doc文件怎样打开-陈慧琳歌曲

.

简单几何体的面积与体积
教学目标：
1.熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.
2.学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题.
知识点梳理
1.多面体的面积和体积公式
名称
棱
柱
棱柱
直棱柱
棱锥
正棱锥
棱台
正棱台
'
侧面积(S
侧
)
直截面周长×
l

全面积(S
全
) 体 积(V)
S
侧
2S
底

S
底
hS
直截面
h

S
底
h

ch

各侧面积之和
棱
锥
1
'
ch

2
各侧面面积之和
S
侧
S
底

1
S
底
h

3
棱
台
1

cc
'

h
'

2
S
侧
S
上底
S
下底

1< br>h(S
上底
+S
下底
+
S
下底
S
下底
)
3
'
表中
S
表示面积，
c
、c
分别表示上、下底面周长，
h
表斜高，
h
表示斜高，
l
表示侧棱长.
2. 旋转体的面积和体积公式
名称 圆柱 圆锥 圆台 球

S
侧

S
全

V
2

rl

2

r

lr



rl


r

lr


1
2

rh

3


r
1
r
2

l



r
1
r
2

l


r
1
2
r
2
2


1
h

r
1
2
r
1
r
2< br>r
2
2


3
4

R
2


r
2
h
(即

r
2
l
)
4
3

R

3
表中
l,h
分别表 示母线、高，
r
表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，
r
1
,r
2
分别表示圆台 上、下底面半径，
R
表示半径.
例题讲解
题型1：柱体的体积和表面积
例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.
可编辑

.




例2．如图 所示，在平行六面体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，已知AB=5，AD=4，AA
1
=3，AB⊥AD，∠A
1
A B=∠
A
1
AD=

.
3
（1）求证：顶点A
1
在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；
（2）求这个平行六面体的体积.





题型2：锥体的体积和表面积
例3. 在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠ DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面
ABCD，
PB与平面ABCD所成的角为60，求四棱锥P－ABCD的体积.





例4. 在三棱锥
S
—
ABC
中， ∠
SAB
=∠
SAC
=∠
ACB
=90°，且
AC
=
BC
=5，
SB
=5




5
.
（1）证明：
SC
⊥
BC
；（2）求侧面< br>SBC
与底面
ABC
所成二面角的大小；（3）求三棱锥的体积
VS
－
AB
C
.







例5．ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直 于正方形ABCD所在的平面，
且GC＝2， 求点B到平面EFC的距离？

可编辑

.



例6. 如图，在四面 体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分
别截
于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面 积分别是S
1
，
S
2
，则必有（ ）
A．S
1
S
2
B．S
1
定



题型3：棱台的体积、面积及其综合问题
例7. 在多面体
ABCD
—A
1
B
1
C
1
D
1
中，上、下底面平 行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相
等，
侧棱延长后相交于
E
，
F
两点，上、下底面矩形的长、宽分别为
c
，
d
与
a
，
b
，且
a
＞
c
，
b＞
d
，两底面间的距离
为
h
.
（1）求侧面
ABB
1
A
1
与底面
ABCD
所成二面角的大小；（2）证 明：
EF
∥面
ABCD
；
（3）在估测该多面体的体积时，经常运 用近似公式
V
估
=
S
中截面
·
h
来计算. 已知它的体积公式是

V
=








题型4：球的体积、表面积
例8．已知过球面上
A ,B,C
三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且
ABBCCA2
，求球的 表面积.

可编辑
A
S
2
C．S
1
=S
2
D．S
1
，S
2
的大小关系不能确
B
O
D
F
E
C
h
（
S
上底面
+4
S中截面
+
S
下底面
），试判断
V
估
与
V
的大小关系，并加以证明.
6

.






例9. 如图，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，P C两两互相垂直，且PA=PB=PC=
a
，求这个球的表面
积.




例10. 如图，正四棱锥
PABCD
底面的四个顶点
A,B,C,D
在球
O
的同一个大圆上，
P
在球面上，如果

V
PABCD

方
体棱长为
6
，求球的表面积和体积.







题型5：球的经纬度、球面距离问题
例11. 我国首都靠近北纬40
纬线，（1）求北纬
40
纬线的长度等于多少
km
？（地球 半径大约为
6370km
）
oo
16
，（1）求球
O的表面积；（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正
3
（ 2）在半径为
13cm
的球面上有
A,B,C
三点，
ABBCA C12cm
，求球心到经过这三点的截面的距离.





可编辑

.
随堂练习
（一）选择题
1. 如果棱台的两底面积分别是
S
、
S
′，中截面的面积是
S
0
，那么（ ）
A．
2
S
0
SS

B．
S
0
S

S
C．2
S
0
＝
S
＋
S
′ D．
S
0
2
＝2
S
′
S

2. 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ）
A．32
3
B．28
3
C．24
3
D．20
3

3. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
2,3,6
，这个长方体对角线的长是（ ）
A．2
3
B．3
2
C．6 D．
6

4. 将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为( )
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
5. 如图，在多面体ABCDEF中，已 知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE､△BCF均为正三角形，
EF∥AB，EF=2， 则该多面体的体积为( )
A．









6. 已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是( )
A．
42
（二）填空题
7. 如图，三棱柱
ABC A
1
B
1
C
1
中，若
E,F
分别为
AB,AC
的中点，平面
EB
1
C
1
将三棱柱分成体积为
V
1
,V
2
的两部
分，那么
V
1
：V
2
= .
8. 已知三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的体积为V，E是棱CC1上一点，三棱锥E— ABC的体积是V1，则三棱锥
B．
22
C．
32


2
3

B．
3
4

C．
3
3

D．
3

2

D．
6

可编辑

.
E—A1B1C1 的体积是________.
9. 已知某个几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是
cm
.

3

（三）解答题
10. 如图在< br>ABC
中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求 所得旋转体的表
面
积和体积.






11. 表面积为
324

的球，其内接正四棱柱的高是
14
，（1）求这个正四棱柱的表面积.（2）正四面体
ABCD
的棱长
为
a
，球
O
是内切球，球
O
1
是与正四面体的三个面 和球
O
都相切的一个小球，求球
O
1
的体积.





12. 在北纬
45
圈上有
A,B
两点，设该纬度圈上
A,B
两点的劣弧长为
o
2

R
，求
A,B
两点间的球面距离.
4





家庭作业
可编辑

.
（一）选择题
1. 一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 （ ）
A．
12


2

B．
14

12

C．
4

D．
14


2

2. 如图，啤酒瓶的高为h，瓶内酒面高度为a，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度 为a′(a′+b=h)，则酒瓶容积与瓶内酒
的
体积之比为 （ ）
A. 1+
C. 1+
bb
且a+b>h B. 1+且a+baa
aa
且a+b>h D. 1+且a+bbb

3. 设计一个杯子，其三视图如图所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化的图象是 （ ）







4. 在△
ABC
中，
AB
=2，
BC
=1.5，∠
ABC
= 120°（如图所示），若将△
ABC
绕直线
BC
旋转一周，则所形成的旋转 体
的体积是 （ ）
9
A．


2
7
B．


2

5

C．


2

3
D．


2
5. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为
A．
3


C．
6



（二）填空题
3
，则这个圆锥的全面积是 （ ）
B．
33


D．
9



6. 如图，一个底面半径为
R
的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r
的实心铁球，水面高度恰好升高
r
，
则
R
= .
r

可编辑

.




7. 如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR =SC，AQ=AP，点S，D，A，Q
及
点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折 叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何
体，
可以拼成一个棱长为6的正方体.
8. 已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开 图如图所示，则该凸多面体的体积V=________.
（三）解答题
9. 在右图所示 的几何体中，平面PAC⊥平面ABC，PM∥BC，PA=PC，AC=1，BC=2PM=2，AB=
5,
若该几何
体的
侧视图的面积为
3
.
（ 1）求证：PA⊥BC；（2）画出该几何体的正视图，并求其面积S；
4
（3）求出多面体A—BMPC的体积V.








10. 如图，
A
1
A
是圆柱的母线，
AB
是圆柱底面圆的直径，
C
是底面圆周上异于< br>A
、
B
的任意一点，
A
1
A
＝
AB
＝2.
（1）求证：
BC
⊥平面
A
1
AC
；（2）求三棱锥
A
1
－
ABC
的体积的最大值．








可编辑

.





参考答案
例题讲解
例1．解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm
依题意得：


1


2(xyyzzx)20

(2)

4(xyz)24
由（2）的平方得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）
由（3）－（1）得x2+y2+z2=16，即l2=16，所以l=4(cm).
点评：涉及棱柱 面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察.我们平常的学
习中 要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系.
例2．解析：（1）如图， 连结A
1
O，则A
1
O⊥底面ABCD，作OM⊥AB交AB于M，
作ON⊥AD交AD于N，连结A
1
M，A
1
N.
由三垂线定得得A
1
M⊥AB，A
1
N⊥AD.∵∠A
1
A M=∠A
1
AN，
∴Rt△A
1
NA≌Rt△A
1
MA，∴A
1
M=A
1
N，从而OM=ON.
∴点O在∠BAD的平分线上.

13
3AM
2
. （2）∵AM =AA
1
cos=3×=，∴AO==

2
322
cos< br>4
又在Rt△AOA
1
中，A
1
O
2
=A A
1
2
– AO
2
=9－

99
=，
22
∴A
1
O=
3232
302
.
，平行六面体的体积为
V54
2
2
例3. 解：（1）在四棱锥P-ABCD中，由PO⊥ABCD，得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，
∠PBO=60°.在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1， 由PO⊥BO，
于是PO=BOtan60°=
3
，而底面菱形的面积为2
3
.
∴四棱锥P－ABCD的体积V=
1
×2
3
×
3
=2.
3
可编辑

.
点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、 二面角及其平面角、棱锥的体积.在能力方面主要考查空间想象能力.
例4. 解：（1）证明：∵∠
SAB
=∠
SAC
=90°，∴
SA
⊥
AB
，
SA
⊥
A
C.
又
AB
∩
AC
=
A
，∴
SA
⊥平面
AB
C.
由于∠
ACB
=90°，即
BC
⊥
AC
，由三垂线定理，得
SC
⊥
BC
.
（2）解：∵
BC
⊥
AC
，
SC
⊥
BC
.∴∠
SCA< br>是侧面
SCB
与底面
ABC
所成二面角的平面角.
在Rt△
SCB
中，
BC
=5，
SB
=5
5
，得
SC
=
SB
2
BC
2
=10.
在Rt△
SAC
中
AC
=5，
SC
=10，cos
SCA
=
AC51

，
SC102
∴∠SCA
=60°，即侧面
SBC
与底面
ABC
所成的二面角的大 小为60°.
（3）解：在Rt△
SAC
中，∵
SA
=
S C
2
AC
2

10
2

5
2< br>
75
，
S
△
ABC
=
125
11
1251253
·
AC
·
BC
=×5 ×5=，∴
V
S
－
ABC
=·
S
△
ACB
·
SA
=

.
75
22
3263
2
点评：本题较全面地考查了空间点、线、面的位置关系.要求对图形必须具备一定的洞 察力，并进行一定的逻辑推理.
例5. 解：如图，取EF的中点O，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B－EFG.
设点B到平面EFG的距离为h，BD＝
42
，EF
22
，
CO＝
3
×4232
.
4
2222
OCOGC< br>(322)

1842

2

G
.
而GC⊥平面ABCD，且GC＝2.
由
V
，得

V
BEFGGEFB

1
1
EF·GO·h
S
△EFB
·
GC

3
6
点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解.构造以 点B为顶点，△EFG为底面的三棱
锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这 类题的方法，从而简化了运算.
例6. 解：连OA、OB、OC、OD，则V
A－BEFD
＝V
O－ABD
＋V
O－ABE
＋V
O－BEFD

V
A－EFC
＝V
O－ADC
＋V
O－AEC
＋ V
O－EFC
又V
A－BEFD
＝V
A－EFC
，
而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，
故S
ABD
＋SABE
＋S
BEFD
＝S
ADC
＋S
AEC
＋ S
EFC
又面AEF公共，故选C
点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了 题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图
可编辑

.
形与空间几何体之间元素间的对应关系.
例7.（1）解：过
B
1
C
1
作底面
ABCD
的垂直平面，交底面于
PQ
，过
B
1
作
B
1
G
⊥
PQ
，垂足为
G
.
如图所示：∵平面
ABCD
∥平面
A
1< br>B
1
C
1
D
1
，∠
A
1
B
1
C
1
=90°，
∴
AB
⊥
PQ
，
AB
⊥
B
1
P
.
∴∠
B
1
PG
为所求二面角的平面角.过
C
1
作
C
1
H
⊥
PQ
，垂足为
H
.
由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形
B
1
PQC
1
为等腰梯形.
∴
PG
=
2h
1
（
b－
d
），又
B
1
G
=
h
，∴tan< br>B
1
PG
=（
b
＞
d
），
bd
2
2h2h
，即所求二面角的大小为arctan.
bdbd

∴∠
B
1
PG
=arct an
（2）证明：∵
AB
，
CD
是矩形
ABCD
的 一组对边，有
AB
∥
CD
，
又
CD
是面
ABCD
与面
CDEF
的交线，∴
AB
∥面
CDEF.
∵
EF
是面
ABFE
与面
CDEF
的交 线，∴
AB
∥
EF
.
∵
AB
是平面
A BCD
内的一条直线，
EF
在平面
ABCD
外，∴
EF∥面
ABC
D.
（3）证明：∵
a
＞
c
，< br>b
＞
d
，
∴
V
－
V
估
=
hacbdacbd
(cdab4)
h

62222
=
hh
［2
cd
+2
ab
+2（
a
+
c
）（
b
+
d
） －3（
a
+
c
）（
b
+
d
）］=（
a
－
c
）（
b
－
d
）＞0.
1212
∴
V
估
＜
V
.
点评：该题背景 较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考
查考生 的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差
的问题，是极具实际意义的问题.考查了考生继续学习的潜能.
例8. 解：设截面圆心为
O

，连结
O

A
，设球半径为
R
，则< br>O

A
222
在
RtO

OA
中，
OAO

AO

O
，∴
R(
2
2323
2
，
323
23
2
1
2
)R
，
34
∴
R
4
64
2

. ，∴
S4

R
3
9
点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系.
可编辑

.
例9. 解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d.
在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=
a
，
∴AB=BC=CA=
2
a
，且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′.
由正弦定理，得
2a6
=2r，∴r=
a
.
sin603
又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，
22
∴P、O、O′共线，球的半径R=
r
2
d
2.又PO′=
PAr
=
a
2

3
2
2
a
，
a
=
3
3
∴OO′=R －
3
3
22
a
=d=
Rr
，(R－
3
3< br>a
)
2
=R
2
– (
6
2
3
a
)，解得R=
a
，
32
∴S
球
=4πR
2
=3πa
2
.
点评：本题也可用补形法求解.将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的 直径就是正方
体的对角线，易得球半径R=
3
a
.
2
例10. 解：（1）如图，正四棱锥
PABCD
底面的四个顶点
A,B,C,D
在
球
O
的同一个大圆上，点
P
在球面上，
2
PO⊥底面ABCD，PO=R，
S
ABCD
2R
，
V
PABCD

16
，
3
所以
2RR
1
3
2
16
，R=2，
3
球
O
的表面积是
16

.
（2）作轴截面如图所示，
CC

6
，
AC262 3
，
22
222
设球半径为
R
，则
ROCCC

(6)(3)9

∴
R3
，∴
S
球
4

R36
，
V
球

2
4

R
336

.
3

点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积 公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素.
例11. 解：（1）如图，
A
是北纬
40
上一点，
AK
是它的半径，∴
OKAK，
o
设
C
是北纬
40
的纬线长，∵
AOBOAK40
，
o
o
∴
C2

AK2

OA cosOAK2

OAcos40

o
可编辑

.

23.1463700.76603.06610(km)

所以
北纬
40
纬线长约等于
3.06610km
．
o< br>4
4
（2）解：设经过
A,B,C
三点的截面为⊙
O

，设球心为
O
，连结
OO

，则
OO


平面
ABC
，
∵
AO


32
1243
，∴
OO

OA
2
OA< br>
2
11
，
23
所以，球心到截面距离为
11cm
．
随堂练习
（一）选择题
1. 解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A；
2. 解析：正六棱台上下底面面积分 别为：
S
上
＝6·
3
2
3
2
·2＝63
，
S
下
＝6··4＝24
3
，
44

V
台
＝
h
(
S< br>上
S
上
S
下
S
下
)

283
，答案B.
3. 解析：设长方体共一顶点的三边长分别为
a
=1 ，
b
＝
1
3
2
，
c
＝
3
，
则对角线
l
的长为
l
=
a
2
b
2
c
2

6
；答案D.
4. 解析：设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是a，b，c，则棱锥的体积V1=
V=abc，
剩下的几何体的体积为V2=abc-
1
1
1
×ab c=abc.长方体的体积
3
2
6
15
abc
abc，所 以V1：V2=1：5，故选D.
66
3
，
2
5. 解析：将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥.在梯形ABFE中，易知BN=
∴S△BCN=
2221212
11
.
故该几何体体积为
,< br>选A.
BC·HN=×1××1+2×

2443423
22
6. 解析：该几何体为直三棱柱，其表面积为2×
（二）填空题
1
×1×1+2×12+
2
×1=3+
2
，选C.
2
7. 解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V
1
+V
2
＝Sh.
可编辑

.
∵E、F分别为AB、AC的中点，∴S
△AEF
=
1
S，
4
V
1
=
1
175
1
h(S+S+
S
)=
Sh，V
2
=Sh-V
1
=Sh，
3
412
4
12
∴V
1
∶V
2
=7∶5.
点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系.最后用统一的量建 立比
值得到结论即可.
8. 解析：如图，过E作AC､BC的平行线EF､EG，分别与AA1､BB1交于F､G，连接FG.
∵三棱锥E—ABC的体积是V1，
∴三棱柱EFG—CAB的体积是3V1，
∴三棱柱EFG—C1A1B1的体积是V-3V1，
1
∵VE—A1B1C1=VEFG—C1A1B1，
3
∴VE—A1B1C1=

1
VV
(V-3V1)= -V1， 答案： -V1
3
33
9.解析：该几何体由半个圆柱和一个正方体构成的组合体. 其体积为23+
（三）解答题
1
×π×2=(8+π) cm3，答案：8+π
2

10. 解：如图所示，所得旋转体是两个底面重合的圆锥，高的和为AB=5.
底面半径等于CO=
ACgBC12

，所以所得旋转体的表面积
AB5
12
84
·(3+4)=π；
5
5

S=π·OC·(AC+BC)=π·
111
48
其体积V=·π·OC2·AO+·π·OC2·BO=·π·OC2·AB=π.
333
5
评析：求一些组合体的表面积和体积时，首先要弄清楚它由哪些基本几何体构成，再通过轴截面分析和解 决问题.
11. 解：（1）设球半径为
R
，正四棱柱底面边长为
a
，
则作轴截面如图，
AA

14
，
AC
又∵
4

R324

，∴
R9
，
∴
AC
2
2a
，
AC

CC

82
，
22

可编辑

.
∴
a8
，
∴
S
表
6423214576

（2）如图，设球
O
半径为
R
，球
O
1
的半径为
r
，E
为
CD
中点，球
O
与平面
ACD
、
BCD


切于点
F
、
G
，球
O
1
与平面
ACD
切于点
H
.
由题设< br>AG

AE
2

GE
2

6
a

3
∵ △
AOF
∽△
AEG


∴
6
aR
6
R
3
a
，得
R

12
33
aa
62
∵ △
AO
1
H
∽△
AOF

6
a2Rr
6
r
a

∴
3
，得
r

24
R
6
aR
3

∴
V
球O
1
44

6

6
3



r
3



aa


33

24

1728
3< br>点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等.
o
12. 解：设北纬
45
圈的半径为
r
，则
r
2
R
，设
O

为北纬
45
o
圈的圆心，
AO'B

，
4
∴

r
∴


22
2
R



R
，

R
，∴
24
4

2
，∴
AB2r R
，
∴
ABC
中，
AOB

3
，
所以，
A,B
两点的球面距离等于

3
R
．
点评 ：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离.
家庭作业
（一）选择题
可编辑

.
1. 解析 ：设圆柱的底面半径为
r
，高为
h
，则由题设知
h
=2πr
.
∴
S
全
=2
πr
2
+（2< br>πr
）
2
=2
πr
2
（1+2
π
） .
S
侧
=
h
2
=4
π
2
r
2
，
S
全
12

∴.答案为A.

S
侧
2

点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识.
2. 解析：设酒瓶下底面面积为S，则酒的体积为Sa，酒瓶的体积为Sa+Sb，故体积之比为1+
a′+b=h，
故a+b3. 解析：由三视图可知杯子是圆柱形的，由于圆柱形的杯子上下大小相同，所以当向杯中匀速注水时，其高度随时
间的变化是相同的，反映在图象上，选项B符合题意.故选B.
4. 解析 ：如图所示，该旋转体的体积为圆锥
C
—
ADE
与圆锥
B
—
ADE
体积之差，又∵求得
AB
=1.
∴
VV
CADE
V
BADE

5. 解析：∵S
＝
b
,
显然有aa
1513
< br>，答案D.


3

31
3232
11
ab
sin
θ
，∴
a
2
sin60° ＝
3
，∴
a
2
＝4，
a
＝2，
a
=2
r
，
22
∴
r
＝1，
S
全
＝2
πr
＋
πr
2
＝2
π
＋
π< br>＝3
π
，答案A.
（二）填空题
6. 解析：水面高度升高
r
，则圆柱体积增加
πR
2
·
r
.恰好是半径为
r
的实心铁球的体积，因此有
4
3
πr
=
πR
2< br>r
.
3
故
R23
23
.答案为.

3
r3
点评：本题主要 考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力.
7. 解析：由题意知，将该展开图沿 虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P—ABCD(如图)，其中PD⊥平面ABCD，
因此该四棱锥的体积V=
这样
的几何体，才能拼成一个棱长为6的正方体. 答案：3
1
216
3
个
×6×6×6=72，而棱长为6的正方体的体积V=6×6×6=216，故需要
3
72
可编辑

.

评析：几何体的展开与折叠问题是近几 年高考的一个热点内容，通过折叠与展开问题，可以很好地考查学生的空间
想象能力以及推理能力.解决 折叠与展开问题时，关键是弄清楚折叠与展开前后，位置关系和数量关系变化的情况，
画出准确的图形解 决问题.
8. 解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组合体，正方体的体积是1 ，正四棱锥的体积是
2
,

6
故该凸多面体的体积为
1
2
.
6

点评：通过识图、想 图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高
考从深层 上考查空间想象能力的主要方向.
（三）解答题
9. 解：（1）证明：AC=1，BC= 2，AB=
5
，∴AC2+BC2=AB2.∴AC⊥BC.
又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面PAC.又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥BC.
（2）设几何体的正视图如图所示：
∵PA=PC，取AC的中点D，连接PD，则PD⊥AC.
又平面PAC⊥平面ABC，∴PD⊥平面ABC.
∴几何体侧视图的面积=

3
11
AC·PD=×1×PD=.
4
22
∴PD=
3
.易知△PAC是边长为1的正三角形.
2

∴正视图的面积是上､下底边长分别为1和2，PD的长为高的直角梯形的面积.
可编辑

.
∴S=
12333
.

224
（3）取PC的中点N，连接AN，由△PAC是边长为1的正三角形，可知AN⊥PC，由( 1)知BC⊥平面PAC，
∴AN⊥BC，∴AN⊥平面PCBM.
∴AN是四棱锥A—PCBM的高，且AN=
由BC⊥平面PAC，可知BC⊥PC.
由PM∥BC，可知四边形PCBM是上､下底边长分别为1和2，PC的长1为高的直角梯形.
其面积S′=
3
.

2
3
1
3
.

，∴V=S′·AN=
4
3
2
10. 解：（1）证明：∵
C
是底面圆周上异于
A
、
B
的任意一点，且
AB
是 圆柱底面圆的直径，∴
BC
⊥
AC
.
∵
AA
1
⊥平面
ABC
，
BC
∵
AA
1
∩
AC
＝
A
，
AA
1
平面
ABC
，∴
AA
1
⊥
BC
.
平面
AA
1
C
，
AC
平面
AA
1
C
，∴
BC
⊥平面
AA
1
C
.
（2）设
A C
＝
x
，在Rt△
ABC
中，
BC
＝
AB
2
－
AC
2
＝4－
x
2
(0＜
x
＜2)，
4－
x
2
(0＜
x
＜2)，
1111
故
VA
1
－
ABC
＝
S
△
ABC
·
AA
1
＝··
AC
·
BC
·
AA
1
＝
x
3323
1
即
VA
1
－
ABC
＝
x
3
4－
x
2
＝
1
3
x
2
(4－
x
2
)＝
x
＝
1
3
－(
x
2
－2)
2
＋4.
∵0＜
x
＜2，0＜
x
2
＜4，∴当











x
2
＝2，即
2
2时，三棱锥
A
1
－
ABC
的 体积最大，其最大值为.
3
可编辑