初中数学数学论文三角形面积公式的五种推导方法
6字游戏名-柱子
三角形面积公式的五种推导方法
六年制小学数学第九册《三角形面积的计
算》一节，教材上是这样安排的：一、明
确目标；二、用数格的方式不能确定三角形的面积；三、能否转
化成以前学过的图形进行计
算？四、拿两个全等的直角三角形可以拼成以前学习过的学习过的长方形和平
行四边形，直
角三角形的面积是长方形和平行四边形面积的一半；五、验证锐角三角形和钝角三角形是否
也能拼成平行四边形；六、三次试验确定所有类型的三角形能转化成平行四边形，两者的关
系是
“等底等高，面积一半”；七、总结三角形的面积公式。
我们在多次的课堂教学实践和课下辅导过程中
，发现上面的几个“环节”有些地方不
太符合学生的认知特点。具体分析一下：
第一步没什么问题，每个教师都有自己的导入新课的方式。
第二步也没有什么：学生在学习长
方形和正方形的面积时用的是“数格”的方式。学
习平行四边形时用的是切割再组合的方式，就是所谓的
“转化”。在大部分学生对面积这个
概念的理解还不十分透彻的情况下，面对三角形，学生们的首选方法
就是“数格”。因为这
是学生学习有关面积计算的第一经验，第一印象，第一个技巧。也是最简单，最直
接（当然
也是最麻烦）的方法。
关于第三步：教材上只有一句话：能不能把三角形转
化成已经学过的图形再计算面
积。这是化未知为已知的思维方式，我们常给初中学生提起这些认知策略，
但它的基础却在
小学阶段和学生的日常生活经验中。教材把这个重要的数学思想一笔带过，把挖掘其内涵
，
为学生建立辩证观念的重任留给了老师。但很多老师并不特别重视这句话，只是把它当作一
个
过渡句，当成进入下面环节的引言。
第四步。转化是一定的。但是，转化成什么？怎么转化？把三角
形转化成“能计算的
图形”大致有五种情况。教材推荐的是第五种（如图）。教材上的引导方式只有教师
的主导
性，而忽视了学生的主体位置。
前面提到，学生计算三角形面积的首选方法是数格，那
么次选方法是什么？他们的第
二方案应该还是在自己的经验中寻找帮助。这些经验当中，与计算面积有关
的直接、简单、
容易操作的内容就是在前面的几节课刚学过的“切割平行四边形成长方形”的方法。他们
对
“切割”这个动作记忆犹新。因为：一、这个技巧刚刚学过；二、切割是个动作，但这个动
作
能把不规则变规则，所以印象深刻；三、这个简单的动作能完成面积计算的任务。所以他
们的下一步动作
会是模仿上一节课的做法，想办法切割三角形的某一角移动填补另一角，变
三角形成长方形或平行四边形
。按这个说法，学生在寻找计算三角形面积的方法时，他首先
会在他手中所拿的三角形卡片上琢磨，对这
个三角形进行加工处理。在不得要领，或是找到
了办法，问题解决了，但心有余味，继续探索下去时才会
考虑到利用其他内容扩展思考空间，
再找一个一样的三角形牵线搭桥，把思路引到问题的外面。
教材中还有一点缺失：学生在教师的引导下用两个“全等”三角形进行拼接时，是一
个尝试的过程。教
材举例说：小华拼出了一个长方形一个平行四边形。小林拼出了两个三角
形——一个人拼的全是能利用的
，一个人拼的全是不能用的，两个人的对比太大。我们想这
1
不是
教材的疏漏，是为了突出教学任务和目标。另外，教材举的例子是两个三角形能拼成一
个长方形和一个平
行四边形。但实际上能拼成两个平行四边形，加上长方形就是有三个图形
是已经学习过的，都能用来推算
三角形面积。教材忽略这个没有列出的平行四边形，我们猜
可能是因为它的倾斜度过大，在视觉上有一种
要“倒”的感觉。如果学生受视觉效果的影响，
注意力分散，会影响到他们分析两种图形的底、高和面积
的关系。也可能是基于简单化原则，
有两个就够了，何必要三个。但是按这个说法，要一个就够了，何必
两个。
按照教材设定的思路，我们可以设想：学生手拿三角形，听老师布置完任务。怎么拼，
能拼出什么都不太清楚，只能先随便的拼一下试试。如果运气好或者预想能力较强，可能直
接拼出平行四
边形和长方形。学生在试验时，会发现不等边拼接没有后续效果，因为这些组
合图形都不规则，不能把握
。然后，学生会把注意力放在那些特殊图形上。一类是那些中心
对称的平行四边形，这是学习过的内容；
一类是那些左右对称的凸多边形，这是好奇心驱使，
随后即会放弃。学生的试验，开始可能是无序状态，
随着注意的集中，目标一个一个的出现，
学生的意识中必定会对自己刚才的所有拼接进行回顾（很多时候
这个回顾是无意识的），找
到拼出所有图形的方法得出两个全等三角形能顺次拼出三个形状不同的平行四
边形的结论，
使自己的思维进入有序状态。
教材把这个过程缩减了，有些教师则更希望把它压
缩成一个或几个动作，为后面的讲
解和练习挤出时间，不愿把时间精力浪费在这个非目标、非重点、也非
难点的中间环节上。
认为只要知道了转换的道理，就有了“等底等高，面积2倍”这个重点的突破。在动
手操作
上延长时间，势必影响教学目标的讲解和强调。
其实这是个误解。公式的推导过程本身
也是对公式的熟悉过程，过程熟悉了，结果也
就熟悉了。以后也就无须用多的吓人的练习题让学生做，把
公式强印到学生的脑子中。举一
个化学上的例子：两种物质能发生反应，这是先决条件。但是反应所需要
的环境如加热、电
击、搅拌或是放在溶液中使其反应更充分，以及催化剂等这些控制反应进行的因素也很
重要，
甚至是必须的。学生在探寻知识的过程中所取得的经验和教训就是知识发挥作用的控制因
素。一般上，我们认为把知识放在问题中，解决问题，知识的作用就发挥出来了。但是，问
题从何而来？
来自思维。思考什么？思考我们看到的，感觉到的。如果对周围事物的发展、
变化、规律、联系、相互作
用、矛盾冲突以及相似性、特殊点（这些名词、概念确实存在于
我们的意识和思维中）没有任何的反应，
就不会产生问题、提出问
2