具结悔过-青年节放假规定

1.3.2 空间几何体的体积
学习目标
1.掌握柱体、锥体、台体的体积 公式，会利
用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及 体
积.3.会求简单组合体的体积及表面积.

知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式
1.柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高).
1
2.锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高).
3
1
3.台体的体积公式V＝(S′＋S′S＋S)h(S′，S为上、下底面面积，h为高).
3
4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系

11
S′＝SS ′＝0
V＝Sh←――――V＝(S′＋S′S＋S)h――→V＝Sh.
33
知识点二 球的表面积和体积公式
1.球的表面积公式S＝4πR
2
(R为球的半径).
4
2.球的体积公式V＝
πR
3
.
3

知识点三 球体的截面的特点
1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆.
2.利用球半径 、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问
题的主要途径.

一、柱体、锥体、台体的体积
例1 (1)把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，则该圆柱的体积为________.
答案
2727
或
π2π
解析 设圆柱的底面半径为r，母线长为l，
3
则①当2πr＝6时，r＝，l＝3，
π
3

2
27
所以V
圆柱
＝πr
2
·l＝π·

·3＝.

π

π
3
②当2πr＝3时，r＝
，l＝6，
2π
3

2
27
所以V
圆柱
＝πr
2
·l＝π·

·6＝.

2π

2π
2727
所以所求圆柱的体积为或
.
π2π
(2)如图所示，正方体ABCD－A
1
B
1
C1
D
1
的棱长为a，过顶点B，D，A
1
截下一个三棱锥.

①求剩余部分的体积；
②求三棱锥A－A
1
BD的体积及高.
1111
解 ①
V
三棱锥A
－
ABD
＝
S
△
ABD
·A1
A＝×·AB·AD·A
1
A＝a
3
.
3326< br>1
15
故剩余部分的体积V＝V
正方体
－
V
三棱锥A
－
ABD
＝a
3
－
a
3
＝
a3
.
66
1
1
②
V
三棱锥A
－ABD
＝
V
三棱锥A
－
ABD
＝
a
3
.
6
1
1
设三棱锥A－A
1
BD的高为h，
1
则
V
三棱锥A
－
ABD
＝
··h 3
S
△A
1
BD
1
1133
＝
××( 2a)
2
h＝a
2
h，
3226
故
3
2
1
3
3
ah＝a
，解得h＝
a.
663
(3)棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是( )
A.18＋62
C.24
答案 B
11
解析 V＝(S＋SS′＋S′)h＝×(2＋2×4＋4)×3＝6＋22.
33
反思感悟 求几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接代入公式求解.
(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.
B.6＋22
D.18

(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等.
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
提醒：求几何体的体积时，要 注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出
几何体的高和底面积.
跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.

解 设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，
1111
∴V
C－A
′
D< br>′
D
＝CD·S
△
A
′
D
′
D＝a·bc＝abc，
3326
∴剩余部分的体积为
15
V
ABCD－A
′
B
′
C
′
D
′
－V
C－A
′
D
′
D
＝abc－abc＝abc，
66
∴棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
(2)圆台上底的面积为16π cm
2
，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么圆台的侧面积和体
积各是多少？
解 如图，由题意可知，圆台的上底面半径为4 cm，

于是S
圆台侧
＝π(r＋r′)l＝100π(cm
2
).
圆台的高h＝BC
＝
＝
BD
2
－OD－AB
2

10
2
－6－4
2
＝46(cm)，
113046π
V
圆台
＝
h(S＋SS′＋S′)＝×46×(16π＋16π×36π＋3 6π)＝(cm
3
).
333

二、球的表面积与体积
例2 (1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的
表面积为________.
7
答案
πa
2

3
解析 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a，
如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，

2331
易知AP＝
×a＝a，OP＝a，
3232
所以球的半径 R＝OA满足R
2
＝

7
3

2

1

2
7
2
a
＋

2
a

＝
12
a
，故S
球
＝4πR
2
＝3
πa
2
.

3

(2)长方体的长、宽、 高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为________.
答案
714
π
3
解析 球的直径是长方体的体对角线，
∴2R＝4714
3
2
＋2
2
＋1
2
＝14，V＝πR
3
＝
π.
33
延伸探究
1.若把本例(2)换成“棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上”，求此球的体积.
解 正方体的外接球直径等于正方体的体对角线长，即2R＝
4
所以V
球＝
·π·(3)
3
＝43π.
3
2.若把本例(2)换成“棱 长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上”，求球的体积.
解 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝2x，
由题意知2R＝3x＝3×
所以R＝
6
a，
4
2a6
＝
a，
22
2
2
＋2
2
＋2
2
，所以R＝3，
46
6
所以V＝
π

a

3
＝< br>a
3
π.
3

4

8

3.若把本例(2)换成“三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长分别为2a，a，a”，求球的体积.
解 把三棱锥的三条侧棱看作是长方体从一顶点出发的三条棱，将三棱锥补成长方体，则该
长方 体的外接球即为三棱锥的外接球，其球的直径等于长方体的体对角线长，故2R＝
a
2
＋a
2
＋2a
2
＝6a，
44
6
所以V球
＝
πR
3
＝
π·

a

3
＝6a
3
π.
33

2

反思感悟 “切”“接”问题的处理规律
(1)“接”的处理
抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
(2)“切”的处理
首先要找准切点，通过作截面来解决，截面过球心.
跟踪训练2 求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比.
解 如图，等边△ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O.

设球的半径OE＝R，OA＝
OE
＝2OE＝2R.
sin 30°
∴AD＝OA＋OD＝2R＋R＝3R，
BD＝AD·tan 30°＝3R，
4
∴V
球
＝
πR
3
，
3

11
V
圆锥
＝
π·BD
2
×AD＝
π(3 R)
2
×3R＝3πR
3
，
33
∴V
球
∶V
圆锥
＝4∶9.

三、组合体的体积
例3 如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，
其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积.

解 V
六棱柱
＝
3
× 4
2
×6×2＝483(cm
3
)，
4
V
圆柱< br>＝π·3
2
×3＝27π(cm
3
)，
V
挖去圆柱
＝π·1
2
×(3＋2)＝5π(cm
3
)，
∴此几何体 的体积V＝V
六棱柱
＋V
圆柱
－V
挖去圆柱
＝(483＋2 2π)(cm
3
).
反思感悟 代公式计算几何体的体积时，注意柱体与锥体的体积公式的区别.
跟踪训练3 如图，在四边形ABC D中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，
AD＝2，求四边形ABCD 绕AD所在直线旋转一周所得的几何体的体积.

解 如图，过点C作CE垂直于AD，交AD延长线于点E，

则所求几何体的体积可看成是由梯 形ABCE绕AE所在直线旋转一周所得的圆台的体积，减
去△EDC绕DE所在直线旋转一周所得的圆 锥的体积.
所以所求几何体的体积V＝V
圆台
－V
圆锥

11148
＝
π(5
2
＋5×2＋2
2
)×4－
π ×2
2
×2＝
π.
333

1.柱、锥、台体积之间的关系

2.几何体的“接”“切”问题
(1)几何体的“接”“切”关系：
①两个几何体相接是指一个几何体的所有顶点(包括某一 面周线上所有点或一个面的所有点)
都在另一个几何体的表面上；
②两个几何体相切是指一个几何体的各面与另一个几何体的各面相切.
(2)解决几何体相切或相接问题，要利用截面来展现这两个几何体之间的相互关系.
①球与 旋转体的组合体，通常作出它们的轴截面解题；②球与多面体的组合体，则可通过多
面体的一条侧棱与“ 球心”“切点”“接点”作出轴截面，从而把空间问题转化为平面问题
解决.

1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为( )
A.27 cm
3
B.60 cm
3
C.64 cm
3
D.125 cm
3

答案 B
解析 V＝3×4×5＝60(cm
3
).
2.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 A
1
解析 由题意知，V＝
(π＋2π＋4π)·h＝7π，所以h＝3.
3
3.正方体的外接球的体积是其内切球的体积的______倍.
答案 33
1
解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为
，外接球的直 径为正
2
方体的体对角线，
∴外接球的半径为
3
.
2
4
3
∴外接球的体积为
π×

3
，
3

2

1

3
4
内切球的体积 为
π×

，
3

2

∴外接球的体积是内切球的体积的33倍.
4.已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm
2
，高为4 cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜
块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是________ cm.
答案 4
解析 ∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm
2
，高为4 cm，
∴铜质的五棱柱的体积V＝16×4＝64(cm
3
).
设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm，
则a
3
＝64，解得a＝4(cm).
5.如图，一个圆锥形的空杯子上面 放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯
子吗？请用你的计算数据说明理由.

14
解 不会溢出杯子.理由如下：因为V
半球
＝
×
πR
3

23
14128
＝
×
π×4
3
＝
π(cm
3
)，
233
11
V
圆锥
＝
πR
2< br>h＝
π×4
2
×12＝64π(cm
3
)，所以V
半 球
＜V
圆锥
，
33
所以冰淇淋融化了不会溢出杯子.

一、选择题
1.直径为6的球的表面积和体积分别是( )
A.144π，144π
C.36π，144π
答案 D
B.144π，36π
D.36π，36π

4
4π
解析 半径R＝3.所以S
表
＝4πR
2
＝36π，V＝
πR
3
＝
×27＝36π.故选D.
33
2.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )
A.54 B.54π C.58 D.58π
答案 A
解析 设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h
1
， 1
则52＝
πh
1
(r
2
＋9r
2
＋ 3r·r)，
3
∴πr
2
h
1
＝12.令原圆锥的高为h，
r
h－h
1
3
由相似知识得＝，∴h＝
h
1
， 3rh2
139
∴V
原圆锥
＝
π(3r)
2
× h＝3πr
2
×h
1
＝×12＝54.
322
3.分别以 一个锐角为30°的直角三角形的较短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转
一周，所形成的几 何体的体积之比是( )
A.1∶2∶3
C.6∶23∶3
答案 C
解析 设Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，
B.6∶23∶3
D.3∶23∶6

则AB＝2，AC＝3，求得斜边上的高CD＝
31< br>，旋转所得几何体的体积分别为V
1
＝
π(3)
2
×1
23
131131
3
＝π，V
2
＝
π×1
2×3＝
π，V
3
＝
π

2
×2＝
π .V
1
∶V
2
∶V
3
＝1∶∶
＝6∶23∶3.
333

2

232

4.等体积的球和正方 体的表面积S
球
与S
正方体
的大小关系是( )
A.S
正方体
＞S
球

C.S
正方体
＝S
球

答案 A
4
3
解析 设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意，得V＝
πR
3
＝a
3
，∴a＝
V，R＝
3
∴S
正方体
＝6a
2
＝6
V
2
＝
216V
2
，S< br>球
＝4πR
2
＝
36πV
2
<216V
2< br>.
5.将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒
入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为( )
A.63 cm
C.218 cm
答案 B
解析 设圆锥中水的底面半径为r cm，
1
由题意知
πr
2
×3r＝π×2
2
×6，
3
得r＝23，
∴水面的高度是3×23＝6(cm).
6.已知A，B ，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥O—ABC
4
的体积为 ，则球O的表面积为( )
3
16π32π
A. B.16π C. D.32π
33
答案 B
解析 设球O的半径为R，以球心O为顶点的三棱锥的三 条侧棱两两垂直且都等于球的半径
114
R，另外一个侧面是边长为2R的等边三角形.因此根 据三棱锥的体积公式，得×R
2
·R＝
，
323
∴R＝2，∴S
表
＝4π×2
2
＝16π，故选B.
二、填空题
7.如图所示，在三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB
1
C
1
F将三
棱柱分成体积为V
1
，V
2
的两部分，那么V
1∶V
2
＝________.
3
3333
3
B.S
正方体
＜S
球

D.无法确定
3V
，
4π
B.6 cm
D.312 cm
3

答案 7∶5
解析 如图，延长A
1< br>A到A
2
，B
1
B到B
2
，C
1
C 到C
2
，

且A
1
A＝AA
2
，B1
B＝BB
2
，C
1
C＝CC
2
，连结A2
C
2
，A
2
B
2
，B
2
C
2
，
则得到三棱柱ABC—A
2
B
2
C
2
，且
V
ABC
－
ABC
＝
V
ABC－
ABC
.延长B
1
E，C
1
F，则B
1E与C
1
F相交
111
222
于点A
2
.
因为A
2
A∶A
2
A
1
＝1∶2，
1< br>所以
V
A
－
AEF
＝
V
A
－
ABC
.
8
2111
2
1
又
V
A－
AEF
＝
V
A
－
ABC

4
22

11
＝
×
V
ABC
－
ABC

43
222
＝
1
，
12
V
A BC
－
A
1
B
1
C
1
7
所以V< br>1
＝7
V
A
－
AEF
＝
V
ABC< br>－
ABC
，
12
2
111
故V
1
∶V
2
＝7∶(12－7)＝7∶5.
8.圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水， 若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相
同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示.则球的 半径是________ cm.

答案 3
解析 设球半径为r，则由3V
球
＋V
水
＝V
柱
，
4< br>可得3×
πr
3
＋πr
2
×6＝πr
2
×6 r，解得r＝3(cm).
3
9.已知直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，
A A
1
＝12，则球O的直径为________.
答案 13
解析 如图，

由已知条件可知，当AB⊥AC时，BC中点D为△ABC外接圆的 圆心，因为三棱柱是直三棱
柱，所以DE中点M为球心，又DE＝AA
1
＝12，设△ ABC外接圆半径为r，
则r＝
AB
2
＋AC
2
5
＝
.
22
5
即EC
1
＝.
2
球O的半径R＝MC
1
＝
故球的直径为13.
10.设 棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V
1
，S
1
，底面半径和高均为r的 圆锥的体积和
V
1
3S
1
侧面积分别为V
2
，S< br>2
，若＝，则＝________.
V
2
π
S
2
答案
32

πDE

2
13
2
＋

EC
1

2

＝
2
.
解析 棱长为a的正方体的体积V
1
＝a
3
，
表面积S
1
＝6a
2
.
1
底面半径和高均为r的 圆锥的体积V
2
＝
πr
3
，
3
侧面积S
2
＝2πr
2
.
V
1
a
3
3S
1
6a
2
32
由＝＝，得a＝r，所以 ＝＝
.
V
2
1
3
π
S
2
π2πr
2
πr
3
三、解答题

11.一倒置圆锥体的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.
(1)求圆锥体的高；
(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间.
解 (1)设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为l，
则h＝l
2
－R
2< br>＝10
2
－6
2
＝8(cm).
(2)球放入圆锥体后的轴截面如图所示，设球的半径为r，

由△OCD∽△ACO
1
，
ODOCr
8－r
得＝，所以＝，
AO
1
AC610
解得r＝3(cm).
因为圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，
14
所以V
锥
－V
球
＝
×π×6
2
×8－
π×3
3

33
＝96π－36π＝60π(cm
3
).
12.如图，在三棱 柱A
1
B
1
C
1
－ABC中，已知D，E，F分别为AB， AC，AA
1
的中点，设三棱锥
A－FED的体积为V
1
，三棱柱A
1
B
1
C
1
－ABC的体积为V
2
，求V
1
∶V
2
的值.

解 设三棱柱的高为h，
h
∵F是AA
1
的中点，则三棱锥F－ADE的高为
，
2
1
∵D，E分别是AB，AC的中点，∴S
△
ADE
＝S
△
ABC
，
4
1h
∵V
1
＝S
△
ADE
·
，V
2
＝S
△
ABC
·h，
3 2
1
S
△
ADE
·h
V
1
6
1< br>∴
＝＝
.
V
2
S
△
ABC
·h< br>24
13.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几 何
体，求该几何体的表面积和体积.(其中∠BAC＝30°)

解 过C作CO
1
⊥AB于点O
1
，

由已知得∠BCA＝90°，
∵∠BAC＝30°，AB＝2R，
∴AC＝3R， BC＝R，CO
1
＝
∴S
球
＝4πR
2
，
S
圆锥AO侧
＝π×
1
3
R.
2
33
R×3R＝
πR
2
，
22
S圆锥BO侧
＝π×
2
R×R＝
2
πR
2
， < br>1
33
∴S
几何体表
＝S
球
＋
S
圆 锥AO侧
＋
S
圆锥BO侧

11
11＋3
33＝4πR
2
＋
πR
2
＋
πR
2
＝πR
2
.
222
4
又∵V
球
＝
πR
3
，
3
2
＝
πR
2
·AO
1
·π·CO
1AO
1
，
V
圆锥AO
＝
3
·
41
2
＝
πR
2
·BO
1
·π·CO
1
BO
1
，
V
圆锥BO
＝
3
·
4
1
1
1
1
1
5
∴V
几何体
＝V< br>球
－(
V
圆锥AO
＋
V
圆锥BO
)＝
πR
3
.
6
11

14.如图所示，三 棱台ABC－A
1
B
1
C
1
中，AB∶A
1
B
1
＝1∶2，则三棱锥A
1
－ABC，B－A
1
B1
C，C
－A
1
B
1
C
1
的体积之比 为( )

A.1∶1∶1
B.1∶1∶2
C.1∶2∶4
D.1∶4∶4
答案 C
解析 设棱台的高为h，S
△
ABC
＝S，
则
S
△ABC
＝4S，
111

11
∴
V
A
－
ABC
＝
S
△
AB C
·h＝Sh，
33
1
14
＝
·h＝Sh.
V
C
－
ABC
3
S
△ABC
3
111111
17
又V
台
＝
h(S＋4S＋2S)＝Sh，
33
7Sh4Sh2
∴
V
B
－
ABC
＝V
台
－
V
A
－
ABC
－
V
C
－
ABC
＝
Sh－
－＝
Sh，∴体积比为1∶2∶4.
3333
1 11111
15.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球， 并
注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.
解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面.

根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为3r，

145
则容器内水的体积为V＝V
圆锥
－V
球
＝
π·(3r)2
·3r－
πr
3
＝
πr
3
.
33 3
而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为
11
3
从而容器 内水的体积为V′＝
π·

h

2
·h＝
πh3
，
3

3

9
由V＝V′，得h＝
15r.
即容器中水的深度为
15r.
3
3
3
h，
3