满月酒答谢词-李时珍的资料

解析几何知识点
一、基本理论和基本公式
（一） 曲线和方程
1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；
2） 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上（完备性）。
则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。
2.求曲线方程的方法：.
1）直接法; 2)相关点法；3）参数法; 4）定义法；5）待定系数法.
（二）基本公式
22
. 1. 两点P
1
(x
1
,y
1
)、P
2
(x
2
, y
2
)的距离公式：
|P
1
P
2
|(x
2
x
1
)(y
2
y
1
)
若直线P1 P2的斜率为k，则
|PP
12
|1k
2
|x
1x
2
|1
1
|y
1
y
2
|
.
2
k
定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段
PP< br>,其中P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
).则
12
所成的比为

即PP
1


PP
2
x
x
1


x
2
y

y
2

,y
1
1

1

特例，中点坐标公式；重要结论， 三角形重心坐标公式。
2. 直线的倾斜角（0°≤

＜180°）、斜率:
ktan


x
2
x
1
3. 过两点
P(x,y),P(x,y)的直 线的斜率公式：k
y
2
y
1
.
111222
当
x
1
(x
1
x
2
)

＝
90
，没有斜率
x
2
,y
1
y
2
（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角

王新敞
二、直线方程
（一）直线方程的几种形式：
直线名称
点斜式
斜截式
两点式
已知条件
P
1
(x
1
,y
1
),k

直线方程 使用范围
k存在
k存在
yy
1
k(xx
1
)

k,b
(x
1
,y
1
)、x
2
,y
2
）
ykxb

yy
1
xx
1

< br>y
2
y
1
x
2
x
1
x
1
x
2
,y
1
y
2

截距式
一般式
a,b

xy
1

ab
a0,b0

A、B不全为0
AxByC0

（二）两条直线的位置关系
1.若两条直线的方程分别为 l
1
： y=k
1
x+b
1
； l
2
： y=k
2
x+b
2
．则
l
1
|| l
2
⇔k
1
=k
2
,且b
1
≠b
2
; l
1
⊥l
2
⇔k
1
•k
2
= -1

当1+k
1
k
2
≠0时，若为l
1
到l
2
的角，则
tan


k
2
k< br>1
， 若α为l和l的夹角则
kk
12
tan


21
，
1k
1
k
2
1k
1
k
2
2.如果直线l
1
、l
2
的方程分别为l
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
=0, l
2
: A
2
x+B
2
y+C
2
=0 则
l
1
与
l
2

相交的充要条件：
A
1
B
2
A
2
B
1
0
；交点坐 标：
(
B
1
C
2
B
2
C
1,
C
1
A
2
C
2
A
1
).

A
1
B
2
A
2
B
1
A
1
B
2
A
2
B
1
. 平行的充要条件：l
1
|| l
2
⇔A
1
B
2-A
2
B
1
=0,(B
1
C
2
-B< br>2
C
1
)
2
+(C
1
A
2
-C
2
A
1
)
2
≠0.
垂直的充要条件：l
1
⊥ l
2
⇔A
1
A
2
+B
1
B
2
=0.
重合的充要条件：l
1
与l
2
重合⇔A
1
B
2
-A
2
B
1
=B
1
C
2
-B
2
C
1
=C
1
A
2
-C
2
A
1
=0 (或
A
1


A
2
,B
1


B
2
,C
1


C
2
).
若 A
1
A
2
+B
1
B
2
≠0，直线l
1
到直线l
2
的角是θ，则有tanθ=
（三）直线系方程
1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m∊R, C≠m).
2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m∊R)
3. 过定点（x
1
,y
1
）的直线系方程是： A(x-x
1
)+B(y-y
1
)=0 (A,B不全为0)
4. 过直线l
1
、l
2
交点的直线系方程：（A
1
x+B
1
y+C
1
）+λ( A
2
x+B
2
y+C
2
）=0 (λ∊R） 注：该直线系不含l
2
.
（四）距离
1.点P(x
o
,y
o
)到直线l：Ax+By+C= 0的距离
d
|Ax
0
By
0
C|
.

A
1
B
2
A
2
B
1

A
1
A
2
B
1
B
2
A
2
B
2
2.两平行线l
1
:Ax+By+c
1
=0, l
2
:Ax+By+c
2
=0间的距离公式:d=
|c
1c
2
|

A
2
B
2
三、圆的方程
（一）圆的定义：平面上到一定点的距离等于定长的点的轨迹。
（二）圆的方程
1. 圆的标准方程：(x-a)+(y-b)=r
2.一般方程：x+y+Dx+Ey+F=0,(D+E-4F>0) 圆心坐标：（-
D
，-
E
） 半径r=
1
D
2E
2
4F
2222
222
2
2
2

（3）以(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)为直径两端的圆的方程：（x-x
1
）(x-x
2
)+(y-y< br>1
)(y-y
2
)=0
（4）圆的参数方程：


xarcos


ybrsin

（

为参数）
（三）点与圆的位置关系
设圆C∶(x-a)
2< br>+(y-b)
2
=r
2
，点M(x
0
，y
0
)到圆心的距离为d，则有：
(1)d＞r 点M在圆外； (2)d=r 点M在圆上； (3)d＜r 点M在圆内．
（四）直线与圆的位置关系

1
圆心(a,b)到l的距离为d; 设圆C：(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
, 直线l 的方程为Ax+By+C=0.○
222
2

(xa)(yb)r< br>消去y得关于x的一元二次方程判别式为
△
，则有： ○


AxByC0
位置关系
相离
相切
相交
（五）圆与圆的位置关系
公共点个数
0
1
2
d>r
d=r
d数量关系
⊿< 0
⊿ = 0
⊿> 0
设圆C1：(x-a)
2
+(y-b)
2
= r
1
2
和圆C2：(x-m)
2
+(y-n)
2
= r
2
2
(r
1
≥r
2
)，且设两圆圆心距为d，则 有：
位置关系
数量关系
相离
d> r
1
+r
2

外切
d=r
1
+r
2

相交
r
1
-r
2
1
+r
2

内切
d=r
1
-r
2

内含
d1
-r
2
（d=0：两圆同心）
（六）几个常用结论和方法
1.弦长的求解：弦心距d、圆半径r、弦长l,则：
d
2
2.圆的切线方程的求法
（1）过圆上的点的圆的切线方程
①圆x< br>2
+y
2
=r
2
，圆上一点为(x
0
，y< br>0
)，则此点的切线方程为x
0
x+y
0
y=r
2< br>(课本命题)．
②圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r2
，圆上一点为(x
0
，y
0
)，则过此点的切线方程为(x< br>0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)=r
2
(课本 命题的
推广)．
3以（x
0
,y
0
）为切点的圆x+y+ Dx+Ey+F=0的切线方程：分别以x
o
x,y
o
y,
○
的x,y,x,y.
（2）过圆外一点M（x
o
,y
o
），作 圆(x-a)+(y-b)=r的切线，可设切线方程为点斜式：
y-y
o
= k(x-x
o
)，利用圆心到直线的距离等于半径或与圆的方程联立用判别式法求k。
注意： 由圆外一点向圆引切线，应当有两条切线。但，可能只算出一个 k值，那么，另一条斜率不存 在，即
过（x
0
,y
0
）垂直于x轴的直线x=x
0
.
3.过两条曲线f
1
(x,y)=0与f
2
(x,y)=0的 公共点的曲线系方程：
222
22
22
l
()
2
r
2
（根据垂弦定理和勾股定理）
2
xx
0
y y
0
替换圆方程中
,
22
f
1
(x,y)

f
2
(x,y)0,(

R)

4. 两圆相交时的公共弦方程、两圆外切时的内公切线、两圆内切时的外公切线：两圆方程作差，消去二次项
所得的直线方程即为所求。

四.圆锥曲线

1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质（见后表）
2. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.
3. 等轴双曲线
4. 共轭双曲线
5. 方程y
2
=ax与x
2
=ay的焦点坐标及准线方程.
6.共渐近线的双曲线系方程.
7.点、直线与圆锥曲线的位置关系


椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

定义
椭圆
1． 到两定点F
1
,F
2
的距离之和
为定值2a(2a>|F
1
F
2
|)的点的轨
迹
2．与定点和直线的距离之比为
定值e的点的轨迹.（0图形

方


程
参数方
程
标准方
程

双曲线
1．到两定点F
1
,F
2
的距离之差的
绝对值为定值2a(0<2a<|F
1
F
2
|)的
点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为
定值e的点的轨迹.（e>1）

与定点和直线的距离相等的点
的轨迹.

y
2
=2px
抛物线

x
2
y
2

2
1< br>(
ab
>0)
2
ab

xacos


ybsin



(参数

为离心角）
─axa，─byb
原点O（0，0）
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
x
2
y
2

2
1
(a>0,b>0)
2
ab

xasec



ybta n


(参数

为离心角）
|x|  a，yR
原点O（0，0）
(a,0), (─a,0)
x轴，y轴;
实轴长2a, 虚轴长2b.
F
1
(c,0), F
2
(─c,0)

x2pt
2
(t为参数)

y2pt

x0

(0,0)
x轴
范围
中心
顶点
对称轴
焦点 F
1
(c,0), F
2
(─c,0)
p
F(,0)

2

）
e=1
焦距
2c （c=
离心率
ab
22
） 2c （c=
ab
22
e
c
(0e1)

a

e
c
(e1)

a

准线
a
2
x=

c

a
2
x=

c
y=±
x

p
2

渐近线
b
x
a

焦半径
raex

2b
a
2
r(exa)

2b
a
2
rx

2p

p

2
通径

焦参数
a
2
c

a
2
c

P
圆锥曲线专题练习
一、选择题 < br>x
2
y
2
1
上的一点
P
到椭圆一个焦点 的距离为
3
，则
P
到另一焦点距离为 1.已知椭圆
2516
（ ）
A．
2
B．
3
C．
5
D．
7

2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为
18
，焦距为
6
，则椭圆的方程为
（ ）
x
2y
2
x
2
y
2
x
2
y
2x
2
y
2
1
B．
1
C．
1
或
1
D．以上都不对 A．
9625
3 ．动点
P
到点
M(1,0)
及点
N(3,0)
的距离之差为
2
，则点
P
的轨迹是
（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
4．设双曲线的半焦距为
c
，两条准线间的距离为
d
，且
cd
，那么双曲线的离心率
e
等于
（ ）
A．
2
B．
3
C．
2
D．
3

5．抛
（ ）
A．
物线
y
2
10x
的焦点到准线的距离是
515
B．
5
C． D．
10

22
2
6．若抛 物线
y8x
上一点
P
到其焦点的距离为
9
，则点
P
的坐标为
（ ）
A．
(7,14)
B．
(14,14)
C．
(7,214)
D．
(7,214)

7．如果
xky2
表示焦点在
y
轴上的椭圆，那么实数
k的取值范围是（ ）
A．

0,

B．

0,2

C．

1,

D．

0,1


22
x
2
y
2
1
的顶点为顶点，离心率为
2
的双曲线方程（ ） 8．以椭圆
2516

x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
 1
B．
1
C．
1
或
1
D．以上都不A．
927
对
9．过双曲线的一个焦点
F
2
作垂直于实轴的弦
PQ
，
F
1
是另一焦点，若∠
PF
1
Q
线的离心率
e
等于（ ）
A．
21
B．
2
C．
21
D．
22


2
，则双曲
x
2
y
2
0
1
的两个焦点，
A
为椭圆上一点，10．
F
1
,F
2
是椭圆且∠
AF
1
F
2
45
，则Δ
AF
1
F
2
97
的面积为（ ）
A．
7
B．
7
75
7
C． D．
2
4
2
22
11．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆
xy2x6y90
的圆心的抛物线的方
程（）
A．
y3x
或
y3x
B．
y3x
C．
y9x
或
y3x
D．
y3x
或
222222
y
2
9x
12．设
AB
为过抛物线
y2px(p0)
的焦点的弦，则
AB
的最小值为（ ）
A．
2
p
B．
p
C．
2p
D．无法确定
2
2
13．若抛物线
yx
上一点
P
到准线的距离等于它到顶点的距离，则点< br>P
的坐标为（ ）
A．
(,
1
4
1212
212
)
D．
(,)

)
B．
(,)
C．
(,
4484
484
x
2
y
2
1
上一点< br>P
与椭圆的两个焦点
F
1
、
F
2
的连线互相 垂直，则△
PF
1
F
2
的面14．椭圆
4924
积 为
A．
20
B．
22
C．
28
D．
24

15．若点
A
的坐标为
(3,2)
，< br>F
是抛物线
y2x
的焦点，点
M
在抛物线上移动时，使2
MFMA
取得最小值的
M
的坐标为（ ）

A．

0,0

B．


1

,1

C．
1,2
D．

2,2



2


x
2
y
2
1
共焦点且过点Q(2,1)
的双曲线方程是（ ） 16．与椭圆
4
x
2
x
2
x
2
y
2
y
2
222
y 1
B．
y1
C．
1
D．
x1
A．
24332
17．若直线
ykx2
与双曲线
xy6
的右支交于不同的两点，
那么
k
的取值范围是（ ）
A．（

22
15
15151515
,,0
） D．
,1
） ） B．（
0,
） C．（

（
3
3333
2
18．抛物线
y2x
上两点
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
关于直线
则
m
等于（ ）
A．
y xm
对称，且
x
1
x
2

1
，2
35
B．
2
C． D．
3

22
22
二. 填空题
3
，则它的长半轴长为_______________.
2
20．双曲线 的渐近线方程为
x2y0
，焦距为
10
，这双曲线的方程为______ _________。
19．若椭圆
xmy1
的离心率为
x
2
y
2
1
表示双曲线，则
k
的取值范围是 。 21．若曲线
4k1k
2
22．抛物线
y6x
的准线方程为 .
23．椭圆
5xky5
的一个焦点是
(0,2)
，那么k
。
22
x
2
y
2
1
1
的离心率为，则
k
的值为______________。 24．椭圆
k89
2
25．双曲线
8kxky8
的一个焦点为
(0,3 )
，则
k
的值为______________。
26．若直线
x y2
与抛物线
y4x
交于
A
、
B
两点，则线 段
AB
的中点坐标是______。

2
22
27．对于抛 物线
y4x
上任意一点
Q
，点
P(a,0)
都满足
PQa
，则
a
的取值范围是____。
2
3
x
2
y
2
x
，则双曲线的焦点坐标是_________．
1
的渐近线方程为
y
28．若双曲线
2
4m

x
2
y
2
29．设
AB
是椭圆
2
2
1
的不垂直于对称轴的弦，
M
为
AB
的中点，O
为坐标原点，
ab
则
k
AB
k
OM
____________。
x
2
y
2
1的焦点
F
1
、
F
2
，点
P
为其上的动 点，当∠
F
1
P
F
2
为钝角时,点
P
横坐 30．椭圆
94
标的取值范围是 。
31．双曲 线
txy1
的一条渐近线与直线
2xy10
垂直，则这双曲线的离 心率为__
_。
32．若直线
ykx2
与抛物线
y8 x
交于
A
、
B
两点，若线段
AB
的中点的横坐标是
2
，
则
AB
______。
33．若直线
y kx1
与双曲线
xy4
始终有公共点，则
k
取值范围是 。
34．已知
A(0,4),B(3,2)
，抛物线
y8x
上 的点到直线
AB
的最段距离为__________。
三.解答题
222
2
22
x
2
y
2
1
，35． 已知椭圆试确定
m
的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线
y4xm
43
对称。





36．已知顶点在原点， 焦点在
x
轴上的抛物线被直线
y2x1
截得的弦长为
15
，求抛物线
的方程。

37、已知动点P与平面上两定点
A( 2,0),B(2,0)
连线的斜率的积为定值

（Ⅰ）试求动点P的轨迹方程C.
（Ⅱ）设直线
l:ykx1
与曲线C交于M
、
N两点，当|MN |=











38．已知椭圆的中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线
y
= x +1与该椭圆相交于P和Q，且OP
⊥OQ，|PQ|=









1
.
2
42
时，求直线l的方程.
3
10
，求椭圆的方程
2