土鸡销售-英语教学随笔

几何概型
1.定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积 ）成比例，则称这样的概率模型
为几何概率模型，简称几何概型.
2.概率公式：
P(A)
构成事件A的区域长度（面积或体积）
.
实验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
3.特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事 件）有无限多个；
2）每个结果（基本事件）出现的可能性相等.
考点1：几何概型的概念（重点；理解）
例1.下列概率模型中，是几何概型的为（ ）
1） 从区间
[10,10]
内任取一个数，求取到1的概率；
2）从区间
[10,10]
内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；
3) 从区间
[10,10]
内任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；
4) 向一个边长为4cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1cm的概率.
考点2：与长度有关的几何概型
例2.在两根相距8m的木杆间系一绳子，并在绳子上挂一个 警示灯，求警示灯与两杆的距离都大于3m的概率.
1.取一根长度为5m的绳子，拉直后在任意位置 剪断，那么剪得的两端绳子的长度都不小于2m的概率为多少？
2.在区间（1,3）内随机取一个数 x，则这个实数x为不等式
2x50
的解的概率是多少？
3.设m在
[ 0,5]
上随机地取值，求方程
xmx
2
m1
0
有 实数根的概率.
42
考点3：与面积有关的几何概型
例3.如图，墙上挂着一块边 长为16cm的正方形木板，上面画了大、中、小三个同心圆，半径分别为6cm，
4cm，2cm，某 人站在3m之外向此板投镖，设投镖击中中线上或没有击中木板时都不算，可重投.
（1）投中大圆内的概率是多少？ （2）投中圆环的概率是多少？ （3）投中大圆之外的概率是多少？

4.向面积为
S
的
ABC
内任投一点P，则
PBC
的面积小于
5.设点
M(x,y )
在
x1
，
y1
时按均匀分布出现.
S
的概率是多少？
2
（1）求
xy0
的概率；（2） 求
xy1
的概率；（3）求
xy1
的概率.

6.在半径为1的圆内随机地取一点为弦中点做弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率.

7.设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是
43
c m，先用直径等于2cm的硬币投掷到
此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率.



1
22

4

8.在区间
[1,1]
上随机取两个数
x,y
，求满足
x
2
y
2

1
的概率.

9.将长为18cm的线段随机地分成三段，则以这三段线段的长能组成一个三角形的概率是多少？


考点4：与体积有关的几何概型
例4.已知正方体
ABCD A
1
BCD
的棱长为1，在正方体内随机取一点
M
，求使四棱锥MABCD
的体积
111
小于
1
的概率.
6

10.已知正三棱锥
SABC
的底面边长为
a
，高为
h
，在正三棱锥内任取一点
M
，试求使点
M
到底面 距离
小于
h
的概率.
2

11.在500ml的水中有一 个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率.

考点5：与角度有关的几何概型
例5.如图在平面直角坐标系中，射线
OT
落在60°角的终边上，任作一条射线
OA
，求射线
OA
落在
xO T
内的概率.


考点6：几何概型在实际中的应用
例6.甲、 乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，
求两人 能会面的概率.


考点7：均匀随机数的应用
例7.利用随机模拟法近 似计算图中阴影部分（曲线
ylog
3
x
与
x3
及x
轴围成的图形）的面积.



A




T

O O



2

同步练习：
1.如图1，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在
ACB
内部作一条射线
CM
，与线段AB交于点
M
.
求
AMAC
的概率.
2.向面积为
S
的正方形ABCD 内投一点P，试求
PBC
的面积小于
S
的概率.
4
3. 在0～1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三段，试求这三条线段能构成
三角形的概率.
4.如图2，在地上画一个正方形线框，其边长等于一枚硬币直径的2倍，向方框中 投硬币，硬币完全落在正
方形外不计，求硬币完全落在正方形内的概率.
C
A D

B
A B C

5.(2009辽宁)ABCD为长方形，AB=2，B C=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的
距离大于1的概率为（ ）.
6.（2011山东）在区间
[1,2]
上随机取一个数
x
，则
x1
的概率为（ ）.
7.（2009福建）点A为周长等于3的 圆周上的一个定点.在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1
的概率为（ ）.
8.（2010全国）设函数
yf(x)
在区间
[0,1]
上的图像是连 续不断的一条曲线，且恒有
0f(x)1
，可以用
随机模拟方法近似计算曲线yf(x)
及直线
x0,x1,y0,y1
所围成部分的面积
S
.先产生两组（每组
N
个）区间
[0,1]
上的均匀随机数
x
1
,x
2
,...,x
N
和
y
1,y
2
,...,y
N
，由此得到
N
个点
(x
i
,y
i
)(i1,2,...,N)
，再数出
其中满足
y
i
f(x
i
)(i1,2,...,N)
的点数N
1
，那么随机模拟方法可得
S
的近似值为（ ）.
9.已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是（ ）.
10.已知函数
f(x)xx2,x[5,5]
，那么任取一点x
0
，使
f(x
0
)0
的概率为（ ）.
11.在长为12cm的线段AB上任取一点
M
，并以线段
AM
为边长作正方形，这个正方形的面积介于
36cm
与
2
81cm
之 间的概率为（ ）.
12.在正方形ABCD内任取一点P，则使
APB90
的概率是（ ）.
13.已知直线
yxb,b[2,3]
，则直线在
y
轴上的截距的绝对值大于1的概率为（ ）.
14.已知半径为
23
的 球内有一内接正方形，若在球内任取一点，则该点在正方体内的概率为（ ）.
15.b
1
是
[0,1]
上的均匀随机数，
b(b
1
2)3
，则
b
是区间
16.正方体
ABCDA
1
BCD
的棱长为
a
，在正方体内随机取一点
M
.
111
（1）求点
M
落在三棱锥
BA
1
BC
内的 概率；
11
（2）求
M
与面
ABCD
及面
A1
B
1
C
1
D
1
的距离都大于
a的概率；
3
2
2
上的均匀随机数.
（3）求使四棱锥
MABCD
的体积小于
1
a
3
的概率.
6

3

一.关于互斥事件、对立事件的概率
1.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）.
A.至少有一个红球；都是红球 B.至少有一个红球；都是白球
C.至少有一个红球；至少有一个是白球 D.恰有一个红球；恰有两个红球
2.甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢.
（1）若以A表示和为6的事件，求
P(A)
； （2）现在连续玩三次，若以B表示 甲至少赢一次的事件，C表
示乙至少赢两次的事件，B和C是否为互斥事件，为什么？这种游戏规则公平 吗？
3.现有8名数理化成绩优秀者，其中
A
1
,A
2
, A
3
数学成绩优秀，
B
1
,B
2
,B
3< br>物理成绩优秀，
C
1
,C
2
化学成绩优秀.
从中选出 数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛.
（1）求
C
1
被选中的概率； （2）求
A
1
和
B
1
不全被选中的概率.
二.关于古典概型问题
1.（2011江苏）在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为（ ）.
2.已知圆
C:xy9
.（1）若连续掷两次骰子，点数分别为
m ,n
，则点
(m,n)
在圆
C
内的概率是多少？
（2）若
m[4,4],n[5,5]
，则点
(m,n)
在圆
C内的概率是多少？

3.袋中有红、黄、白色球各1个，每次任取1个，有放回地抽取三次.
（1）三次颜色各 不相同的概率；（2）三次颜色不全相同的概率；（3）三次取出的无红色或无黄色的概率；
三.关于几何概型问题
1.在圆心角为90°的扇形中，以圆心
O
为起点， 作射线
OC
，求
AOC
和
BOC
都不小于30°的概率 .
2.在区间
[0,1]
内随机地取出两个数，求所取的两个数之和小于
6
的概率.
5
22
3.在区间
[1,1]
上任取两个数< br>a,b
，求一元二次方程
xaxb0
的两根：
22
（1）都是实数的概率； （2）都是正数的概率.
四.求放回不放回概型的概率
1.从含有两件正品
a
1
,a
2
和一件次品
b
1
的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续 取两次，求
取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
五.概率中的观察角度
1.口 袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，试计算
第 二个人摸到白球的概率.
概率解题方法：
1.数形结合思想
例1：甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布）分别求平局、甲赢、乙赢的概率.
2.化归思想
例2：两个对讲机持有者
A
和
B
都为货运公 司工作，他们的对讲机接受范围为25公里，在下午3：00时
A
正
在基地正东距离基 地30公里以内的某处向基地行驶.而此时
B
正在基地正北距基地40公里以内的某处向基地行驶，他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？

3.函数与方程的思想
例 3：设点
(p,q)
在
p3,q3
中按均匀分布出现，试求方程
x2pxq10
的两根都是实数的概率.

4
22