梯形的周长和面积公式
手风琴谱-mgb战队
扇形公式
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在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇
形的面积就是圆面积S=πR^2，所以圆心角为
n°的扇形面积：
比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的周长：
C=2R+nπR÷180
=2×1+135×3.14×1÷180
=2+2.355
=4.355(cm)=43.55(mm)
扇形的面积：
S=nπR^2÷360
=135×3.14×1×1÷360
=1.1775(cm^2)=117.75(mm^2)
扇形还有另一个面积公式
其中l为弧长，R为半径
[1]
扇环面积
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圆环周长:外圆的周长+内圆的周长(圆周率X(大直径+小直径))
圆环面积:外圆面积-内圆面积(圆周率X大半径的平方-
圆周率X小半径的平方圆周率X(大半径
的平方-小半径的平方)
用字母表示：
S内+S外（πR方）
S外—S内=π(R方-r方）
还有第二种方法：
S=π[(R-r)×(R+r)]
R=大圆半径
r=圆环宽度=大圆半径-
小圆半径
还有一种方法：
已知圆环的外直径为D，圆环厚度（即外内半径之差）为d。
d=R-r，
D-d=2R-（R-r）=R+r，
可由第一、二种方法推得
S=π[(R-r)×(R+r)]=π(D-d)×d，
圆环面积S=π(D-d)×d
这是根据外直径和圆环厚度（即外内半径之差）得出面积。这两个数据在现实易于测量，适用于
1
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计算实物，例如圆钢管。
[2]
三角形公式
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海伦公式
任意三角形的面积公式（海伦公式）：S^2=p(p-a)(p-b)(p-c),
p=（a+b+c）2, a.b.c为三角形三边。
证明： 证一 勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC
= aha= a× = 此时S△ABC
为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D， 若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 =
证明：由证一可知，u =
v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC =
aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC
对其进行证明。
证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S =
ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r
p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角
函数的恒等式。 恒等式：若∠A+∠B+∠C
=180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如图，tg =
① tg = ② tg = ③ 根据恒等式，得： + + = ①②③代入，得：
∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图可知：
a+b－c =
(x+z)+(x+y)－(z+y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④，得： r 2
· = 两边同乘以 ，得： r
2 · = 两边开方，得： r · = 左边r · =
r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理 半角定理：tg =
tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = ×
x ③ ①×②×③,得： r3 = ×xyz
[3]
坐标公式
1：△ABC，三顶点的坐标分别为 A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2),
S△ABC=∣a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2∣2.
2:
空间△ABC，三顶点的坐标分别为A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3)C(c1,c2c3),
面积为S，则
S^2=（a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2)^2+(
a2b3+b2c3+c2a3-a2c3-c2b3-b2a3)^2+
(a1b3+b1c3+c1a3-a1c3-c1b3-b1a3)^2.
[4]
圆公式
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设圆半径为 ：r, 面积为 ：S .
则 面积
S= π·r^2 π 表示圆周率
即 圆面积 等于 圆周率 乘以 圆半径的平方
弓形公式
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设弓形AB所对的弧为弧AB，那么：
当弧AB是劣弧时，那么S弓形=S扇形－S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）。
当弧AB是半圆时，那么S弓形=S扇形=12S圆=12×πr^2。
当弧AB是优弧时，那么S弓形=S扇形+S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）
计算公式分别是：
S=nπR^2÷360－ah÷2
S=πR^22
S=nπR^2÷360+ah÷2
椭圆公式
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椭圆面积公式： S=πab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）
与短半轴长（b）的乘积。
椭圆面积公式应用实例
椭圆的长半轴为8cm，短半轴为6cm，假设π=3.14，求该椭圆的面积。
答：S=πab=3.14*8*6=150.72（cm²）
菱形公式
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定理简述及证明
菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2
菱形的面积也可=底乘高
抛物线弓形面积公式
抛物线弦长公式及应用
本
文介绍一个公式,可以简捷准确地求出直线被抛物线截得的弦长,还可以利用它来判断直线与
抛物线位置
关系及解决一些与弦长有关的题目.方法简单明了,以供参考.
抛物线弓形面积公式等于：以割线为底
，以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的34，
即：
抛物线弓形面积=S+14*S+116*S+164*S+……=43*S
定理
直线y=kx+b(k≠0)被抛物线y^2=2Px截得的弦AB的长度为
∣AB∣= ①
证明 由y=kx+b得x=代入y^2=2Px得y2－+=0
∴
y1+y2=,y1y2=.
∣y1－y2∣==2,
∴∣AB∣=∣y1－y2|=
当直线y=kx+b(k≠0)过焦点时,b=－,代入①得∣AB∣=P(1+k2),
于是得出下面推论:
推论1 过焦点的直线y=kx－（k
≠0）被抛物线y^2=2Px截得的弦
AB的长度为
∣AB∣=P(1+k2) ②
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在①中,由容易得出下面推论:
推论2
己知直线l: y=kx+b(k≠0)及抛物线C:y^2=2Px
Ⅰ)当P>2bk时,l与C交于两点(相交);
Ⅱ)当P=2bk时,l与C交于一点(相切);
Ⅲ)当P<2bk时,l与C无交点(相离).
定理应用
下面介绍定理及推论的一些应用:
例1
(课本P.57例1)求直线y=x+被抛物线y=x^2截得的线段的长?
分析:题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把x看成y用①即可.
解
曲线方程可变形为x^2=2y则P=1,直线方程可变形为x=y－,
即k=1,b=－.由①得∣AB∣=4.
例2
求直线2x+y+1=0到曲线y^2－2x－2y+3=0的最短距离.
分析:可求与已知直线平行并和曲
线相切的直线,二直线间距离即为要求的最短距离.
解 曲线可变形为(y－1)^2=2(x－1)则P=1,由2x+y+1=0知k=－2.由推论2
,令2bk=P,解得b=－.
∴所求直线方
程为y－1=－2(x－1)－,即2x+y－=0. ∴.
故所求最短距离为.
例3 当直线y=kx+1与曲线y=－1有交点时,求k的范围.
解
曲线可变形为(y+1)^2=x+1
(x≥－1,y≥－1) ,则P=12.直线相应地可变为
y+1=k(x+1)－k+2,∴b=2-k.由推论2,令2bk≤P,即
2k(2－k)≤,解得
k≤1－或k≥1+.故k≤1－或k≥1+时直线与曲线有交点.
注:曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误.
例4
抛物线y^2=2Px内接直角三角形,一直角边所在直线为y=2x,斜边长为5.求抛物线的方程.
解 设直角三角形为AOB.由题设知kOA=2,kOB=－.由①, |OA|=,
|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.∴抛物线方程为y^2=x. <
br>例5设O为抛物线的顶点,F为焦点,PQ为过的弦,己知∣OF∣=a,∣PQ∣=b,.求SΔOPQ
解 以O为原点,OF为x轴建立直角坐标系(见图),依题设条件,抛物线方程为y^2=4ax(P
=2a),设
PQ的斜率为k,由②|PQ|=,
已知|PQ|=b,k^2=.∵k^2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=,
∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π－θ)=ab
sinθ=.
常见的面积定理
1． 一个图形的面积等于它的各部分面积的和；
2． 两个全等图形的面积相等；
3．
等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；
4．
等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；
5．
相似三角形的面积比等于相似比的平方；
6． 等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两
边的乘积的比；等角的平行四边形
面积比等于夹等角的两边乘积的比；
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7.
任何一条曲线都可以用一个函数y=f（x）来表示，那么，这条曲线所围成的面积就是对X求
积分
梯形面积推导方法
1.
首先要知道给定的已知条件：梯形上底长度a，梯形下底长度b，梯形高度h；
2.
在梯形的两个对角引一条虚线，梯形的面积就可以理解为两个三角形的面积和；
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3. 假定已经掌握了三角形面积公式（如果不知道，可以从长方形面
积公式推），那
么三角形2的面积S2=12×b×h
4.
同理三角形1的面积S1=12×a×h（看不清楚可以引延长线，看清三角形1的高）
5. 5
梯形面积（整理一下）：（上底➕下底）×高➕2
S=S1+S2=12×a×h+12×b×h=12（a+b）×h
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面积公式浅谈
在小学
的教材里，有关面积的内容一般都是按照这样的顺序讲的：先将正方形长方形，然后三角形，
然后平行四
边形，最后梯形。
由此就有四五个面积公式，学生往往因为除2还是不除2而搞混
。我们按照这个顺序学完面积公
式以后，我们需要融汇贯通，从整体上看他们之间的关系。
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梯形的面积公式：S=(a+b)h2————————>三角形是上底为零的梯形(b=0)：S=ah2
平行四边形是上底和下底相等的梯形(a=b)：S=(a+a)h2=ah
长方形是边与高重合的平行四边形（h=b）：S=ab
正方形是两边相等的长方形(a=b)：S=a²
我们是从梯形出发，反看这几个
图形的面积公式关系，这样会起到融会贯通的作用，也能让学生
在突然遗忘的时候迅速得到正确答案，只
需要记住梯形的面积公式即可。当然，如果你连梯形公式都
忘记了，那还是从面积的定义——正方形开始
吧。
他们之间的面积是有这样的关系，那么长方体，椎体等这些立体图形的体积公
式有何联系么？这
是一个很有名的公式，当做课外了解。
这个公式适合于一切拟柱体，对与拟柱体的定义，可以看这里：拟柱体
长方体，正
方体，三菱锥等，这些都是拟柱体，甚至于圆也可以看做拟柱体，只不过是没有顶点
的拟柱体。公式中，
S1是上截面积，S2是下截面积，S是中截面积，h是上下截面的高。
比如在长方体中：S1=S2=ab，S=ab，所以，V=h6(6ab)=abh
圆锥里：S1=0，S2=πr²，S=πr²4。V=πr²h3
球体里：S1=S2=0，S=πr²，h=2r，V=43πr³
当然，万能公
式的魅力远不止此，否则就不会叫他万能公式，如果你把V看成面积，S1理解为
上边长，S2理解为下
边长，S理解为中边长，那么，这个公式完全可以当做面积公式用。不过首先就
是要符合他实用的范围，
即这个图形的所有顶点都在两条平行线上，等同于拟柱体的定义：所有顶点
都在两张平行平面上。且看：
梯形面积：S1=a，S2=b，S=(a+b)2，V=(a+b)h2
三角形：S1=0，S2=a，S=a2，V=ah2
这个公式的魅力在于，他将面积和体积全部一个公式表达出来，将二维空间和三维空间里的不同
概念结合
起来，实在是令人惊叹。如果你想象够丰富，你完全可以想象高维空间估计也有这样的公式
存在。
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