目光李汉荣-带文字的头像

三角形面积公式
S

湖南省慈利县第一中学（427200） 卢伯友

本文介绍顶点为
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),O(0 ,0)
，的三角形的面积公式，并说明它在解题
中的应用。
公式 设
A( x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，
O(0,0)
，则
AOB
的面积
S
1
x< br>1
y
2
x
2
y
1
2
在解题中的应 用
1
x
1
y
2
x
2
y
1
（1）
2
证明：直线
AB
的两点式方程为
(y
1
y
2
)(xx
2
)(x
1
x
2
) (yy
2
)
，即
(y
1
y
2
)x (x
1
x
2
)yx
1
y
2
x
2
y
1
0
，点
O
到直线
AB
的距离为
d
x
1
y
2
x
2
y
1
(x
1
x
2
)(y
1
y
2
)22

x
1
y
2
x
2
y
1
AB

所以，
AOB
的面积
S
11
A Bdx
1
y
2
x
2
y
1
。
22
我们把上面的公式（1）叫做三角形面积公式的坐标式。它结构简单，形式优美，好记
好用 。用它解决近几年高考试题中与三角形面积有关的某些解析几何问题，能起到化繁为简，
化能为易的作用 。下面通过三个例题谈公式的应用。
x
2
y
2
1
交于
P

x
1
,y
1

，例1、（2011年 山东理科第22题）已知直线
l
与椭圆
C:

32
Q

x
2
,y
2

两不同点，且
OPQ
的面积
S
6
,其中
O
为坐标原点。
2
（Ⅰ）证 明
x
1
2
x
2
2
和
y
1
2
y
2
2
均为定值;
（Ⅱ）设线段
PQ
的中 点为
M
,求
OMPQ
的最大值；
（Ⅲ）椭圆
C
上是否存在点
D,E,G
,使得
S
ODG
S
OEG< br>S
ODE

6
,若存在，判断
2
DEG
的形状；若不存在，请说明理由。
分析
得：
S
x
1
 3cos

,y
1
2sin

；
x
2< br>3cos

,y
2
2sin

。代人公式（1）
166
x
1
y
2
xycos

sin

sin

cos

S
，又因为，所以，21
222
cos

sin

sin
cos

1
，即，
sin(



)1
。所以，




故
x
1
x
2
3cos

222

2
k

，
(kZ)

3cos
2

3[cos
2

cos
2
(



2
22
k

)]3
。同理，
y
1
y
2
2

所以
x
1
2
x
2
2
和
y< br>1
2
y
2
2
均为定值。（Ⅱ）（Ⅲ）略
评析：这 里应用三角形面积公式的坐标式及用椭圆的参数方程形式表示椭圆上的点的坐
标，将已知条件转化为三角 函数求值问题，避免了复杂的运算。使解题过程清晰流畅，令人
赏心悦目，流连忘返。
x2
y
2
6
例2（2007年陕西理科第21题）已知椭圆
C:< br>2

2
1(ab0)
的离心率为，
ab
3短轴一个端点到右焦点的距离为
3

（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
（Ⅱ）设直线
l
与椭圆
C
交于
A
、
B两点，坐标原点
O
到直线
l
的距离为
面积的最大值
3
OB
，求
A
2
x
2
y
2
1
（过程略）分析：（Ⅰ）。
3
（Ⅱ）设
A(x
1
,y1
),B(x
2
,y
2
)
，由公式（1）知
 AOB
的面积
S
2
x
2
x
1
2
x
2
3
x
1
33
22

y
2< br>y
1
(y
1
)(y
2
)
23
2332
3
1
x
1
y
2
x
2
y
1

2
由柯西不等式取等号的条件，可得
AOB< br>面积的最大值为
3

2
评析：三角形面积公式的坐标式和柯西不等式联手，大大简化了计算过程和解题长度。 y
2
x
2
例3（2009年陕西理科第21题）已知双曲线
C< br>的方程为
2

2
1(a0,b0)
离心
ab< br>率
e
2
5
5
，顶点到渐近线的距离为
5
2
（Ⅰ）求双曲线
C
的方程
（ Ⅱ）
P
是双曲线
C
上一点，
A
、
B
两点在 双曲线
C
的两条渐近线上，且分别位于第

1
一、二 象限，若
AP

PB
,

[,2]
，求
AOB
的面积的取值范围
3
y
2
x
2
1
（过程略） 分析：（Ⅰ）4
（Ⅱ）由第（Ⅰ）问知双曲线
C
的两条渐近线方程为
y2x
，设
A(x
1
,2x
1
)

B(x
2
,2x
2
)

(x
1
0,x
2
0)
由公式（Ⅰ）知
S< br>AOB

1
2x
1
x
2
2x
1
x
2
2x
1
x
2

2


又由
AP

PB得
P
的坐标，为
x
1


x
22x
1
2

x
2
(1

)
2
(,)
，将
P
点的坐标代入双曲线方程，化简得
x
1< br>x
2


1

1

4

S
AOB
(1

)
2
11
(

)1

2

2

1
21111
）+1，

[,2]S'(

)（1-
2
）


32

189
S'(

)0
得

＝1
，又
S(1)2

S()

S(2)

334
18
当

1
时，
S(

)
取最小值2，当

< br>时，
S(

)
取最大值
33
8
AOB
面积的取值范围是
[2,]

3
记
S(

)（

+
评析：在寻找目标函数
S(

)
的过程中，以坐标为桥梁，将
AOB
的面积表示为2x
1
x
2
。

这里，恰当设出动点
A,B
的坐标并由
AP

PB
将
P
点的 坐标用
A,B
两点的坐标表示是解
题的基础。
下面，提供一道练习供同学们思考：
1
x
2
y
2
1
，（2006年上海高考题）已知椭圆的方程为点
A
的坐标是
(1,)
，过原点
O
2
4
的直线交椭圆于
B,C
两点，求< br>ABC
面积的最大值。（答案：
2
）