眼下皱纹怎么消除-神龙峡

“平行四边形、三角形和梯形的面积公式教学研究”
校本教研活动方案(二)
在本周的活动方案中，笔者主要阐述了两个方面的内容：一是平
行四边形、三角形和梯 形面积公式教学的整体思考；二是如何进行平
行四边形面积公式教学。本方案重在研究三角形和梯形面积 公式的教
学问题。
一、 活动目标
1．经历阅读、思考、解答并与同伴交流关于三 角形和梯形的面积
计算公式教学的相关资料与问题。
2．明确可以有哪些不同的方法推导出三角形和梯形面积公式。
3．了解三角形和梯形面积计算公式教学的不同思路。
二、活动内容、形式与时间
1．数学组老师每个人独立解答关于三角形与梯形面积计算公式教
学的相关问题，不集中，由每一个老师 自己抽时间书面解答问题，时
间约2小时。
2．与同事交流独立解答出的问题答案，时间约1小时；
3．教研组确定一个人上一节(或两 节)三角形(或梯形)面积公式的
教研课，数学组其他老师听课。时间约40分钟；
4．评 课与交流。(1)结合听课笔记，独立写出评课提纲，时间约
15分钟；(2)数学组全体老师进行评课 交流，时间约45分钟。(一个
年级如果有两个或两个以上的数学教师，可以在独立写出评课提纲的

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基础上，先进行年级组数学教师交流，并确定一人发言，代表年级组
到 全体数学教师交流会上发言。最后，全体数学教师评课交流。)
可以根据学校教研活动的时间和教研组 老师的情况，选择下面“活
动前准备”中的一些问题进行解答与交流。
三、活动前准备
解答下面的问题，并准备交流。(注：以下带有*号表示问题有一
定的难度。)
(一)
1．根据你们学校使用的这套教材，学生在学习三角形面积计算
公式之前，有 哪些经验、知识、能力与推导三角形面积计算公式关系
密切？
2．在上三角形面积公式这节课 前，某教师想为学生准备一些用
白纸做的三角形学具，以便学生在课堂上操作。你觉得：
(1) 应该为学生准备不同类型的三类三角形，即分别准备锐角、
直角和钝角三角形各若干个 ，还是只准备一类锐角三角形就可以了？
为什么？
(2)应该为学生准备一些空白的纸质三角 形，还是应该在纸质的
三角形上标出一组底和高的长度？为什么？
(3)如果要标出一组底和 高的长度，那么选择哪些数据比较合
适？就数据的奇偶性来说，底与高的长度数是选择偶数合适，还是奇
数合适？还是奇、偶数都无所谓？为什么？
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(4)是否应该准备一些有网格背景的三角形(也就是在方格纸上
画三角形)？理由是什么？是不是会有部分学生求不出空白的三角形
面积，但有了网格背景后，他们能够 求出三角形面积？如果有这样的
学生，根据你的经验，这部分学生数占全班学生数的百分比大约是多少？
3．*查一查不同版本教材，三角形面积教学这节内容，有哪几个
版本的教材给出了 网格背景？哪几个版本教材给出的三角形中，标注
出了一组底与高的数据？这些数是奇数，还是偶数？想 一想并写一
写，通过这样的比较你发现了什么？你认为在上三角形面积这节课
前，学生准备哪些 操作材料是合适的？为什么？
4．如果在方格纸中画一个三角形，并标注出这个三角形的一条
底边的长和这条底边上高的长度，要求学生求出这个三角形的面积。
(1)学生可能会有哪些方法？
(2)阅读下面的每一种转化过程，并象第①种转化方法那样，根
据图示请你写出相应的计算三 角形面积的算式。
问题：如下图所示，求三角形ABC的面积是多少？
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第①种转化方法的图示：
求三角形面积的算式：
三角形面积=长方形的面积
=6×(4÷2)
=底×(高÷2)
=底×高÷2
第②种转化方法的图示：
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第③种转化方法的图示：
第④种转化方法的图示：
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这种转化方法是把 这个三角形面积转化成两个长方形的面积。就
是沿三角形水平的这条中位线对折，然后把左右两个三角形 往右或左
折。这样就得到一个长方形，三角形的面积是这个长方形面积的两倍。
第⑤种转化方法的图示：

画出三角形底边上的高，联系整个长方形，就 可以知道三角形
(1)与三角形(2)的面积相等，三角形(3)与三角形(4)的面积相等。
5．上题中有五种不同的方法求出三角形的面积计算公式，如果
在教学中要引导学生理 解推导的过程，那么，虽然这些方法不同，但
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— 在教师引导学生理解时，有哪些共同点？想一想，下面的这些引导过
程是教学这些方法时共同的地方 吗？
(1)要为学生准备多个要求面积的图形，并要把转化前后的两个
图形都要呈现 给学生观察，而不能因为剪拼不呈现原来的图形；可以
让学生先想象原来的图形，再呈现出来。
(2)要引导学生观察、比较转化前后的两个图形面积是否有变化；
(3)要引导学生观察分 析，要求出转化后的图形的面积需要知道
哪几条线段的长度，这些线段的长度是否已经知道；
(4)怎样由转化后图形的面积计算公式得到三角形的面积计算公
式；
(5)虽然转 化的过程不同，计算的算式也有不同，有三角形面积
等于底×(高÷2)，有三角形面积等于(底÷2) ×高，但都可以统一成
三角形面积等于底×高÷2这样一个公式。
6．大家知道，可 以用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边
形的方法推导出三角形的面积计算公式。这种解决问题的方 法，学生
在学习平行四边形面积计算公式时并没有接触到，这是第一次运用这
种方法求出一个平 面图形的面积，这种方法为求梯形面积公式奠定了
方法上的基础。
(1)你觉得可以怎样引导 ，能够让更多的学生自己想到用两个完
全一样的三角形拼成一个平行四边形的这种推导方法？
(2)有人认为：在学习长方形与平行四边形概念时，就要求学生
通过剪、拼的方法，明确一个长方形可 以剪成两个完全一样的直角三
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角形，一个 平行四边形可以剪成两个完全一样的锐角三角形或两个完
全一样的钝角三角形。反过来，两个完全一样的 三角形可以拼成一个
平行四边形(包括长方形)。在概念教学时，让学生有这样的操作活动，
会 使得更多的学生在求三角形面积时，想到用两个三角形拼成一个平
行四边形的这种推导方法。你同意这个 观点吗？为什么？也有人认
为：在学习三角形面积计算公式这节课开始时，让学生进行上面的剪、
拼等操作活动，也可以让更多的学生想到这种推导方法。如果我们把
前一种铺垫叫做远铺垫，后一种叫 做近铺垫，那么，你喜欢远铺垫，
还是近铺垫？为什么？
(3)以下是两种推导出三角形面积 计算公式的教学思路：思路一，
从平行四边形出发，把一个平行四边形分割成两个完全一样的三角
形，根据平行四边形面积等于底乘高，从而求出三角形的面积等于底
乘高除以2；思路二，用两个完全 一样的三角形拼成一个平行四边形，
再根据平行四边形的面积公式得出三角形的面积计算公式；你觉得这
两种推导过程是否一样？如果有不同，主要的差异是什么？
7．推导三角形面积计算公式有多种方法，如果按照“独立思考
---小组交流----全班汇 报”这样的顺序进行教学，那么在学生汇报方
法时，你觉得，有没有必要对某一种或几种推导方法(如两 个完全一
样的三角形拼成一个平行四边形的方法)特别重视，要求全班每一个
学生都掌握这种推 导的方法？还是每一种方法只要求学生理解就可
以了，并不要求学生自己会推导？为什么？
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8．在推导三角形面积计算公式时，是否 可以先解决直角三角形
面积计算的问题，然后把锐角三角形与钝角三角形转化成直角三角形
的方 法求出面积，再归纳出三角形面积计算公式？想一想，如果按照
这样的思路设计三角形面积这节课，教学 流程可以是怎样的？以下的
教学流程是否能够体现出上面的设计思路？
(1)开门见山揭示今 天研究的课题：三角形面积。长方形与平行
四边形都有了自己的面积计算公式，也就是只要知道长方形与 平行四
边形中几条线段的长度，就可以通过计算求出它们的面积。三角形的
面积是否也有计算公 式呢？今天这节课我们一起来研究。
(2)三角形可以分成哪几类？想一想，哪一类三角形的面积可能
容易求出？结合下面的图，引导学生先研究直角三角形的面积。

(3)在下面的网 格中，如果一个小正方形的边长是1厘米，那么，
下图中两个直角三角形的面积分别是多少？如果也要像 长方形与平
行四边形这样，知道它们图形中的几条线段的长度，通过计算求出面
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积，那么在求出直角三角形的面积时，要知道(测量出)哪几条线段的
长度？公式是怎样的？

在求第(1)个直角三角形的面积时，引导学生运用不同的方法得到
它的面积：①数 方格的方法得到这个直角三角形的面积是8平方厘
米；②通过剪、拼的方法得到一个2×4的长方形，求 出它的面积是
2×4=8平方厘米；③以这个直角三角形的三个顶点作为一个长方形
的三个顶点 ，再确定这个长方形的第四个顶点，得到一个4×4的长
方形(正方形)，这个直角三角形的面积是这个 长方形面积的一半，即
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4×4÷2=8 平方厘米。进而归纳出直角三角形面积等于底×高÷2。
再要求学生运用公式求第(2)个直角三角形的 面积，并用其他方法验
证运用公式求出面积的正确性。最后要求学生求出第(3)个直角三角
形 的面积。
直角三角形的面积=底×高÷2，那么，其他类型的三角形面积计
算公式可能会是怎 样的呢？进一步猜想：锐角(或钝角)三角形面积=
底×高÷2。
(4)出示下图，让学生自己研究锐角三角形的面积；


学生求出这两个 三角形的面积可以有不同的方法，其中重视引导
学生通过作高，把锐角三角形转化成两个直角三形，并用 求直角三角
形面积的方法求出锐角三角形的面积，最后归纳出：锐角三角形的面
积=底×高÷2 。
(5)出示下图，让学生研究钝角三角形的面积。
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与求锐角三角形面积的思路一样，引导学生转化成直角三角形求
出钝角三角形的面积。在求第(2)、(3)这两个钝角三角形面积时，可
以有多种方法，根据 已知不同的底和高，用不同的方法求出面积。如
果是已知钝角所对的边的长度(作为底)，与它相对应的 高，那么求图
(2)或(3)面积的方法与求图(1)的面积一样。如果已知一只锐角所对的
边 的长度(作为底)，与它相对应的高，就可以用一个大的直角三角形
面积减去一个小的直角三角形面积得 到钝角三角形的面积。最后归纳
出钝角三角形的面积=底×高÷2。从而得到一般的三角形面积计算公< br>式。
(二)
9．根据你们学校使用的这套教材，学生在学习梯形的面积计算
公式之前，有哪些经验、知识、能力与推导梯形面积计算公式关系密
切？，在运用剪、拼转化的思想方法 (大的思想方法)上，推导梯形面
积公式是否存在有别于推导长方形，平行四边形、三角形面积公式的< br>方法？
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10．在上梯形的面积 这节课时，你会创设怎样一个情境，让学生
感受到需要解决梯形面积的计算问题？
下面是现行的几个套教材，设计的问题情境，你喜欢哪一个情境，
为什么？
教材
人教版
青岛版
北师大版
浙教版
苏教版
问题的设计
车窗的玻璃是梯形，面积是多少？
甲鱼池的形状是梯形，它的面积是多少？
一个堤坝的横截面形状是梯形，它的面积是多少？
水坝的横截面是什么形状？它的面积是多少？
把梯形剪下，看看哪些能拼成平行四边形？拼一 拼，求拼成
的平行四边形和每个梯形的面积是多少？
西南师大
版
直接给出一个梯形。你会用这个学具探索梯形面积计算吗？
11.想一想，可以有哪些不同的转化方法推导出梯形的面积计算
公式？
12．如果 已知梯形的上底是4厘米、下底是6厘米、高是2厘米，
那么下面这些不同的图示所表示的思路都可以推 导出梯形的面积计
算公式吗？请你根据这些图示写出相应的推导算式。

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例如：根据第(3)个图，推导梯形面积计算公式的算式是：
梯形面积=两个三角形面积的和
=4×2÷2+6×2÷2
=上底×高÷2+下底×高÷2
=(上底+下底)×高÷2
又如，根据第(9)个图，推导梯形面积计算公式的算式是：
梯形面积=平行四边形面积减去三角形的面积
=(6×2)-(6-4)×2÷2
=(下底×高)-(下底-上底)×高÷2
=下底×高-下底×高÷2+上底×高÷2
=下底×高÷2+上底×高÷2
=(上底+下底)×高÷2

1 3．在班级授课制教学中，常常有部分学生已经知道梯形面积计
算公式，而有些学生不知道公式。对于知 道公式的学生来说，需要验
证公式的正确性，说清楚为什么梯形面积计算公式可以是这样的。对
于不知道公式的学生来说，需要探索、寻找公式可能是怎么样的。这
两种思路是不一样的，前者是寻找公 式成立的理由，后者是寻找公式。
你觉得教师在上课时，如果兼顾这两种思路，使得每一部分学生都能< br>在原有的基础上得以发展？
14．有人认为，可以用梯形的面积计算公式“统领”长方形、平< br>行四边形、三角形的面积计算公式。也就是说，可以把长方形、平行
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四边形、三角形的面积计算公式看成梯形计算面积公式的特殊情况，
你同意这个观点吗？为什么？阅读下文，你觉得这样的观点是否有道
理？
梯形的面积=(上底+下底)×高÷2，当
(1) 上底=下底时，从图形的角度看，梯形变 成了平行四边形或长
方形；从面积公式的角度看，这时的梯形面积=2×底×高÷
2=底×高或 长×宽。就是平行四边形或长方形的面积计算公
式。所以可以把长方形与平行四边形的面积计算公式看成 梯
形面积公式的特殊情况。
(2) 上底=0时，从图形的角度看梯形就成了三角形。从计算 公式
角度看，梯形的面积=下底×高÷2，实质上就是三角形的面
积公式，即底×高÷2；所以 三角形的面积计算公式可以看成
是梯形面积计算公式的特殊情况。
15.从上题可知，长方形 、平行四边形、三角形的面积计算公式
都可以看成是梯形面积计算公式的特殊情况，因此，有人认为：长 方
形、平行四边形和三角形也是梯形的特殊情况，从概念的相互关系上
看，可以有以下的关系：
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你同意上述观点吗？为什么？

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