三十六雨-dnf鬼泣刷图加点

3.1.2 三维图形几何变换
三维几何变换包括平移、旋转和变比。三维几 何变换可以表示为公
式，或三维齐次坐标和4×4变换矩阵的乘积。下面分别以公式，矩阵
乘积 和简记符号来描述三维几何变换。并记变换前物体的坐标为x,y,z；
变换后物体的坐标为x′，y′ ，z′。

一、平移

设Tx,Ty,Tz是物体在三个坐标方向上的移动量，则有公式：
x′＝x＋T
x

y′＝y＋T
y

z′＝z＋T
z

矩阵运算表达为：

［x′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］

简记为：T(Tx,Ty,Tz)

二、旋转

旋转分为三种基本旋转：绕z轴旋 转，绕x轴旋转，绕y轴旋转。
在下述旋转变换公式中，设旋转的参考点在所绕的轴上，绕轴转θ角，< br>方向是从轴所指处往原点看的逆时针方向(图3.5(a),(b))。






1绕z轴旋转的公式为：

x′＝xcosθ－ysinθ

y′＝xsinθ＋ycosθ

z′＝z

矩阵运算的表达为：

［x′ y′ z 1］＝［x y z 1］


简记为R
z
(θ)。

2绕x轴旋转的公式为：

x′＝x

y′＝ycosθ－zsinθ

z′＝ysinθ＋zcosθ
矩阵运算的表达为：

［x′ y′ z′ 1］＝［x y z 1
简记为R
x
(θ)

2绕y轴旋转的公式为：

x′＝zsinθ＋xcosθ

y′＝y

z′＝zcosθ－xsinθ
］

矩阵的运算表达式为：

［x′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］

简记为Ry(θ)。



如果旋转所 绕的轴不是坐标轴，而是一根任意轴，则变换过程变显
得较复杂。首先，对物体作平移和绕轴旋转变换， 使得所绕之轴与某一
根标准坐标轴重合。然后，绕该标准坐标轴作所需角度的旋转。最后，
通过 逆变换使所绕之轴恢复到原来位置。这个过程须由7个基本变换的
级联才能完成。

设旋转所绕的任意轴为p
1
, p
2
两点所定义的矢量。旋转角度为(图
3.6)。这7个基本变换是：

1T(－x
1
,－y
1
,－z
1
)使p
1
点与原点重合(图3.6(b))；

2R
x
(α)，使得轴p1p2落入平面xoz内(图3.6(c))；

3R
y
(β)，使p1p2与z轴重合(图3.6(d));

4R
z
(θ)，执行绕p1p2轴的θ角度旋转(图3.6(e))；

5R
y
(－β)，作3的逆变换；

6R
x
(－α)，作2的逆变换；

7T(x
1
,y
1
,z
1
)作1的逆变换。


图3.6 绕任意轴P1P2旋转的前四个步骤



1求R
x
(α)的参数：转角α是u在yoz平面的投影u′＝（o，b,c)
与z 轴的夹角(图37(a))，故有：

cos＝，其中d＝


又因u′×u
z
＝u
x
｜u′｜｜u
z
｜sinα

其中u
x
是在x轴上的投影。并且用行列式计算矢量积得：

u′×u
z
＝u
x
·b，故得：

sinα＝

，得出R
x
(α)为：


R
x
(α)=





图3.7


2求R
y
(β)的参数(图3.7( b))：经过R
x
(α)变换，p
2
已落入xoz平
面，但p
2
点与x轴的距离保持不变。因此，p
1
p
2
现在的单位矢量u″ 的z
方向分量之值即为u′之长度，等于d,β是u″与u
z
之夹角，故有：

cosβ=

＝d

根据矢量积的定义，有：

u
z
｜u″｜｜u
z
｜sinβ＝u
y
·(－a）

因为｜u″｜＝

sinβ＝－a

＝

＝１，并｜u
z
｜＝１，所以：

因此得到R
y
（β)为：

Ry（β)＝


绕任意轴(x
1
y
1
z
1
)(x
2
y
2
z
2
)转动θ角的变换R(θ)为如下级联
变换：

R(θ )＝Ｔ（－x
1
,－y
1
,－z
1
)·R
x
(a)·R
y
(β)·R
z
(θ)·

R
y
（－β）·R
x
(－a)·T(x
1
,y
1< br>,z
1
)



三、变比

设sx,sy,sz是物体在三个方向的比例变化量，则有公式：

x′＝x·sx，

y′＝y·sy，

z′＝z·sz，

矩阵运算的表达为

［x′ y′ z′ 1］＝［x y z］

简记为S(sx,sy,sz)。

相对于某个非原点参数点(xf,yf, zf)进行固定点变比变换，是通过
如下级联变换实现的：

T(－xf,－yf,－zf)·S(sx,sy,sz)·T(xf,yf,zf)



四、三维几何变换的指令

和二维类似，三维几何变换也 有三条指令，分别执行建立变换矩阵，
积累变换和坐标变换的功能。

1建立变换矩阵的指令：


creat-transformation- matrix-3(x
f
,y
f
,z
f
,s
x,s
y
,s
z
,x
r1
,y
r1
,z
r1
,x
r2
,y
r2
,z
r2
,α,t
x
, t
y
, t
z
, matrix);

其中：x
f
,y
f
,z
f
是变比固定坐标；

s
x
,s
y
,s
z
是变比参数；

x
r1
,y
r1
,z
r1
,x
r2
,y< br>r2
,z
r2
是旋转所绕任意轴的起点与终点坐标；

α 是平移参数；

matrix 是返回的4×4的变换矩阵。

2积累变换的指令

accumulate- matrices-3(m
1
,m
2
,m);

其中m1
,m
2
是输入矩阵，m是输出矩阵。三个都是4×4的矩阵。这条指
令 执行如下功能：

m＝m
1
·m
2

3坐标变换的指令：

set-segment- transformation-3(Id,matrix);

其中Id是物体的编号，ma trix是变换矩阵。这条指令将Id所含的坐标
逐一与matrix相乘，从而实现三维几何变换。< br>