记忆力衰退吃什么-山涧清且浅

三角形等高模型与鸟头模型
模型一 三角形等高模型

已经知道三角形面积的计算公式：
三角形面积

底

高
2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角 形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时
1
发生 变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来
3< br>的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化． 同
时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如图
S
1
:S
2
a:b

AB
S
1
a
S
2
b
CD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图
S
△ACD
S
△BC D
；
反之，如果
S
△ACD
S
△BCD
，则可 知直线
AB
平行于
CD
．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶
6个面积相等的三角形。
【解析】 ⑴ 如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：
A
A
F
A
G
BD
C
C

D
E
C

B
D
⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：
B

⑴⑵
⑶
⑷⑸
⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：


【例 2】 如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。
⑴ 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？
⑵ 求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
A


B
D
C

【解析】 因为三角形ABD、三角形ABC和三角形AD C在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A
点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形 的高相等。
于是：三角形ABD的面积
12
高
26
高
三角形ABC的面积
（124）
高
28
高
三角形ADC的面积
4
高
22
高
4
倍；
3
三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。
所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的

【例 3】 如右图，
A BFE
和
CDEF
都是矩形，
AB
的长是
4
厘米，
BC
的长是
3
厘米，那么图中阴影部分的面
积是 平方厘米。
A
E
D
B
F
C

【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形
ABCD
面积的一半，即
4326
(平 方厘米)。

【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是 50平方厘米，则阴影部分的面积
是 平方厘米。

【解析】 根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面 积也
等于平行四边形面积的一半，为
50225
平方厘米。

【巩固】如下图，长方形
AFEB
和长方形
FDCE
拼成了长方形
A BCD
，长方形
ABCD
的长是20，宽是12，则
它内部阴影部分的面积是 。
A
B
F
D
E
C
1
【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为
2012120
。
2

【例 4】 如图，长方形
ABCD
的面积是
56平方厘米，点
E
、
F
、
G
分别是长方形
ABC D
边上的中点，
H
为
AD
边上的任意一点，求阴影部分的面积。

A
E
B
H
D
G
A
E
B
H
D
G

【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。
连接
BH
、
CH
。
∵
AEEB
，
∴
S
△AEH
S
△BEH
．
同理，
S
△BFH
S
△CFH
，
S
VCGH
=S
VDGH
，
11
∴
S
阴影
S
长方形ABCD< br>5628
(平方厘米)．
22
F
C
F
C


【巩固】图中的
E
、
F
、
G
分别是正方形
ABCD
三条边的三等 分点，如果正方形的边长是
12
，那么阴影部
分的面积是 。
A
D
G
E
B
F
C
E
B
F
A
6
5
4
3
1
G
2
C
H
D

【解析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的
3
个边就都被分成了相等的三段。把
H
和这些分点以及正
方形的顶点相连，把整个正方 形分割成了
9
个形状各不相同的三角形。这
9
个三角形的底边分别是
在正方形的
3
个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。阴影部分被分割成了
3
个三角形，右
边三角形的面积和第
1
第
2
个三角形相等：中 间三角形的面积和第
3
第
4
个三角形相等；左边三角形

的面积和第
5
个第
6
个三角形相等。
因此这
3
个阴影三角形的面积分别是
ABH
、
BCH
和
CDH
的三分 之一，因此全部阴影的总面积就等
于正方形面积的三分之一。正方形的面积是
144
， 阴影部分的面积就是
48
。

【例 5】 长方形
ABCD
的面积为36
cm
2
，
E
、
F
、
G为各边中点，
H
为
AD
边上任意一点，问阴影部分面积
是多少？
A
HD
E
G

【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接
BH
、
HC
，如下图：
HD
A
F
B
C
E
G
B
111
S
AHB
、
S
FHB
S
CHB
、
S
DHG
S
DHC
，而
SABCD
S
AHB
S
CHB
S
CHD36

222
11
即
S
EHB< br>S
BHF
S
DHG
(S
AHB
SCHB
S
CHD
)3618
；
22
11111
而
S
EHB
S
BHF
S
DHG
S
阴影
S
EBF
，
S
EBF
BEBF(AB)(BC)364.5
。
22228
所以阴影部分的面积是：
S
阴影
18
S
EBF

18

4.5

13.5

可得：
S
EHB

解法二：特殊点法。找
H
的特殊点，把
H
点与
D
点重合，
那么图形就可变成右图：
A
D
(H)
F
C

E
G

这样阴影部分的面积就是
DEF
的面积，根据鸟头定理，则有：
1111111

S
阴影
S
ABCDS
AED
S
BEF
S
CFD
36 36363613.5
。
2222222

【例 6】 长方形
ABCD
的面积为36，
E
、
F
、
G
为各边中点，
H
为
AD
边上任意一点，问阴影部分面积是
多少？
F
C
B
A
HD
E
G
B
F
C

A
(H)
D
A
HD
EG
E
G
C

F

B
【解析】 （法1） 特殊点法。由于
H
为
AD
边上任意一点，找
H
的特殊点，把
H
点与
A
点重合（如左上图），
那么阴影部分的面积就是
 AEF
与
ADG
的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形
ABCD
1
11133
面积的和，所以阴影部分面积为长方形
ABCD
面积的

，为
3613.5
。
8488
8
4（法2）寻找可利用的条件，连接
BH
、
HC
，如右上图。
1 11
可得：
S
EHB
S
AHB
、
S
FHB
S
CHB
、
S
DHG
S
DHC
，而
S
ABCD
S
AHB
S
CHB
S
CHD
36
，
222
11
即
S
EHB
S
BHF
S
DHG
(S
AHBS
CHB
S
CHD
)3618
；
22
11111
而
S
EHB
S
BHF
S
DHG
S
阴影
S
EBF
，
S
EBF< br>BEBF(AB)(BC)364.5
。
22228
所以阴影部分的面积是：
S
阴影

18
S
EBF

18

4.5

13.5
。

【巩 固】在边长为6厘米的正方形
ABCD
内任取一点
P
，将正方形的一组对边二 等分，另一组对边三等分，
分别与
P
点连接,求阴影部分面积。
A
D
A
(P)D
A
D
B
F
C
PP
C C
BB

【解析】 （法1）特殊点法。由于
P
是 正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设
P
点与
A
点重合，则阴
11
影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部
46
11
分的面积为
6
2
()15
平方厘米。
46
（法2）连接
PA
、
PC
。
B
C< br>由于
PAD
与
PBC
的面积之和等于正方形
ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积
1
之和等于正方形
ABCD
面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形
ABCD
面
4
111
积的，所以阴影部分的面积为
6
2
()15
平方厘米 。
646

【例 7】 如右图，E在AD上，AD垂直BC，
AD12
厘米，
DE3
厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC
面积的几倍？
A
E
B
D
C

【解析】 因为AD 垂直于BC，所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED
是三角 形EBC的高，
于是：三角形ABC的面积
BC122BC6

三角形EBC的面积
BC32BC1.5

所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍．

【例 8】 如图，在平 行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与
V
BEC等积的三角 形一
共有哪几个三角形？
F
A
D
E
C

【解析】
V
AEC、
V
AFC、
V
ABF．

【巩固】如图，在
V
ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、 CE，那么与
V
ABE等积的三角形一共
有哪几个三角形？
A
B
E

【解析】 3个，
V
AEC
、
V
BED
、
V
DEC．

【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？
A
O
D
B
D
C

V
ABD与V
ACD，
V
ABC与
V
DBC，
V
ABO与
V
DCO． 【解析】

【例 9】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三 角形
ABC
的面积为1，其中
AE3AB
，
BD2BC
，三角形
BDE

的面积是多少？
A
B
C
DE
A
B
C
D
E
BC

【解析】 连接
CE
，∵
AE3AB
，∴
BE2AB
，
SVBCE
2S
VACB

又∵
BD2BC
，∴S
VBDE

2
S
VBCE

4
S< br>VABC

4
．

【例 10】 (2008年四中考题) 如右图，
ADDB
，
AEEFFC
，已知阴影部分面积为5平方厘米，
ABC
的面积是 平方厘米．
B
D
B
D
A
EF
C

A
EF
C

1
1
【解析】 连接< br>CD
．根据题意可知，
DEF
的面积为
DAC
面积的，
DAC
的面积为
ABC
面积的，所
2
3
111
以
DEF
的面积为
ABC
面积的

． 而
DEF
的面积为5平方厘米，所以
ABC
的面积为
2361
530
(平方厘米)．
6

【巩固】图中三角形
ABC
的面积是180平方厘米，
D
是
BC
的中点，
AD
的长是
AE
长的3倍，
EF
的长是
BF

长的3倍．那么三角形
AEF
的面积是多少平方厘米？
A
E
F
B
D
C

S
VABD
BD1

,
S
VABC
BC2
【解析】
VABD
，
VABC
等高，所以面积的比为底的比，有
11AE1
所以
S
VABD
=
S
VABC
18090
(平方厘米)．同理有
S
VABE
S
VABD
9030
(平方厘米)，
22AD 3
FE3
S
VAFE
S
VABE

302 2.5
(平方厘米)．即三角形
AEF
的面积是22.5平方厘米．
BE4

【巩固】如图，在长方形
ABCD
中，
Y
是
BD
的中点，
Z
是
DY
的中点，如果
AB24
厘米，
BC8
厘米，求
三角形
ZCY
的面积．
D
Z
A
Y
C
B
111
【解析】 ∵
Y
是
BD
的中点，
Z
是
DY
的中点，∴
ZYDB
，
S
VZCY
S
VDCB
，
2 24
111
又∵
ABCD
是长方形，∴
S
VZCY
S
VDCB
S
YABCD
24
(平方厘米)．
442

【巩固】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和 AD的中点．求三角形DEF的面积．
A
F
B
E

C
D

【解析】 三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半
24212
，
三角形ADE又是三角形ADC面积的一半
1226
．
三角形FED的 面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积
623
．

【巩固】如图，在三角形ABC中，
BC8
厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的 中点，那么三角形
EBF的面积是多少平方厘米？
A
E
B
F
C

【解析】 ∵
F
是
AC
的中点
∴
S
VABC

2
S
VABF

同理
S
VABF

2
S
VBEF

∴
S
VBEF
S
VABC

4

8< br>
6

2

4

6
(平方厘米)．

【例 11】 如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点．如果长 方形的面积是36
个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位．
G
GC
C
D
D
E
A
F
B
EF
A< br>B

【解析】 如右图分割后可得，
S
VEFG
S
矩形DEFC
2S
矩形ABCD
43649
（平方单位）．

【巩固】(97迎春杯决赛)如图，长方形
ABCD
的 面积是
1
，
M
是
AD
边的中点，
N
在AB
边上，且
2ANBN
.
那么，阴影部分的面积是多少？
A
N
B
C
M
D
A
N
B
C
M
D
【解析】 连接
BM
，因为
M
是中点所以
△A BM
的面积为
1
又因为
2ANBN
，所以
△BDC
的面积为
4
1111115

，又因为
△BDC
面积为
，所以阴影部分的面积为：
1
.
4312212212


【例 12】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48 平方厘米的四个小长方
形组合而成．求阴影部分的面积．
B
A
12cm2
36cm
2
12cm
2
M
36cm
2
N
48cm
2
24cm
2
48cm
2
【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则
AB
121241

，
C D
，
1236424483
11111
所以
MN< br>，阴影部分面积为
(12243648)5(cm
2
)
．
3412212

24cm
2
C
D


【例 13】 如图，三角形
ABC
中，
DC2BD
， 三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形
ABCCE3AE
，
的面积是多少？
A
E
B
D
C

【解析】 ∵
CE3AE
，∴
AC4AE
，
S
VADC
4SVADE
；
又∵
DC2BD
，∴
BC1.5DC
，
S
VABC

1.5
S
VADC

6< br>S
VADE

120
(平方厘米)．

【例 14】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形
ABC
中，已知三角形< br>ADE
、三角形
DCE
、
三角形
BCD
的面积分别是 89，28，26．那么三角形
DBE
的面积是 ．
B
D
A
E
【解析】 根据题意可知，
S
ADC

S
ADE
S
DCE
8928117
， C
所以
BD
:
ADS
BDC
:
S
ADC

26:117

2:9
，
那么
SDBE
:
S
ADE
BD
:
AD
2:9
，
2227
故
S
DBE
89(901)2 019
．
9999

【例 15】 (第四届《小数报》数学竞赛)如 图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分．三角形
BDC的面积比三角形ABD的面积大1 0平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，
它们的差是5分米．求梯形ABCD的面积 ．
A
A
D
D
h
B
C
E

【解析】 如右图，作AB的平行线DE．三角形BDE的面积与三角形ABD的面积相等，三角形DE C的面积就
B
C
是三角形BDC与三角形ABD的面积差(10平方分米)．从而，可 求出梯形高(三角形DEC的高)是：
21054
(分米)，梯形面积是：
15 4230
(平方分米)．

【例 16】 图中
V
AOB的 面积为
15cm
2
，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积．
A
O
B
C
D

【解析】 在
VABD中，因为
S
VAOB
15cm
2
，且
OB3OD< br>，所以有
S
VAOD
S
VAOB
35cm
2< br>．
因为
VABD
和
VACD
等底等高，所以有
S< br>VABD
S
VACD
．
从而
S
VOCD
15cm
2
，在
VBCD
中，
S
VBOC
3S
VOCD
45cm
2
，所以梯形面积：
15515458 0
．
（cm
2
）

【例 17】 如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．
D
A
B
C
D
A
A′
C

B

【解析】 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形， 二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可

以利用三角形等积变形的方法，如右上图 把顶点A移到CB的延长线上的A′处，
V
A′BD与
VABD
面
积相等，从而
V
A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地 改成了三角
形
V
A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作 一条和DB平行的直线与CB
的延长线交于A′点．
具体做法：⑴ 连接BD；
⑵ 过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．
⑶ 连接A′D，则
V
A′CD与四边形ABCD等积．

【例 18】 （第 三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形
面积的
15%
，黄色三角形面积是
21cm
2
．问：长方形的面积是多少平方厘米？
黄
红
绿
红

【解析】 黄色三角形与绿色三角形的底相等都 等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿
色三角形的面积和为长方形面积的
50%
，而绿色三角形面积占长方形面积的
15%
，所以黄色三角形
面积占长 方形面积的
50%15%35%
．
已知黄色三角形面积是
21cm2
，所以长方形面积等于
2135%60
（
cm
2
）．

【例 19】
O
是长方形
ABCD
内一点，已知
OBC
的面积是
5cm
2
，
OAB
的面积是< br>2cm
2
，求
OBD
的面
积是多少？
D
A
O
P
B
11
【解析】 由于
ABCD
是长方形，所以
S
AOD
S
BOC
S
AB CD
，而
S
ABD
S
ABCD
，所以
S
AOD
S
BOC
S
ABD
，
22
则< br>S
BOC
S
OAB
S
OBD
，所以
S
OBD
S
BOC
S
OAB
523cm
2
．

【例 20】 如右图，过平行四边形
ABCD
内 的一点
P
作边的平行线
EF
、
GH
，若
PBD< br>的面积为8平方
分米，求平行四边形
PHCF
的面积比平行四边形
PG AE
的面积大多少平方分米？
A
E
P
F
G
DE
A
P
F
G
D
C


【解析】 根据差不变原理，要求平行四边形
PHCF
的面积与平行四边形
P GAE
的面积差，相当于求平行四边
B
HC
B
HC

< br>形
BCFE
的面积与平行四边形
ABHG
的面积差．
如右上图，连接
CP
、
AP
．
1
由于
S
BCP
S
ADP
S
ABP
S
BDP
S
ADP
S
ABCD
，所以
S
BCPS
ABP
S
BDP
．
2
11
而S
BCP
S
BCFE
，
S
ABP
S< br>ABHG
，所以
S
BCFE
S
ABHG
2

S
BCP
S
ABP

2S
BDP< br>16
(平方分米)．
22

【例 21】
A
如 右图，正方形
ABCD
的面积是
20
，正三角形
BPC
的 面积是
15
，求阴影
BPD
的面积．
A
P
D
P
D
O
B
C

B
C

【解析】 连接
AC
交
BD
于O
点，并连接
PO
．如下图所示，
可得
PO DC
，所以
DPO
与
CPO
面积相等(同底等高)，所以有：
S
BPO
S
CPO
S
BPO
S
PDO
S
BPD
，
11
因为
S
BOC
S
ABCD
205
，所以
S
B PD
15510
．
44

【巩固】如右图，正方形
ABCD
的面积是
12
，正三角形
BPC
的面积是
5，求阴影
BPD
的面积．
A
A
P
D
P
D
O

【解析】 连 接
AC
交
BD
于
O
点，并连接
PO
．如右 上图所示，
可得
PODC
，所以
DPO
与CPO
面积相等(同底等高)，所以有:
S
BPO
S
 CPO
S
BPO
S
PDO
S
BPD
，
1
因为
S
BOC
S
ABCD
3
，所以
S
BPD
532
．
4

【例 22】 在长方形
ABCD
内部有一点
O
，形成等腰
AOB
的面积为16，等腰
DOC
的面积占长方形面积
的
18%
，那么阴影
AOC
的面积是多少？
B
C

B
C
D
O
C

【解析】 先算出长方形面积，再用 其一半减去
DOC
的面积(长方形面积的
18%
)，再减去
AO D
的面积，即
可求出
AOC
的面积．
AB
11
根据模型可知
S
COD
S
AOB
S
ABCD
，所以
S
ABCD
16（18%）50
，
22
又
AOD
与
BOC
的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所 以
AOD
的面积等于长方

形面积的
1
，
4
1
所以
S
AOC
S
ACD
S
 AOD
S
COD
S
ABCD
25%S
ABCD18%S
ABCD
2512.593.5
．
2

【例 23】 （2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形
ABCD
中，
E
、
F
分别是其两腰
AB
、
CD
的中点，
G
是
EF
上的任意一点，已知
ADG
的面积为
15cm
2
，而
BCG
的
7
面积恰 好是梯形
ABCD
面积的，则梯形
ABCD
的面积是
cm
2
．
20
A
D
F
A
DF
E
G
E
G
C
B

【解析】 如果可以求出
ABG
与
CDG
的面积之和与梯形ABCD
面积的比，那么就可以知道
ADG
的面积占
B
梯形< br>ABCD
面积的多少，从而可以求出梯形
ABCD
的面积．
如图，连 接
CE
、
DE
．则
S
AEG
S
DE G
，
S
BEG
S
CEG
，于是
S
 ABG
S
CDG
S
CDE
．
要求
CD E
与梯形
ABCD
的面积之比，可以把梯形
ABCD
绕
F< br>点旋转
180
，变成一个平行四边形．如
下图所示：
C
1
从中容易看出
CDE
的面积为梯形
ABCD
的面积的一半．(也可 以根据
S
BEC
S
ABC
，
2
1111S
AED
S
AFD
S
ADC
，
S< br>BEC
S
AED
S
ABC
S
ADC< br>S
ABCD
得来)
2222
173
那么，根据题意可知< br>ADG
的面积占梯形
ABCD
面积的
1
，所以梯形ABCD
的面积是

22020
3
15100cm
2
．
20
小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积 等于梯形面积的一半，
这是一个很有用的结论．本题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设< br>G
与
E
重合，则
CDE
的面积占梯形面积的一半，那么ADG
与
BCG
合起来占一半．

【例 24】 如图所 示，四边形
ABCD
与
AEGF
都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．

F
AB
G
D
E
C
F
AB
G
D
E
C

【解析】 本题主要是让学生了解并会 运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等
高的平行四边形面积的一半． < br>证明：连接
BE
．(我们通过
△ABE
把这两个看似无关的平行四边形 联系在一起．)

1
∵在平行四边形
ABCD
中，
S
△ABE
ABAB
边上的高，
2
1
∴
S
△ABE
S
WABCD
． < br>2
1
同理，
S
△ABE
S
YAEGF
，∴ 平行四边形
ABCD
与
AEGF
面积相等．
2

【巩固】如图所示，正方形
ABCD
的边长为
8
厘米，长方形
EBG F
的长
BG
为
10
厘米，那么长方形的宽为几厘米？
E< br>A
F
D
G
C
B
F
D
G
C< br>A
E
B

【解析】 本题主要是让学生会运用等底等 高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平
行四边形)．三角形面积等于与它等底 等高的平行四边形面积的一半．
证明：连接
AG
．(我们通过
△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起)．
1
∵在正方形
ABCD
中，< br>S
△ABG
ABAB
边上的高，
2
1
∴S
△ABG
S
WABCD
(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形 面积的一半)
2
1
同理，
S
△ABG
S
EFGB
．
2
∴正方形
ABCD
与长方形
EFGB
面积相等． 长方形的宽
88106.4
(厘米)．

【例 25】 如图，正 方形ABCD的边长为6，
AE
1.5，
CF
2．长方形EFGH的面积 为 ．
H
H
A
E
D
A
E
G
D
G
B
FC
B

FC

【解析】 连接DE
，
DF
，
则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．
三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
S
△DEF
661.5622624.54216.5
,所以长方形EFGH面积为33 ．

【例 26】 如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果
V
ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的
面积．
D
C
D
C
F
A
E
B
F

A
E
B

【解析】 连结AF、CE．
∴
S
VADE
S
VACE
；
S
VCDF
 S
VACF
；
又∵AC与EF平行，∴
S
VACE
S
VACF
．
∴
S
VADE
S
VCDF

4
(平方厘米)．

【巩固】如右图，在平行四边形
ABCD
中，直线
CF
交
AB
于
E
，交
DA
延长线于
F
，若
S
△ADE
1
，求
△BEF

的面积．
C< br>E
D
A
B
C
E
F
B
A
DF

【解析】 本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等(或夹在一组 平行线之间的三角形面积
相等)和等量代换的思想．连接
AC
．
∵
AB
∥
CD
，∴
S
△ADE
S
△ACE

同理
AD
∥
BC
，∴
S
△ACF
S△ABF

又
S
△ACF
S
△ACE
S< br>△AEF
，
S
△ABF
S
△BEF
S
△ AEF
，∴
S
△ACE
S
△BEF
，即
S△BEF
S
△ADE

1
．

【例 27】 图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．

【解析】
4428
．

【例 28】 如图， 有三个正方形的顶点
D
、
G
、
K
恰好在同一条直线上，其中 正方形
GFEB
的边长为10
厘米，求阴影部分的面积．
D
CG
Q
F
O
H
E
K
A
Q
DC
GF
O
H
E
K
P
P

【解析】 对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些 对角
线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．
如右图所示，连接FK
、
GE
、
BD
，则
BDGEFK
，根据几 何五大模型中的面积比例模型，可
得
S
DGE
S
BGE
，
S
KGE
S
FGE
，所以阴影部分的面积就等于正方形< br>GFEB
的面积，即为
10
2
100
平
方厘米．

【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是
4
厘米，求 三角形
ABC
的面积．
A
B
B

A
B
G
ED
F
4
C
A
B
G
F
4
EDC

【解析】 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条 件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接
AD
(见右上图)，可以看出，三角形< br>ABD
与三角形
ACD
的底都等于小正方形的边长，高都等于大正
方形 的边长，所以面积相等．因为三角形
AGD
是三角形
ABD
与三角形
ACD
的公共部分，所以去掉
这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG
与三角形
GCD
面积仍然相等．根
据等量代换，求三角形
ABC
的面积等于求三角形
BCD
的面积，等于
4428
．

【巩固】(2008年西城实验考题)如图，
ABCD
与
AEFG
均为正方形，三角形
ABH
的面积为6平方厘米，图
中阴影部分的面积为 ．
D
C
D
C
F
H
G
E
F
H
E
G
B
A

【解析】 如图，连接
A F
，比较
ABF
与
ADF
，由于
ABAD
，
FGFE
，即
ABF
与
ADF
的底与高分
A
B
别相等，所以
ABF
与
ADF
的面积相等，那么阴影 部分面积与
ABH
的面积相等，为6平方厘米．

【巩固】正方形ABC D和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？
D
D
A
A
G
H
E

B
C
【解析】 方法一：三角形BEF的面积
BEEF2
，
B
F
G
H
C
F
E

梯形EFDC 的面积
（EFCD）CE2BEEF2
三角形BEF的面积，
而四 边形CEFH是它们的公共部分，所以，三角形DHF的面积

三角形BCH的面积，
进而可得，阴影面积

三角形BDF的面积

三角形BCD的面积
1010250
(平方厘
米)．
方法二：连接CF，那么CF平行BD ，
所以，阴影面积

三角形BDF的面积

三角形BCD的面积
50
(平方厘米)．

【巩固】(人大附中考题)已知正方形
ABCD
边长为10，正方形
BEFG
边长为6，求阴影部分的面积．
A
F
G
J
D
A
F
G
I
J
D
I
B
E
CH

B
E
CH

【解析】 如果注意到
DF
为一个正方形的对角线(或者说一个等腰直 角三角形的斜边)，那么容易想到
DF
与
CI
是平行的．所以可以连接
CI
、
CF
，如上图．
由于
DF
与
CI
平行，所以
DFI
的面积与
DFC
的面积相等．而
DFC< br>的面积为
104
以
DFI
的面积也为20．

【例 29】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，
ABCD
和
CGEF
是两个正方形，
AG
和
CF
相交于
H
，已知
CH
等于
CF
的三分之一，三角形
CHG
的面积等于6平方厘米， 求五边形
ABGEF
的面积．
1
20
，所
2
F EFE
A
D
H
A
D
H
G

BG

B
CC
【解析】 连接
AC
、< br>GF
，由于
AC
与
GF
平行，可知四边形
ACGF< br>构成一个梯形．
由于
HCG
面积为6平方厘米，且
CH
等 于
CF
的三分之一，所以
CH
等于
FH
的
1
，根据梯形蝴蝶
2
定理或相似三角形性质，可知
FHG
的面积为12平方 厘米，
AHF
的面积为6平方厘米，
AHC
的
面积为3平方厘米 ．
那么正方形
CGEF
的面积为

612

 236
平方厘米，所以其边长为6厘米．
又
AFC
的面积为
6 39
平方厘米，所以
AD9263
(厘米)，即正方形
ABCD
的边长为3厘
1
米．那么，五边形
ABGEF
的面积为：
3 693
2
49.5
(平方厘米)．
2

【例 30】 (第八届小数报数学竞赛决赛试题)如下图，
E
、
F
分别是梯形ABCD
的下底
BC
和腰
CD
上的
点，
DF FC
，并且甲、乙、丙
3
个三角形面积相等．已知梯形
ABCD
的面 积是
32
平方厘米．求图
中阴影部分的面积．
A
乙
D
F
甲
B
E
丙
C

【解析】 因为乙、丙两个三角形面积相等，底
DFFC
．所以
A
到
CD
的距离与
E
到
CD
的距离相等，即
AE1
与
CD
平行，四边形
ADCE
是平行四边形，阴影部分的面积

平行四边形
ADCE
的面积的，所以
2
阴影部分的面积< br>
乙的面积
2
．设甲、乙、丙的面积分别为
1
份，则阴影面 积为
2
份，梯形的面积
为
5
份，从而阴影部分的面积
32 5212.8
(平方厘米)．

【例 31】 如图，已知长方形
A DEF
的面积
16
，三角形
ADB
的面积是
3
，三 角形
ACF
的面积是
4
，那么
三角形
ABC
的面积 是多少？

A
F
C
A
F
C
A
F
C
D
B
E

D
B
E
D

B
E

【解析】 方法一：连接对角线
AE
．
∵
ADEF
是长方形
1
∴
S
ADE
S
AEF
S
XADEF
2
DB
S
ADB
3FC
S
ACF
1
∴

，


DES
ADE
8EFSAEF
2
BEDEDB5CEFECF1
∴

，


DEDE8EFEF2
1515
∴
S
BEC16

2822
13
∴
S
ABC
S
XADEF
S
ADB
S
ACF
S
 CBE

．
2
方法二：连接
BF
，由图知
S△ABF

16

2

8
，所以
S< br>△BEF

16

8

3

5，又由
S
△ACF

4
，恰好是
△AEF
面积 的一半，所以
C
是
EF
的中点，因此
S
△BCE
 S
△BCF
522.5
，所以
S
△ABC
163 42.56.5


【例 32】 如图，在平行四边形
ABCD中，
BEEC
，
CF2FD
．求阴影面积与空白面积的比．
A
H
F
G
B
E
C
D
11
【解析 】 方法一：因为
BEEC
，
CF2FD
，所以
S
△A BE
S
四边形ABCD
，
S
△ADF
S
四边形 ABCD
．
46
因为
AD2BE
，所以
AG2GE
，
1 121
所以
S
△BGE
S
△ABE
S
四边形A BCD
，
S
△ABG
S
△ABE
S
四边形AB CD
．
31236
11
同理可得，
S
△ADH
 S
四边形ABCD
，
S
△DHF
S
四边形ABCD
．
824
1111112
因为
S
△BCD
S
四边形ABCD
，所以空白部分的面积
()S
四边形ABCD
S
四边形ABCD
，
221224683
1
所以阴影部分的面积是< br>S
四边形ABCD
．
3
12
:1:2
，所以阴影 面积与空白面积的比是
1:2
．
33

【例 33】 (第七届” 小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形
ABC
中，
D
是
AB
边的中点，
E
是
AC
边上的一点，且
AE3EC，
O
为
DC
与
BE
的交点．若
CEO
的面积为
a
平方厘米，
BDO
的
面积为
b
平方 厘米．且
ba
是
2.5
平方厘米，那么三角形
ABC
的面 积是 平方厘米．

A
D
b
BO
a
E
C
1111
【解析】
S
ABCS
BCD
bS
BCO
，
S
ABC
S
BCE
aS
BCO
，所以
S
ABC
S
ABC
ba2.5
(平方厘
2424
米)．所以
S
ABC

2.5

4

10
(平方 厘米)．

【例 34】 如图，在梯形
ABCD
中，
AD:BE 4:3
，
BE:EC2:3
，且
BOE
的面积比
A OD
的面积小10
平方厘米．梯形
ABCD
的面积是 平方厘米．
A
D

O
B
EC
【解析】 根据题意 可知
AD:BE:EC8:6:9
，则
S
ABD
8
3< br>
，
S
ABE
S
ABD
，
S
ABE
6
4
1
而
S
ABD
S
A BE
S
AOD
S
BOE

10
平方厘米， 所以
S
ABD
10
，则
S
ABD
40< br>平方厘米．
4
S
9615
15
又
BCD

，所以
S
BCD
4075
平方厘米．
S
ABD
88
8

所以
S
梯形ABCD
S
ABD
S
BCD

40

75

115
(平方厘米)．

【巩固】(第五届《小数报》数学竞赛 初赛)如图，
BD
是梯形
ABCD
的一条对角线，线段
AE
与
DC
平行，
AE

2
与
BD
相交于O
点．已知三角形
BOE
的面积比三角形
AOD
的面积大
4
平方米，并且
ECBC
．求
5
梯形
ABCD
的面积．
A
O
D
A
O
D

【解析】 连接
AC
．根据差不变原理可知三角形
ABE
的面积比三 角形
ABD
大4平方米，而三角形
ABD
与三
角形
ACD< br>面积相等，因此也与三角形
ACE
面积相等，从而三角形
ABE
的面积 比三角形
ACE
的大4
平方米．
222
但
ECBC
，所以三角形
ACE
的面积是三角形
ABE
的

，从而三角形
ABE
的面积是
5523

2
 
2

4

1

12
(平方米)， 梯形
ABCD
的面积为：
12

12

2 8
(平方米)．

3

3


【例 35】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是
13
，
3 5
，
49
．那么图中
阴影部分的面积是多少？
B
E
C
B
E
C

A
49
35
D
E
B
13

【解析】 三角形
ABC
的面积
三角形
CDE
的面积
(133549)
长方形面积
< br>阴影部分面积；又因为三角
1
形
ABC
的面积

三角 形
CDE
的面积

长方形面积，所以可得：
2
阴影部分面积
13354997
．

【例 36】 图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边
上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？
C

【解析】 如下图，为了方便说明，将某些点标上字母．
C
E
8
A
D
5
5
B


有
ABC
为直角，而
CEDABC
，所以
CED
也为直角.而
CECB5
.
VADE
与
VC ED
同高，
SV
AE13-5
8
所以面积比为底的比，及
A DE
===，设
VADE
的面积为“8”，则
VCED
的面积为SV
EC5
5
CED
“5”．所以有
VVCED
是由< br>VCDB
折叠而成，
CED
、
VCDB
面积相等，
V ABC
是由
VADE
、
VCED
、
VCDB
15
组成，所以
SV
=“8”+“5”+“5”=“18”对应为，所以“1”份对 应为
，那么
51230
ABC
2
3
511
△ ADE的面积为
8
=
13
平方厘米．即阴影部分的面积为
13平方厘米．
333

【例 37】 如图，长方形
ABCD
的 面积是2平方厘米，
EC2DE
，
F
是
DG
的中点．阴影 部分的面积是
多少平方厘米？
A
F
B
G
D
E
C

【解析】 如 下图，连接
FC
，
VDBF
、
VBFG
的面积相等，设为< br>x
平方厘米;
VFGC
、
VDFC
的面积相等，设为
1
y
平方厘米，那么
VDEF
的面积为
y
平方厘米． 3
A
D
x
F
y
E
C
B
xG
y


xy0.5①
111

SV
，．所以有
．比较②、①式，②式左边比①

2
x< br>2
y
1
SV=x+y=l

BCD
BDE3xy1②
333

式左边多
2x
，②式右边比①式右边大 0.5，有
2x0.5
，即
x0.25
,
y0.25
．而阴影部分面积为
255
yy0.25
平方厘米．
3312

【例 38】 (2007年六年级希望杯二试试题)如图，三角形田地中 有两条小路
AE
和
CF
，交叉处为
D
，张大
伯常走 这两条小路，他知道
DFDC
,且
AD2DE
．则两块地
ACF
和
CFB
的面积比是_________．
C
E
D
F
B
C
E
D
F
AA
B
C
ED
G
A
B
F


【解析】 方法一：连接
BD
．
设
△CED
的面积为1，
△BED
的面积
x
，则根据题上说给出的条件，由
DFDC
得
S< br>△BDC
S
△BDF
，
即
△BDF
的面积为x1
、
S
△ADC
S
△ADF
;
又有< br>AD2DE
，
S
△ADC
S
△ADF

2
S
△CDE

2
、
S
△ABD

2
S
△BDE

2
x
，而
S
△ABD< br>x
1

2

2
x
；
得
x3
，所以
S
△ACF
:
S
△CFB

(2

2):(1

3

4)

1:2
．

x1y
方法二：连接
BD
，设
S
△CED

1
(份)，则
S
△ACD
S
△AD F

2
,设
S
△BED
xS
△BFD
 y
则有

，
2xy2


x3
解得

，所以
S
△ACF
:
S
△CFB
(2

2):(4

3

1)

1: 2

y4

方法三：过
F
点作
FG
∥< br>BC
交
AE
于
G
点，由相似得
CD:DFED:D G1:1
,又因为
AD2DE
，所
以
AG:GEAF:FB 1:2
，所以两块田地ACF和CFB的面积比
AF:FB1:2


【例 39】 (
2008
年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级
2试)如图，
BC45
，
AC21
，
ABC
被分< br>成
9
个面积相等的小三角形，那么
DIFK
．
B
D
E
G
A
H
J
K
C
I
F

【解析】 由题意可知，
BD:BCS
BAD
:S
ABC
2:9
，所以
BD
DI:DCS
DIF< br>:S
DFC
2:5
，所以
DI
2
BC10< br>，
CDBCBD35
；又
9
2
DC14
，同 样分析可得
FK10
，所以
5
DIFK141024
．

【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角
MON
的两边上分 别有
A
、
C
、
E
及
B
、
D
、
F
六个点，
并且
OAB
、
ABC
、
BCD
、
CDE
、
DEF
的面积都等于1，则
D CF
的面积等于 ．
N
F
D
B
O
AC
E
M

1113
【解析】 根据题意可知，
OD:DFS
OED
:S
DEF
4:1
，所以
DFOD
，
SDCF
S
OCD
3
．
4444

【例 40】
E
、
M
分别为直角梯形
ABCD
两 边上的点，且
DQ
、
CP
、
ME
彼此平行，若
AD 5
，
BC7
，
AE5
，
EB3
．求阴影部 分的面积．
A
Q
E
B
P
D
M
A
Q
E
C

D
M
B
P
C

【解析】 连接
CE
、
DE
．
由于
DQ
、
CP、
ME
彼此平行，所以四边形
CDQP
是梯形，且
ME
与该梯形的两个底平行，那么三
角形
QME
与
DEM
、三角形
PME
与
CEM
的面积分别相等，所以三角形
PQM
的面积与三角 形
CDE
的面积相等．而三角形
CDE
的面积根据已知条件很容易求出来．
由于
ABCD
为直角梯形，且
AD5
，
BC7
，
AE5
，
EB3
，所以三角形
CDE
的面积的面积为 ：
111

57



53

553725
．所以三角形
PQM
的面积为25．
222

【例 41】 (2007年人大附中分班考试题)已知
ABC为等边三角形，面积为400，
D
、
E
、
F
分别为三边
的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形
HBC
)
A
甲
乙
I
J
M
B
N
H
丙
E
D
F

【解析】 因为
D
、
E、
F
分别为三边的中点，所以
DE
、
DF
、
E F
是三角形
ABC
的中位线，也就与对应的
边平行，根据面积比例模型，三角 形
ABN
和三角形
AMC
的面积都等于三角形
ABC
的一半 ，即为200．
根据图形的容斥关系，有
S
ABC
S
丙
S
ABN
S
AMC
S
AMHN
，即
4 00
S
丙

200

200
S
AM HN
，所以
S
丙
S
AMHN
．
C
1< br>又
S
阴影
S
ADF
S
甲
S
乙
S
AMHN
，所以
S
阴影
S
甲
S
乙
S
丙
S
ADF
14340043
．
4

【例 42】 (2009年四中入学测试题)如图，已知
CD5
，
DE7
，
EF15
，
FG6
，线段
AB
将图形分
成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形
A DG
的面积是 ．
A
A
C
D
B
E
F
G
C
D
B
EF
G

【解析】 连接
AF
，
BD
．
根据题意可 知，
CF571527
；
DG715628
；
1 512217
所以，
S
BEF
S
CBF
，
S
BEC
S
CBF
，
S
AEG
S
ADG
，
S
AED
S
ADG
，
2727 2828
2115712
于是：
S
ADG
S
CBF< br>65
；
S
ADG
S
CBF
38
；
28272827
可得
S
ADG

40
．故三角 形
ADG
的面积是40．

【巩固】(第四届希望杯)如图，点
D
、
E
、
F
在线段
CG
上，已知
CD2< br>厘米，
DE8
厘米，
EF20
厘米，
下边部分面积是67
平方厘米，上边部分面积是
166
平
FG4
厘米，
AB
将整个图形分成上下两部分，
方厘米，则三角形
ADG
的面积是多少平 方厘米？
G
G
F
F
A
E
B
A
E
B

【解析】 连接
AF
设
△AFG
的面积是x
,由于
FE∶FG∶ED20∶∶485∶1∶2
所以
△AFE< br>的面积是
5x
、
D
C
D
C
△AED
的面积是
2x
由于上半部分的面积是
166
平方厘米所以
△FEB< br>的面积是
(
1665xx1666x
)平方厘米，因为下半部分的面积 是
67
平方厘米所以
△EBC
的面积是
(
672x
)平方厘米，因为
FE
是
EC
的2倍所以可以列方程为：
166 6x2
(
672x
)解得
x16
，
△ADG
的面积为
x5x2x8x816128
平方厘米.

【例 43】 (2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10，四边形
EFGH
的面积为5，那 么阴影部分的面积
是 ．
A
H
E
G
DA
M
H
E
N
D
G

【解析】 如图所示，设
AD
上的两个点分别为
M
、
N．连接
CN
．
根据面积比例模型，
CMF
与
CN F
的面积是相等的，那么
CMF
与
BNF
的面积之和，等于CNF
与
BNF
的面积之和，即等于
BCN
的面积．而< br>BCN
的面积为正方形
ABCD
面积的一半，为
1
102
50
．
2
又
CMF
与
BNF的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形
EFGH
的面积，所以阴影
部分的面积为：
505240
．
B
F
C
B
F
C

【巩固】如图，正方形的 边长为12，阴影部分的面积为60，那么四边形
EFGH
的面积是 ．

A
H
E
G
D
A
M
H
E
N
D
G

【解析】 如图所示，设
AD上的两个点分别为
M
、
N
．连接
CN
．
根据 面积比例模型，
CMF
与
CNF
的面积是相等的，那么
CMF
与
BNF
的面积之和，等于
CNF
与
BNF
的面积之和，即等于
BCN
的面积．而
BCN
的面积为正方形
A BCD
面积的一半，为
1
12
2
72
．
2< br>又
CMF
与
BNF
的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个 四边形
EFGH
的面积，所以四边
形
EFGH
的面积为：

7260

26
．

【例 44】 (2008年 走美六年级初赛)如图所示，长方形
ABCD
内的阴影部分的面积之和为70，
AB 8
，
AD15
，四边形
EFGO
的面积为 ． < br>B
F
C
B
F
C
A
D
O
E< br>B
F
G
C

【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角 形
AOE
、
DOG
和四边形
EFGO
的面积之和，以及三角 形
AOE
和
DOG
的面积之和，进而求出四边形
EFGO
的 面积．
由于长方形
ABCD
的面积为
158120
，所以三角 形
BOC
的面积为
120
1
所以三角形
AOE
和
30
，
4
3
DOG
的面积之和为
12070 20
；
4

11

又三角形
AOE
、
DOG
和四边形
EFGO
的面积之和为
120



30
，所以四边形
EFGO
的面积

24< br>
为
302010
．
另解：从整体上来看，四边形
EF GO
的面积

三角形
AFC
面积

三角形
BFD
面积

白色部分的面积，
而三角形
AFC
面积

三角形
BFD
面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面< br>积减去阴影部分的面积，即
1207050
，所以四边形的面积为
605 010
．

【巩固】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形
AB CD
的面积为24平方厘米．三角形
ADM
与三角形
BCN

的面积之和为
7.8
平方厘米，则四边形
PMON
的面积是 平方厘米．
D
M
O
A
P
N
C

【解析】 因为三角形
ADO
与三角形
BCO
的面积之和是矩形ABCD
的面积的一半，即12平方厘米，又三角形
B

则三角形< br>AMO
与三角形
BNO
的面积之和是
4.2
平
ADM
与三角形
BCN
的面积之和为
7.8
平方厘米，
方厘米，则 四边形
PMON
的面积

三角形
ABP
面积
三角形
AMO
与三角形
BNO
的面积之和

三角
形
ABO
面积
124.261.8
(平方厘米)．
< br>【巩固】如图所示，矩形
ABCD
的面积为36平方厘米，四边形
PMON的面积是3平方厘米，则阴影部分的
面积是 平方厘米．
D
M
O
A
P
N
C

【解析】 因 为三角形
ABP
面积为矩形
ABCD
的面积的一半，即18平方厘米，三角形
ABO
面积为矩形
ABCD
1
的面积的，即9平方厘米，又四边形< br>PMON
的面积为3平方厘米，所以三角形
AMO
与三角形
BNO4
的面积之和是
18936
平方厘米．
又三角形
ADO
与三角形
BCO
的面积之和是矩形
ABCD
的面积的一半，即18平 方厘米，所以阴影部
分面积为
18612
(平方厘米)．

【 巩固】(2008年清华附中考题)如图，长方形
ABCD
的面积是36，
E
是
AD
的三等分点，
AE2ED
，则阴
影部分的面积为 ．
B
A
O
E
D
A
M
O
B
E
N
D
B
C

【解析】 如图，连接
OE
．
C

11
根据蝴蝶定理，
ON :NDS
COE
:S
CDE
S
CAE
:S
CDE
1:1
，所以
S
OEN
S
OED
；
22
11
OM:MAS
BOE
:S
BAES
BDE
:S
BAE
1:4
，所以
S
OEM
S
OEA
．
25
1111
又
SOED
S
矩形ABCD
3
，
S
OEA

2
S
OED

6
，所以阴影部分面积为：
3 62.7
．
3425

【例 45】 (清华附中分班考试题)如 图，如果长方形
ABCD
的面积是
56
平方厘米，那么四边形
MNP Q
的面
积是多少平方厘米？
D
2
M
Q
3
C
5
P
A
N6
B
D
2
M
3
P
3
5
Q
3
C
AB
N6

【解析】 如图，过
M
、
N
、
P
、
Q分别作长方形
ABCD
的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长
为3
厘米，面积等于
9
平方厘米．设
MQD
、
NAM
、
PBN
、
QCP
的面积之和为
S
，四边形< br>MNPQ

xS56
的面积等于
x
，则

，解得
x32.5
(平方厘米)．

xS9

【例 46】 (2008年日本第12届小 学算术奥林匹克大赛初赛)如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为
10cm
的正方形，则阴 影部分四边形的面积是
cm
2
．
D
H
4 cm
G
C
N
M
F
B
P
Q

【解析】 如图所示，分别过阴影四边形
EFGH
的四个顶点作正方形各边的平行线， 相交得长方形
MNPQ
，易
知长方形
MNPQ
的面积为
4 14
平方厘米．
从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于
AENH
、
BFME
、
CGQF
、
DHPG
四个长方形的面积之和，等于正方形
ABCD
的面积加上长方形
MNPQ
的面积，为
10104104
平
方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为104252
平方厘米，那么阴影四边形
EFGH
的面积为
1cm< br>A
E
1005248
平方厘米．

【巩固】如图，阴影 部分四边形的外接图形是边长为
12
厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方
厘米？
D
H
4cm
G
C
N
M
F
P
Q
AB
E

【解析】 如图所示，分别过阴影四边 形
EFGH
的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形
MNPQ
，易< br>2cm
知长方形
MNPQ
的面积为
428
平方厘米． < br>从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于
AENH
、
B FME
、
CGQF
、
DHPG

四个长方形的面积之和，等 于正方形
ABCD
的面积加上长方形
MNPQ
的面积，为
1212 8152
平
方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为
152276
平方厘米，那么阴影四边形
EFGH
的面积为
1447668
平方厘米．

【巩固】已知正方形的边长为10，
EC3
，
BF2
，则
S
四边形ABCD

．
A
B
D
F
D
A
MN
B
F

【解析】 如图，作
BMAE
于
M
，
CNBM
于
N
．
E
C
E
C

则四边形
A BCD
分为4个直角三角形和中间的一个长方形，其中的4个直角三角形分别与四边形
ABCD
周围的4个三角形相等，所以它们的面积和相等，而中间的小长方形的面积为
326
，所以

S
四边形ABCD


【例 47】
101032
3253
．
2
如图，三角形
A EF
的面积是
17
，
DE
、
BF
的长度分别为11 、3．求长方形
ABCD
的面积．
A
B
F
A
H
G
M
B
F


【解析】 如图，过
F
作
FH
∥
AB
， 过
E
作
EG
∥
AD
，
FH
、
EG
交于
M
，连接
AM
．
则
S
矩形ABCD
S
矩形AGMH
S
矩形GBFM
S
矩形MFCES
矩形HMED

AGAH2S
AMF
2S
EMF
2S
AME

DEBF2S
AEF

D
E
C
D
E
C
11321767

另解：设三角形
ADE
、
CEF
、
ABF
的面 积之和为
s
，则正方形
ABCD
的面积为
s17
． 从图中可以看出，三角形
ADE
、
CEF
、
ABF
的面 积之和的2倍，等于正方形
ABCD
的面积与长方
形
AGMH
的面积 之和，即
2s

s17

113
，得
s 50
，所以正方形
ABCD
的面积为
501767
．

【例 48】 (2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛)如图，长方形
ABC D
中，
AB67
，
BC30
．
E
、
F
分别是
AB、BC
边上的两点，
BEBF49
．那么，三角形< br>DEF
面积的最小值
是 ．
D
C
F
D
N
M
O
E
C
F
A
E
B

AB

【解析】 由于长方形
ABCD
的面积是一定的，要使三角形
DEF
面积最小，就必须使
ADE
、
BEF
、
CDF
的面积之和最大．
由于
ADE
、
BEF
、< br>CDF
都是直角三角形，可以分别过
E
、
F
作
AD
、
CD
的平行线，可构成三
个矩形
ADME
、
CD NF
和
BEOF
，如图所示．
容易知道这三个矩形的面积之和等于
ADE
、
BEF
、
CDF
的面积之和的2倍，而这三个矩形的 面
积之和又等于长方形
ABCD
的面积加上长方形
MDNO
的面积． 所以为使
ADE
、
BEF
、
CDF
的
面积之 和最大，只需使长方形
MDNO
的面积最大．
长方形
MDNO
的面 积等于其长与宽的积，而其长
DMAE
，宽
DNCF
，由题知
A ECF

ABBC



BEBF
67304948
，根据”两个数的和一定，差越小，积越大”，
所以当
AE
与
CF
的差为0，即
AE
与
CF
相等时它们的 积最大，此时长方形
MDNO
的面积也最大，所
以此时三角形
DEF
面积最小．
当
AE
与
CF
相等时，
AECF482 24
，此时三角形
DEF
的面积为：
1
6730
< br>67302424

2717
．(也可根据
6730

67243024436

717
得到三角
2
形
DEF
的面积)

【例 49】 (2007首届全国资优生 思维能力测试)
ABCD
是边长为12的正方形，如图所示，
P
是内部任意< /p>

一点，
BLDM4
、
BKDN5
，那么阴影部 分的面积是 ．
A
P
N
L
B
A
( P)
L
B
A
P
N
L
B
K
N
K
K
DC
DC
M
M

【解析】 （法1）特殊点法．由于
P
是内部任意一点，不妨设
P
点与
A
点重合(如上中图)，那么阴影部分就是
D
M
C
AMN
和
ALK
．而
AMN
的面积为
(125)4214
，< br>ALK
的面积为
(124)5220
，所以
阴影部分的面积 为
142034
．
（法2）寻找可以利用的条件，连接
AP
、
BP
、
CP
、
DP
可得右上图所示：
11
则有:
S
PDC
S
PABS
ABCD
12
2
72

22
同理可得：
S
PAD
S
PBC
72
;
1
而
S
PDM
:S
PDC
 DM:DC4:121:3
,即
S
PDM
S
PDC
；
3
155
同理：
S
PBL
S< br>PAB
,
S
PND
S
PDA
,
S< br>PBK
S
PBC
;
31212
15
所以：
(S
PDM
S
PBL
)(S
PND
S
PBK
)(S
PDC
S
PAB
)(S< br>PDA
S
PBC
)

312
而
(S
PDM
S
PBL
)(S
PND
 S
PBK
)(S
PNM
S
PLK
)(S
DNM
S
BLK
)
；
1442443
阴影面积
1

S
DNM
S
BLK
4510
；
2
所以阴影部分的面积是：
15
S
PNMS
PLK
(S
PDC
S
PAB
)(S< br>PDA
S
PBC
)(S
DNM
S
BL K
)

312
15
即为：
727210224302034
．
312

【例
50
】 如图所示，在四边形
ABCD
中，
E
，
F
，
G
，
H
分别是
ABCD
各边的中 点，求阴影部分与四
边形
PQRS
的面积之比．

D
HA
P
E
S
R
B
F
G
Q
ES
R
C
B
F
A
P
G
Q
HD

【解析】 (法1)设
S
AED
S
1
，
S
BGC
S
2
，
S
ABF
S
3
，
S
DHC
S
4
．
111 1
连接
BD
知
S
1
S
ABD
，
S
1
S
ABD
，
S
1
S
ABD
，
S
2
S
BCD
；
2222
11< br>所以
S
1
S
2


S
ABD< br>S
BCD

S
ABCD
；
22
1< br>同理
S
3
S
4
S
ABCD
．于是
S
1
S
2
S
3
S
4
S
ABCD
；
2
C

注意到这四个三角形重合的部 分是四块阴影小三角形，没算的部分是四边形
PQRS
；因此四块阴影
的面积和就等于 四边形
PQRS
的面积．
(法2)特殊值法(只用于填空题、选择题)，将四边形画成正方形，很容易得到结果．
< br>【巩固】(2008年”希望杯”二试六年级)如图，
E
、
F
、
G
、
H
分别是四边形
ABCD
各边的中点，
FG
与
FH
交于点
O
，
S
1
、
S
2< br>、
S
3
及
S
4
分别表示四个小四边形的面积．试比较
S
1
S
3
与
S
2
S
4
的大小．
D
G
C
S
4
S
3
B
D
F
G
C
S
4
S
3
B
F
S
1
H
O
S
2
A
E
S
1
H
O
S
2
A
E

【解析】 如右图，连接
AO
、
BO
、
CO
、
DO
，则可判断出， 每条边与
O
点所构成的三角形都被分为面积相
等的两部分，且每个三角形中的两部分都 分属于
S
1
S
3
、
S
2
S
4
这两个不同的组合，所以可知
S
1
S
3
S
2< br>S
4
．

【例 51】 如图，四边形
ABCD
中，
DE:EF:FC3:2:1
，
BG:GH:AH3:2:1
，AD:BC1:2
，已知
四边形
ABCD
的面积等于4，则四边形EFHG
的面积

．

E
D
F
C
D
E
F
C
A

【解析】 运用三角形面积与底和高的关系解题．
H
GB
A
H
GB

连接
AC
、< br>AE
、
GC
、
GE
，因为
DE:EF:FC3:2 :1
，
BG:GH:AH3:2:1
，所以，
1
在
A BC
中，
S
BCG
S
ABC
，
2
1
在
ACD
中，
S
AED
S
ACD
，
2
1
在
AEG
中，
S
AEH
 S
HEG
，
2
1
在
CEG
中，
S< br>CFG
S
EFG
．
2
1111
因为
S
BCG
S
AED
S
ABC
S
AC D


S
ABC
S
ACD

S< br>ABCD
2S
BCG
，
2222
所以
S
AGCE
S
ABCD


S
BCG
SAED


4

2

2
．
11
又因为
S
AGCE
S
AEH
S
HE G
S
CFG
S
EFG
S
HEG
S< br>HEG
S
EFG
S
EFG

22
33


S
HEG
S
EFG

S
EFGH
，
22
34
所以
S
EFGH
2
．
23

【拓展】如图，对于任意四边形
ABCD
，通过各边三等分点 的相应连线，得到中间四边形
EFGH
，求四边形
EFGH
的面积是四边形< br>ABCD
的几分之几？

A
J
M
E
N
F
B
K
H
D
O
G
P
C

【解析】 分层次来考虑：
22
⑴如下左图，
S
BMD
 S
ABD

，
S
BPD
S
CBD
，
33
22
所以
S
MBPD
(S
ABD< br>S
CBD
)S
ABCD

．
33
又 因为
S
DOM
S
POM
，
S
MNP
S
BNP
，
1
所以
S
MNPO
S
MBPD
；
2< br>121
S
MNPO
S
ABCD
S
ABCD
．
233
B
N
M
A
A
K
FE
J
J
H
D
O
G
P
C
DM
E
N
F
B
K
H
O
G
PC

12
⑵如右上图，已知
MJBD
，
OK BD
；所以
MJ:BD1:2
；
33
所以
ME:EO1:2
，即
E
是三等分点；

同理，可知
F
、
G
、
H
都是三等分点；
1111
所以再次应用⑴的结论，可知，
S
EFGH
S
MNPO
S
ABCD
S
ABCD
．
3339

【例 52】 (2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形
ABC
，在边
AB
、
BC
、
CA
的正中间 分
别取点
L
、
M
、
N
，在边
AL
、
BM
、
CN
上分别取点
P
、
Q
、
R
，使
LPMQNR
，当
PM
和
RL
、PM
和
QN
、
QN
和
RL
的相交点分别是X
、
Y
、
Z
时，使
XYXL
．
这 时，三角形
XYZ
的面积是三角形
ABC
的面积的几分之几？请写出思考过程 ．
A
P
L
X
B
Q
Y
M
Z
N
R
C

【解析】 连接
LN
、
NM
、
ML
，显然，
△LMN
是正三角形将
△LMN
放大至如图⑵ ．

A
P
L
X
B
Q
M
Z< br>Y
N
R
C
L
X
Y
Z
R
N< br>
图⑴ 图⑵
M

连
MZ
，由对称性知，
YMYZYXZN
．因此，
S
△XYZ
S
△MYZ
S
△MNZ< br>．
同理，
S
△MNY
S
△LMX
S
△ NLZ

2
S
△XYZ
．
1111
所以，
S
△XYZ
S
△MNL
S
△ABC
S
△ ABC
．
617428

【例 53】
2
，其中F
是
BC
边上任意一点，三角形
AME
、三
3
角形
BMF
、三角形
NFC
的面积分别为
14
、
2 0
、
12
．求三角形
NDE
的面积．
如图：已知在梯形< br>ABCD
中，上底是下底的
A
B
A
B
M
E< br>F
N
D
C
D
E
M
F
N
C< br>h

【解析】 如图，设上底为
2a
，下底为
3a< br>，三角形
ABE
与三角形
ABF
的高相差为
h
． < br>1
由于
S
ABF
S
ABE
S
BM F
S
AME

20

14

6
，所以
2ah6
．即
ah6
．
2
11
又
S
CDE
S
CDF
S
DEN
S
CFN
3ah369
，所以
S
DEN
129 21
．
22

【例 54】 如图，已知
ABCD
是梯 形，
AD
∥
BC
，
AD:BC1:2
，
S
AOF
:S
DOE
1:3
，
S
BEF
 24cm
2
，求
AOF
的面积．
A
F
O
E
B
C
B
D
F
h
A
O
E
D
C

【解析】 本题是09年
EMC
六年级试题，初看 之下，
ABCD
是梯形这个条件似乎可以用到梯形蝴蝶定理，四
边形
ADEF
内似乎也可以用到蝴蝶定理，然而经过试验可以发现这几个模型在这里都用不上，因为
E
、
F
这两个点的位置不明确．再看题目中的条件，
S
AOF
:S
DOE
1:3
，
S
BEF
24cm
2，这两个条
件中的前一个可以根据差不变原理转化成
ADE
与
ADF
的面积差，
BEF
则是
BCF
与
BCE
的< br>面积差，两者都涉及到
E
、
F
以及有同一条底边的两个三角形，于是想 到过
E
、
F
分别作梯形底边
的平行线．

如 右图，分别过
E
、
F
作梯形底边的平行线，假设这两条直线之间的距离为h
．再过
B
作
AD
的垂
线．
由于
S
AOF
:
S
DOE

1:3
，所以
S
DOE
3S
AOF
，故
S
DOE
SAOF
2S
AOF
．根据差不变原理，这个差等
于
AD E
与
ADF
的面积之差．而
ADE
与
ADF
有一条公共的底边
AD
，两个三角形
AD
边上的高
11
相差 为
h
，所以它们的面积差为
ADh
，故
2S
AOFADh
．
22
再看
BEF
，它的面积等于是
 BCF
与
BCE
的面积之差，这两个三角形也有一条公共的底边
BC
，
11
BC
边上的高也相差
h
，所以这两个三角形的面积之差为< br>BCh
，故
S
BEF
BCh
．
22
11
由于
AD:BC1:2
，所以
BC2AD
，则
S
BEF
BChADh24S
AOF
，
22
所以
S
AOF
S
BEF
46cm
2
．

【例 55】 （2009年迎春杯决赛高年级组）如图，
ABCD
是一个 四边形，
M
、
N
分别是
AB
、如
CD
的中 点．
果
ASM
、
MTB
与
DSN
的面积分别 是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形
ABCD
的面积为 ．
D
A
S
M
T
C
N
M
T
C
A
S
N
D
B
B

【解析】 连接
MN
、
AC
、
BD
．
由于
M
是
AB
的中点，所以
AMN
与
BMN
的面积相等，而
MTB
比
ASM
的面积大1，所以
MSN
比
MTN
的面积大1；又由于
N
是
CD
的中点，所以
DM N
的面积与
CMN
的面积相等，那么
CTN
的面积比
 DSN
的面积大1，所以
CTN
的面积为9．
假设
MTN的面积为
a
，则
MSN
的面积为
a1
．根据几何五 大模型中的蝴蝶定理，可知
ASD
的
4863
面积为，
BTC< br>的面积为．
a1a
要使这两个三角形的面积为整数，
a
可以为1，3或7．
由于
ADM
的面积为
ABD
面积的一半，
BCN
的面 积为
BCD
面积的一半，所以
ADM
与
BCN
的面积 之和为四边形
ABCD
面积的一半，所以
ADM
与
BCN
的面积之和等于四边形
BMDN
的面
积，即：
48634863
697aa18
，得
2a1
．
a1aa1a< br>将
a1
、3、7分别代入检验，只有
a7
时等式成立，所以
MTN
的面积为7，
MSN
、
ASD
、
BTC< br>的面积分别为8、6、9．
四边形ABCD的面积为

6789

260
．
小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的．