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长
柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

2727