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关于圆面积公式的两种算法
指导老师：蒲和平
作者：王帅（2）
【摘要】 本文通过运用现有所学知识用两种不同的方法推
导出圆面积的计 算公式
S

r
2
.
【关键词】圆；弧长；半径；圆周角；面积；坐标系；
一 引言
中学阶段我们学过圆的面积公式
S

r
2
，但 当时老师只给了
我们这个公式，却没有将其推导出来。如何推导圆面积公式
这个问题困惑了我很 久。经过近一学期的大学高等数学的学
习后，我试着将其推导，结果发现运用所学知识能轻易将其
推导出来，并有两种不同的方法。
二 相关知识
1 弧长公式
L

r

L2

r
2 圆周长公式
三 推导
在推导前，我们可以先看看圆周长公式的推导方法，从而为
圆面积的推导提供思路。
圆周长公式的推导：运用积分的思想，我们可以将圆无限分
为许多小扇形，每个小扇形都可以近 似看成一个小三角形 ，
如图

每个小三角形的两个边的长都是半径r，所以为等腰三角形，
小三角形顶角为

，腰长为
r
，
底边长近似为圆弧长
L

r
。用积分的思想，以

量我们可以得到圆周长的公式

0
2

(0



)
为变
2
2

r
。
rd



r|
0
我们可以借鉴上述推导方法来推导圆面积的公式。于是有了
第一种推导方法。
第一种推导方法：
我们可以将圆无限分割为许多小扇形，每个扇形都可以近似
看作一个等腰三角形。则每个小扇形的面积为
11
S

rr

r
2

22

用积分的思想，以

(0


)
为变量，我们可以得到圆面积公
式
S
2

0
1
2
11
2

rd



r
2
|
0


r
2

222

第二种推导办法：
我们可以建立一个坐标系，将原点定为圆心，如图






则满足方程
x
2
y
2
r
2
(rx,yr)
。
建立函数
yr
2
x
2
(0xr)
，
运用积分的思 想，我们将该函数积分，所得值为圆面积的
1
倍
4
则圆面积可以表示为： < br>S4

r
0
r
2
x
2
dx< br>
r
2
。
参考文献
【1】 王绵森，马知恩 工科数学分析基础【M】高等教育
出版社