祝福的话-新社会人

数二几何与物理应用大全


（1） 曲率：
K
|y|

232
(1y')
（2） 曲率半径：


1
,

K


（1） 面积
直角坐标的情况：由曲线
yf(x)(f(x)0)
及直 线
xa,xb(ab)
与
x
轴所
围成的曲边梯形的面积
A
极坐标的情况：
边扇形的面积


b
a
f(x)dx

，所围成的曲

（
2
） 弧长

直角坐标情形
设函数
f(x )
在区间

a,b

上具有一阶连续的导数，计算曲
线yf(x)
的长 度
S
.
S

b
a< br>1

f

(x)

dx
.

2
参数方程的情形 若曲线由参数方程


x
< br>(t)

y

(t)
2
(

t 

)

2
S








(t)




< br>

(t)


dt
（
3
） 旋转体的体积

计算由曲线
yf(x)
直线
xa
，
xb
及
x
轴所围成的曲边梯形，
绕
x
轴旋转一周 而生成的立体的体积. 所求的旋转体的体积为
V
（4） 旋转体的侧面积公式
S2


b
a


f(x)

dx

2

b
a
f(x)1f'
2
(x)dx

（5） 平行截面面积已知的立体的体积
以
A(x)
表示过点
x
且垂直于
x
轴的截面面积. 则
xa
，
xb
且垂直于
x
轴的两个平
面之内的 立体的体积为
V

b
a
A(x)dx

（6） 功
dWF(x)dx

（7） 引力
质量为
m
1
、
m
2
，相距为
r
的两质点 间的引力大小为
Fk
m
1
m
2
r
2

k
为引力系数。引力的方向沿着两质点的连线方向。
（8） 压力
水深< br>d
处的压强为
p

gd
，

是水密度，< br>g
是重力加速度，如果有一面积为
A
的
平板置于水深
d
处，那么平板一侧所受的的水压力为
FpA
。
以水深为变量
x
，建立
dF
与
dx
的关系式，积分即可
（9） 质心 即质量的中心，是物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。有质量
的物体就有质心。
（10） 形心 物体的几何中心，有体积的物体就有形心
（11） （重心） 即重力作用中心，是假定该物体的重力集中于改点。有地球引力的情况
下才有重心可言。
三心之间的联系：
重力分布均匀时，即当物体的尺寸比地球半径小得多时，质心和重心重合。
物体的密度分布均匀时，质心和形心重合。
重力分布和密度分布均匀时，三者重合。
若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,
则它的质心坐标为

其面密度
为

(x,y),

x

(x,y)dxdy

M
x




(x,y)dxdy
M
D
y
D< br>y

(x,y)dxdy

y



(x,y)dxdy
D
D

常数时,
得D 的形心坐标:

x
D
xdxdy
A
,


y
D
ydxdy
A
(A 为 D 的面积)
平均值
1. 函数
f(x)
在区间
[a,b]
上的平均值 公式：
y
1
b
f(x)dx


a
ba
2. 函数
f(x)
关于权函数
(x)
在区间
[a,b]
上的加权平均值公式：
f


b
a
f(x)

(x)dx


(x)d x
a
b

1
b
2
f(x)dx
3. 函 数
f(x)
在区间
[a,b]
上的均方根：
ba

a

例 设有一半径为
R
， 中心角为

的圆弧形细棒， 其线密度为常数

， 在圆
心处有一质量为
m
的质点
M
， 试求这细棒对质点
M
的引力。
解决这类问题，一般来说，应选择一个适当的坐标系。
解：建立如图所示的坐标系，质点
M
位于坐标原点，
该圆弧的参方程为

xRcos


(

)
< br>
22

yRsin

在圆弧细棒上截取一小段，其长度为
ds
，它的质量为

ds
，到原点的距离为
R
，其 夹角为

，它对质点
M
的引力
F
的大小约为
F k
m

ds
R
2

F
在水平方向( 即
x
轴)上的分力
F
x
的近似值为
F
x
k
而
ds
m

ds
R
2
cos


(dx)
2
(dy)
2
Rd


于是，我们得到了细棒对质点的引力在水平方向的分力
F
x
的元素，
dF
x

km

cos

d


R

22
故
F
x
km
< br>2km



dF
x


cos

d

sin

R2

R

2

2

2

2
km

类似地
F
y


dF
y


sin

d

0


R

2

2
因此，引力的大小为
2km

sin
，而方 向指向圆弧的中心。
R2