英烈故事-误解

几何计算题中的求线段长度

< br>几何计算题一直是我们各级各类考试中必考题型，它不象证明题有一个明确的求解
方向，而是要同 学们自己猜想、探究、发现．所以有些同学对几何计算题产生了畏惧心
理，每每遇到，便停笔不前．其实 几何计算题还是有章可循的，下面以求几何图形中线
段长度为例，作一个简单阐述．
仔细回顾我们所做过的几何计算题，大致有如下几类：
一、 用算术方法直接求解
这一类型题目又有不同层次要求．
（1）比如有些问题中要求某条线段长，由中点、中位线、 特殊四边形、三角函数、
等式性质、相似形、勾股定理等知识直接可解，思路很明显．
例如：
如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=5cm，BD=12cm，求梯形ABCD的中位线长．
分析：要求中位线即要求梯形的两底，而该题的
条件集中在 对角线上，所以应将对角线AC平移
至经过点D ，与BC延长线交于点E，则可得
口
ACED，进而可得Rt△BDC，利用勾股定理可求
出BE=13cm，也就是两底之和等于13cm ，所以
中位线长为6.5cm．
（2）而有些题目并不能一眼就看出结果的求法，但只 要根据已知条件，将能求的线
段尽可能多地求出来，当成为已知的量越来越多，未知的量越来越少，“包 围圈”越收
越紧时，要求的量便自然“浮出水面”了．
例如：
如图2，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，∠
CAB的角平分线AE交BC于点D，交半圆O于点 E．若
AB=10，tan∠CAB=
3
，求线段BC和CD的长．
4
A
O
图2
C
D
E
F
B
B
图1
C
E
A
O
D < br>分析：根据已知条件易求出AC=8，BC=6，而线段CD的
长却不易看出，仔细分析条件，发 现角平分还没有起到作

1

用，两个圆周角等可以带来一系列相等的 量，比如弧、弦、其它的圆周角，但一一作了
尝试仍没有发现解题缺口，所以不妨试一试弧中点的另一用 法——垂径定理，所以连结
EO、CO，可得∠COE=∠BOE，进而可得F为线段BC中点，CF= 3、OF=4、EF=1．此
时再看线段CD，它与线段CF重叠，如能求出CD与CF的比值，问题便 可解了，这可
由△ADC与△EDF相似先得出CD：FD=AC：EF=8：1，所以CD：CF=8 ：9，所以CD=
8
×3=．该题先求出一系列看似与结果无关的量，最后用相似形解出．
3
8
9
二、 列代数方程求解
在几何计算题中，有一大部分问题用 以上方法还不能解决．在这类题目中，我们无
法直接求出答案，尽管由已知条件求出一系列可求的量之后 ，包括目标线段在内仍然有
两条以上的线段无法求出．这时应换个角度，去寻找未知线段中某两条线段之 间的关系，
而线段间的关系往往又离不开由相似形得到的比例式或由勾股定理得到的等式等等，接
下来设出可能不止一个未知数，再寻找出相应于未知数个数的关系式，问题便也解决
了．不过在关系式 的选择中也存在方法的优劣，一个好方法可以为我们减轻计算量，也
节省了时间．
例如： < br>如图3，O为正方形ABCD的中心，延长BC
到点F，使CF=CE，连接DF，BE平分∠D BC，
交DC于点E，交DF于点G，连接OG．
（1） 求证：△BCE≌△DCF；
（2） 若GE·GB=4－2
2
，求正方形ABCD的
边长．
B
1
2
图3
O
E
G
A
D
3
C
F
分析：由边角边很容易证得△BCE≌△DCF，进而可得出∠3=∠2=∠1，BG⊥DF，
△BFG≌△BDG，G是DF中点，OG是△DBF的中位线等等一系列结论，但要求正方
形的边长 则已知条件还嫌不够，所以先要求出所有能求出的量．观察已知条件是两线段
之积的形式，便可想到与相 似三角形有关，可以看出与GE、GB有关的相似三角形
△BCE∽△DCF，所以GD
2< br>=GE·GB=4－2
2
，由前面说明可知G是DF中点，所以
DF
2
=（2GD）
2
=4（4－2
2
）=16－8
2
， 另一方面，DF与CF、边DC构成Rt△DCF，
如果能知道CF与CD的关系，问题便迎刃而解了． CF是由BF减去边长BC得到的，

2

前面可证BF=BD，也就 是边长的
2
倍，此时，Rt△DCF的三边中，一边的平方已知，
另两边的关系也已探 索出，故可设边长DC=a，则CF=
2
a-a，
列出方程：a
2
+（
2
a-a）
2
=16－8
2
，解得a=2，问题获得解 决．
像这样的问题所占的比例非常大，当然有的简单，线段间的关系容易看出，而有的
较为复 杂，就象这道题，关系较为隐蔽，不易被发现，但同学们要记住：相似形和勾股
定理用得最为频繁．
三、利用证明结果求解
有些问题中，需要先根据已知条件证明出某两条线段之间具有相等或倍 量关系，而
其中一条线段长度是已知条件，故而求出另一条线段的长．
例如：
如图 4：⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点C、
D是⊙O1上的点，且AC=AD，连接CB、DB并延
长分别交⊙O2于点E、F，已知CB=5，BE=4．
求DF长．
分析：乍一看本题，很多同学会想到分别求出BD、
C
D
B
E
图4
。O
1

。O
2

A
F
BF长，然后相加，但题中又不具备足够的求线段BD、BF长的条件．再观察题目，已
知条件 似乎很少，但不要忘了圆本身就可以挖掘出很多条件，比如∠C=∠D，此时再加
上条件AC=AD，如 能再找到一对条件，就可以证明出某对三角形全等了．分析到这，
就想到连接AE、AF，可得∠E=∠ F，由此可得△ACE≌△ADF，所以DF=CE=CB+BE=9．
当然，问题不会总是一个模式 ，同学们在解题时，会碰到各种各样的情况，那就要
根据具体情况具体分析，但总体来说，可归纳为以上 几种类型．



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