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N维空间几何体质心的计算方法
摘要：本文主要是求一个图形或物体的质心坐标的问题 ，通过微积分方面的知识来求解，从
平面推广到空间，问题也由易到难。首先提出质心或形心问题，然后 给出重心的定义，再由
具体的例子来求解相关问题。
关键字：质心 重心坐标 平面薄板 二重积分 三重积分
一．质心或形心问题：
这类问题的核心是静力矩的计算原理。
1.均匀线密度为M的曲线形体的静力矩与质心：
静力矩的微元关系为
dMxyudl,dMyxudl
.
其中形如曲线 L（
yf(x),axb
）的形状体对x轴与y轴的静力矩分别为

b
a
'b'

f(x)1

f(x)dxSMuf( x)1f
yya


(x)


dx
，
22
设曲线
L
AB
的质心坐标为（
x,y
） ，则
'
x
M
y
M
,y
M
x
,
M
其中

M

u
b
1
a(f)x

x
若在式

(

f
2< br>)x
y
为
dx
L
AB
的质量，L为曲线弧长。
ul
M
y
M
与式
2
M
x
M
两端同乘以
2

，则可得到
2
'b'

2< br>
xl

2

b
fx()f1xdx(S)2

yl2

f(x)1f(x)

dxS
x
S
aya


,,其中
x
与
Sy
分别表示曲线
L
AB
绕x轴与y轴旋转而成的旋转体的侧面积。
2．均匀密度平面薄板的静力矩与质心：
设f(x)为

a,b< br>
上的连续非负函数，考虑形如区域
D

(x,y)axb,0 yf(x)

的
薄板质心，设M为其密度，利用微元法，小曲边梯形MNPQ的形 心坐标为
(y,
1
f(y)),xyxx
2
，当分割无限细 化时，可当小曲边梯形MNPQ的质量视为集中
1
(x,f(x))
2
于点处 的一个质点，将它对x轴与y轴分别取静力矩微元可有
dM
x
u
1
f(x)f(x)dx
2
，
dM
y
uxf(x)dx
.两 个静力矩为
M
x
u

b
a
1
2
b
f(x)dx
Mu
xa
xf(x)dx

2
,.设质心坐标为
(x,y)
，则有
x
M
y
M

u
M

b
a
xf(x)dx
，
y
M
y
M

u
M

b
a
1
2
b
f(x)dx
Mu
a
f(x)dxMA

2
.其中为该

均匀密度薄板的质量，A为面积。
二．平面图形的重心：
给定一个曲线
yf
1
(x),yf2
(x),xa,xb
围成的图形，它是一个物质平面图形，我
们考虑均匀的 面密度，即单位面积的质量为常数，它在图形的各部分都等于

.将所给图
形用直线< br>xa,xx
1
,,xx
n
b
，划分成宽为
x
1
,x
2
,,x
n
的窄条，每个窄条的
x
i
为底，高为
f
2
(

i
)f1
(

i
)
的质量等于它的面积和密度

的乘 积。如果每个窄条用以
矩形来代替，其中

i

x
i1< br>x
i
2
，则这窄条的质量将近似等于
，这个窄条的重心将近似位于相 应的矩形的重
m
i



f
2
(

i
)f
1
(

i
)

x
i
(i1,2,,n)
(x
i
)

i
,(y
i
)
c

心上：
f
2
(

i
)f
1
(

i
)
2
现在把 每个窄条用一个质点来代替，它的质量等
于对应窄条的质量，并且集中于该窄条的重心处，我们来求整个 图形的重心坐标的近似
x
c

值。



f(

)f(

)

x



f(

)f(

)

x
i2i1 i
2i1ii
i
，
1


f
1
(

i
)f
2
(

i
)

i


f
2
(

i
)f
1< br>(

i
)

x
i
2
y
c




f
2
(

i
) f
1
(

i
)

x
i
当maxx
i
0
x
c
时取极限，则得
x
< br>f(x)f(x)

dx




f(x )f(x)

dx
b
a21
b
a21
，
1
b
a

f
2
(x)f
1
(x)

f
2
(x)f
1
(x)

dx

y
c

2
b

a

f
2
(x)f
1
(x)

dx
.这些公式任何均匀的平面图形 都适用，可看
出重心的坐标是与密度无关的。例：求抛物线与直线所围成的重心的坐标（如图）
解：在这种情况下，
f
2
(x)ax,f
1
(x)ax,
2
2ax
5
5
a
2
0
5
a
2
0
x
c

因此
a
2
< br>0
xaxdx
a
2

0
axdx

2
2ax
5
3
a
5
,
y
c
0
.

三．重心
1.物体的重心是指 物体各部分所受重力的合力的作用点，在生产实际中，常常要确定物体
的重心。例如：炼钢用钢水包的包 轴位置，就与钢水包的重心有关，如果包轴

低于重心，用天平调动钢包时就会翻 转，如果包轴高于重心过多，则倒出钢水时翻转困
难。因此，我们总是将包轴安装于略高于重心的地方， 这时显然需要确定重心的位置。
本段将利用定积分来计算任意形状的均匀平面薄板的重心位置， 显然，若于其重心处支
持之，则此薄板必保持水平平衡而不倾斜。
设均匀薄板是由曲线
yy
1
(x)
，
yy
2
(x)
和直线
xb
围成的平面图形，我们要求此
平面的重心
G(x,y)
，用u表示此 薄板单位面积的重量，则微面积
d
s
的重量为
u(y
1
y
2
)dx
，
(x,
其重心G的坐标为
y
1
y
2
b
)
u(yy
2
)dx
2
，显然 整个薄板的重量为

a1
，由力学知，合力
对任一轴的力矩，等于各分力对该 轴力矩之和，取对y轴的力矩，得

u
b

x
b
(yy)dx(
a121
ydx
2
)

a
u xy



,取对x轴的力矩得
y
1
y
2
b

u
b

(yy)dxyu(yy)
2

a12
2
dx
,由此两式，


a 1

即得确定薄板重心坐标的公式：
x(yy)dx

x

(yy)dx
12
b
a12
b
a
b< br>a
x(y
1
y
2
)dx
1
22
( yy)dx
12

2
y
b

a
(y
1
y
2
)dx
b
a

b
a

s



(1)
1
22
(y
1
y
2
)dx

2

s



其中s标薄板的面积，由公式(1)知均匀薄板的重心只与薄板的形状有关，而与 薄板单
位面积的重量无关。
特别，若
b
a
y
2
( x)0
，则得曲边梯形薄板重心坐标公式:
b
a
1
2
x ydx

2
ydx

x
b
y
b
ydx
a

a
ydx

,.
例：试求半径为R的半圆形均匀薄板的重心。
s
解：由于

R< br>2
22
22
2
,
y
1
Rx
,< br>y
2
Rx
,故知重心G的坐标
(x,y)
为：

x
b
a
x(y
1
y
2
)dxs

R
2

0
xR
2
x
2
dx
1

R
2
2
2(R
2
x)

3

R
2
2
3
2
2
R

0
4R
0.42R
3

，

y

b
a
1
22
(y
1
y
2
)dx
2
0
s
.
四．利用二重积分来求一般的非均匀薄板的重心
设有非均匀平面薄板D，其上每点的密度为< br>


(x,y)
，设薄板D的重心坐标为
(x,y)
，考虑D中微面积
dD
，它的微质量为：
dm

(x,y)dD
，它关于y轴与x
轴的力矩分别为： xdmx

(x,y)dD
与
ydmy

(x,y )dD

把这些微质量的力矩加起来，即得薄板D关于y轴与x轴的力矩为：
< br>xdm

x

(x,y)dD
DD

x

(x,y)dxdy
D

ydmy)dD
D< br>
y

(x,
D

y

(x, y)dxdy
D

薄板的总质量，于是根据重心的定义，得求重心坐标的公式： 
xdm

x

(x,y)dxdy

x 
DD

m



(x,y)dxdy
D



ydm

(2)
y
< br>y

(x,y)dxdy

D

D

m


(x,y)dxdy

D



特别，若薄板是均匀的，即

(x,y)
常数，则得求均匀薄板重心坐标公 式：
xdxdy
x

D
D
y

y dxdy
D
，
D
.
xdxdy
b
a
d x

y
y
2
(x)
b
1
(x)
x dy

a
x

y
2
(x)y
1
(x)

dx
对于均匀薄板，我们有

D

，

y
2
(x)

ydxdy

by

a
dx

y
2
(x)
b
y
2
1
(x)
ydy

D

a



2
y

dx
1
(x)
< br>

b
1
22
a
2


y
2
(x)



y
1
(x)
< br>
dx
故
与

x

y
x
b
a2
y
1

dx
，
D
y

b
a
1
2
y
2
y< br>1
2

dx

2
D
.
五．设一立体在空间占据区域T，那么立体的体积为

V

dxdydz
T

设


(x,y,z)
,
(x,y,z)T
是立体在点
(x,y, z)
的密度，其中T是它所占据的空
间区域，那么该立体的质量为

立体重心的坐标公式为：
T
M


(x,y,z )dxdydz
1
V
x

xdxdydz
T
y
，
1
V

ydxdydz
T
z
，
1
V

zdxdydz
T
.
这里
x
，
y
，
z
是区域T的几何重心的坐标。 < br>例：求平面
x0
,
z0
,
y1
,
y 3
,
x2z3
所围之棱柱的重心坐标。
解：先求棱柱的体积

V

dxdydz

dx

dy

T
3


3
0
dx

1
3
0
3
1
3z
2
0
dz
3x
dy

3
0
(3x)dx
2
3
1
 (3xx
2
)
2
0

9
2

现在求重心的坐标
3x
22
38
x

x dxdydz

0
xdx

1
dy

0
2
dz1
9
T
9
，
3x
22
38
y

ydxdydz

0
dx
< br>1
ydy

0
2
dz2
9
T
9< br>，
3x
22
3
1
8
z

zdxdydz

0
dx

1
dy

0
2
zdz
9
T
92
.

RE
参考文献：1.《微积分与解析几何》，电子工业出版社，1985年 11月出版，作者：
约翰逊
FL
基奥克斯特。
2．《微分与积分学》，吉林人民出版社，1983年9月出版，作者：
NPISKUNOV

3.《数学分析》，山东科学技术出版社，1985年出版，作者：郭大钧 陈玉妹 袭
卓明
4．《高等数学解题手册》，天津科学技术出版社，1983年12月出版，作者：丹科
波波夫 科热夫尼科娃。