正弦定理的变形及三角形面积公式
受宠的象-abstain
第二课时 正弦定理的变形及三角形面积公式
【选题明细表】
题号
知识点、方法
易
正弦定理的变形应用
三角形面积公式的应用
正弦定理的综合应用
正弦定理的实际应用
基础达标
1.在△ABC中,若sin
A>sin B,则有( C )
(A)ab (D)a≤b
解析:∵a=2Rsin A,b=2Rsin B,
又sin A>sin B,
∴a>b.故选C.
2.已知△ABC中,A∶B∶C=1∶1∶4,则a∶b∶c等于(
C )
(A)1∶1∶4 (B)1∶1∶
(C)1∶1∶ (D)1∶2∶
解析:∵A∶B∶C=1∶1∶4,
1、2、6
3、7
5
8
9、10
中
4
∴A=30°,B=30°,C=120°,
∴a∶b∶c=(2Rsin
A)∶(2Rsin B)∶(2Rsin C)
=sin A∶sin B∶sin C
=sin 30°∶sin 30°∶sin 120°
=1∶1∶.故选C.
3.在△ABC中,若A=75°,B=45°,c=6,则△ABC的面积为( A )
(A)9+3 (B)
(C) (D)
解析:∵A=75°,B=45°,
∴C=60°,b===2,
=9+3.
∴S
△ABC
=bcsin A=×2×6×
故选A.
4.(2013即墨
实验高中高二月考)在锐角三角形ABC中,a,b,c分别是
内角A,B,C的对边,设B=2A,则
的取值范围是( B )
(A)(-2,2) (B)(,) (C)(,2)
(D)(0,2)
解析:由锐角三角形知
又B=2A,A+B+C=180°,
∴30°
5.(2013连江一中高二期中联考)若三角形的三个内角成等差数列,对
应三边成等比 数列,则三角形的形状是( C )
(A)等腰三角形 (B)直角三角形
(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形
解析:设三角形的三角为A,B,C,所对的边分 别为a,b,c,则
A+C=2B,ac=b
2
,
∵A+C+B=180°,
∴2B+B=180°,即B=60°.
又由ac=b
2
及正弦定理,得
sin Asin C=sin
2
B=sin
2
60°=,
令A=60°-α,则C=60°+α,
∴sin(60°-α)·sin(60°+α)=,
(cos α+sin α)=,
cos
2
α-sin
2
α=.
∵cos
2
α+sin
2
α=1,
∴sin α=0,
又-60°<α<60°,
∴α=0°,
∴A=B=C,
∴三角形是等边三角形.故选C.
6.在△ABC中,若b=,B=60°,
则
解析:由正弦定理
知
∴
答案:2
能力提升
=
=
,
=2.
===2R,
= .
7.(2011年高考福建卷)若△ABC的面积为,BC=2,C=60°,则边AB的
长度等于
.
解析:由于S
△ABC
=,BC=2,C=60°,
∴=×2×AC×,
∴AC=2,
∴△ABC为正三角形,
∴AB=2.
答案:2
8.如图所示,我炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位
于地面点C和
D处,已知CD=6000 m,∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面
上点
B处时,测得∠BCD=30°,∠BDC=15°,求炮兵阵地到目标的距离.(结
果保
留根号)
解:在△ACD中,∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°,
∴AD==CD.
在△BCD中,∠CBD=180°-30°-15°=135°,
∴BD==CD.
在△ABD中,∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°,
∴AB==·CD=1000(m).
m. 即炮兵阵地到目标的距离为1000
9.在△ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,且b=acos
C,△ABC
的最大边长为12,最小角的正弦值为.
(1)判断三角形的形状;
(2)求△ABC的面积.
解:(1)由正弦定理知=
∵b=acos C,
∴cos C=,即sin B=sin Acos C,
,
∵A+B+C=π,
∴sin(A+C)=sin Acos C,
即cos Asin
C=0,
在△ABC中sin C≠0,
∴cos A=0,
∴A=,
∴△ABC为直角三角形.
(2)由题意知a=12,不妨设最小角为C,
∴sin C=,
则cos C=,
∴b=acos C=12×=8,
∴S
△ABC
=absin C=×12×8×=16.
10.(2012
年高考大纲全国卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a、b、
c,已知cos(A-C)+co
s B=1,a=2c,求C.
解:由B=π-(A+C),得cos B=-cos(A+C),
于是cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C)=2sin Asin
C,
由已知得sin Asin C=,①
由a=2c及正弦定理得sin A=2sin
C,②
由①②得sin
2
C=,
于是sin C=或sin
C=-(舍去),
又a=2c>c,
∴A>C,即C为锐角,
∴C=.