湖北师范大学分数线-仰天巨佛

特殊多面体外接球半径求解公式
湖南衡阳 左小龙（QQ：83858561）
说明：1.本文受云南下关第一中学杨相元老师的在微信公众号文章的启发，特此感谢。
2.有更好的建议，请加我QQ。
3.内切球，棱切球问题，还需继续研究，希望各位大家能够指教。
4.如有好的练习题，请求大家分享。
一、 重要结论
1．

直三棱锥（柱）的外接球半径
【引例1】在三棱锥
PABC
中，
PA
平面
ABC
，设
BCa
，
ACb
，ABc
，
VABC
的面积为
S
，
PAh
， 求三棱锥
PABC
的外接球半径
R
。
【解析】设
PA BC
的球心
O
到平面
ABC
的距离为
d
，
VABC
的外接圆半径为
r
，
2
2

Rhd r
2

1

dh
则有

22
2
2


R

d

r
abc
1
2

abc

1

a bc
22
r
Rhrh

又由
S
，得故
，

，
4S
244S
4r

abc

。 即
Rdr
1
h
2
r
2

1
h
2



44

4S

22
2
22
2．

正三棱锥（柱）的外接球半径
【引例2】（ 1）在正三棱锥中，高为
h
，底面外接圆半径为
r
，三棱锥的外接球半
径为
R
。
r
2
h
2
求证：
R

2h
（ 2）在圆锥中，母线长为
l
，高为
h
，底面圆半径为
r
，母 线与底面的夹角为

，
圆锥的外接球半径为
R
。
l
2
lr
2
h
2

求证：
R

2h2sin

2h
1

【证明】（1）在正三棱锥
DABC
中，底面
ABC
外接圆
O
1
半径为r
，三棱锥的外接
球
O
半径
OBR
，高
DO
1
h
。
r
2
h
2
则有：

hR

rR
，
h2hRRrR
，
R

2h
2
22
2222

（2）如 图所示，设圆锥的轴截面为
SAB
，母线
SAl
，高
SOh。
延长
SO
到外接球于点
C
，则
SC
是外接 球的直径，从而
SAAC
。
OCS
又
A
l
2< br>SASOSC
，，即
lh2R
，故
R
。
2h
22
h
l
2
lr
2
h
2

又
lhr
，
sin


所以
R
。
l
2h2sin

2h
222
2
22



hR

rR
h
2
2hRR
2
r
2
R
2
，
l
22hR
，另证：

222



hrl
l
2
故
R
。
2h
故正棱锥的

正三棱锥
正四棱锥
半径
a
2
3h
2

R
6h
a
2
2h
2

R
4h
说明
h
为棱锥的高，
a
为底面边长，
r
3
a

3
2
a

2
h
为棱锥的高，
a
为底面边长，
r
正六棱锥
2

3．

对棱相等的三棱锥的外接球半径
长度
一个
z
。
如图，该三棱锥的三组对棱对应相等，
分别 为
a
，
b
，
c
，则可将该三棱锥补形为
长方体，设 该长方体的边长分别为
x
、
y
、

x
2
 y
2
a
2

222
yzb

易知该 三棱锥和长方体在同一球面上，设该球面的半径为
R
，则有

z
2< br>x
2
c
2

2

x
2
y
2
z
2

a
2
b
2
c
2
，即
2

2R

a
2
 b
2
c
2
，
2
a
2
b
2< br>c
2
故
R
。

8

总结：（1 ）球直三棱锥（柱）的外接球的半径，或者求正棱锥（柱）外接球半径，
关键在于求底面的外接圆半径和 高。
（2）求对棱相等的三棱锥的外接球，可用补形法，或直接套用公式。

二、 应用举例
【例1】 （2008浙江理14）如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA

平面
ABC，AB

BC，DA=AB=BC=
3
，则 球O点体积等
于 。
【答案】
9


2< br>D
A
C
【解答】
hDA3
，
VABC
的 外接圆半径
r
116
AC32
，
222
BR
1
22
1
hr
44

3

2
3

6

3
4
3
4

3

9







2



2
，
V
3

R
3



22


2
3

【例2】 （2007辽宁文15）若一个底面边长为
6
，棱长为6
的正六棱柱的所有
2
顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 ．
【答案】
43


【解析】
R
1
2 2
1
hr
44

6

2

6

4
3
，
V

R43




3


2

3

2
【例3】 （2010全国理10，）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为
a
，顶
点都在一个球面上，则该球的表面积为

7
A.

a
2

B.

a
2

3
C.

11
2

a

D.

5

a
2

3

【答案】B
【 解析】解法一：三棱柱的高
ha
，底面为正三角形，外接圆半径
r
23
a
，
3
7a
2
7
2
1
2 2
1
2

3

7
2


a
，，应选B.
Rhra

a

a
，
球的表面积为
S4



123
44312< br>
【例4】 （2007海南11）已知三棱锥
SABC
的各顶点都在一个 半径为
r
的球面
上，球心
O
在
AB
上，
S O
底面
ABC
，
AC2r
，则球的体积与三棱锥体积
之 比是（ ）
A.
π

B.2π

C
．
3π

D
．
4π

【答案】D
【解析】略
【例5】 （2013辽宁理10）已知三棱柱
A BCA
1
B
1
C
1
的
6
个顶点都在球< br>O
的球面上，
若
AB3
，
AC4
，
AB AC
，
AA
1
12
，则球
O
的半径为（ ）.
A.
317
13
B.
210
C. D.
310

2
2
【答案】C
4

【解析】三棱柱
AB CA
1
B
1
C
1
为直三棱柱，高
hAA
1
12
，
底面为直角三角形，外接圆半径
rBC
， 1
22
112
2
5
2
13

5
2
所以，外接球半径
Rhr12


。
4442

2

2
1
2
5
2
【例6】 （1991全国20）在球面上有四个点
P
、
A
、
B
、
C
、如果
PA
、
PB
、
PC
两两互相垂直，且
PAPBPCa
．那么这个球面的面积是
【答案】
3

a
2

【解析】三棱锥的高
ha
，底面为等腰直角三角形，外接圆半径
r
1
22
1
2

2

3
Rhra

aa
，


2

442

2
2
a
2
所以外接球表面积
S4

R
2
3

a
2
。
【例7】 直三棱柱
ABCA
1
B1
C
1
的各顶点都在同一球面上，若
ABACAA
1
2
,
BAC120
，则此球的表面积等于 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【答案】
20


【解析】在
ABC
中
ABAC2
，
BAC120
，可得
BC23
，由正弦定 理,可得
ABC
外接圆半径
r2
，三棱柱的高
hAA
1
2
，故三棱柱的外接球半径
R
1
2
1
hr
2
2
2
2
2
5
，所以此球的表面积为4

R
2
20

。
44
5