圆面积公式的各种证明方法_刘晓丽、李小龙
岳飞莫须有-和氏献璧
圆面积公式的各种证明方法
证明方法1：转化（小学段）
（1）拼成平行四边形，4份，8份，16份。
（2）拼成长方形。
近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。
长方形的面积 =
长 × 宽
圆的面积 = πr × r
所以，圆的面积公式是：S =πr²
（3）拼成两层平行四边形（两层）
近似平行四边形的面积 = 底
× 高
圆的面积 =
1
2
C
× 2r
=
1
2
πr ×
2r
所以，圆的面积公式是： S =πr²
（4）用三角形（小）拼
1
三角形的面积 =
2
× 底 × 高
11
圆的面积 =
2
×（
16
× C
）× r ×16
所以，圆的面积公式是：S =πr²
（5）拼成梯形
梯形的面积 =
1
2
（上底+下底）× 高
圆的面积 =
15
+
3
2
×（
16
16
）× C × 2r
所以，圆的面积公式是：S
=πr²
拼成三角形（大）
（6）三角形的面积 =
1
2
底 ×
圆的面积 =
11
2
×（
4
× C ）× 4r
所以，圆的面积公式是：S =πr²
高
证明方法2：
半径为r的圆的圆周长为2πr
1.先将圆周等分成n份:每份长为2πrn.
2.连接每个分点与圆心,并且连接各个分点,组成三角形.
3.那么,根据三角形面积公式
,该圆的面积近似等于:(n-1)·r·(2πr)n2.(因为在n充分大时,各个三角形的高近似等于r,
并且有n-1个三角形,所以
有该公式)
取极限:lim
(n→+∞)(n-1)·r·(2πr)n2,因为lim(n→+∞)(n-1)n=1
所以lim (n→+∞)(n-1)·r·(2πr)n2=πr^2
证明方法3：极限法（高中段:
以圆的正n边形表示圆的面积:
设圆的半径为
r,内接一个正n边形,它的任意一边所对的圆心角为2πn,先算出其中一个三角形的面积(用两边夹角的公式
S=(12)a*b*sinC),
然后得到这个正n六边形的面积:
Sn=(n2)r²sin(2πn)
当n无限增大时,内接正n边形的形状无限接近于圆
,它的面积也无限接近圆的面积.求这个极限要用一高等数学中一个重要的极限公式(函数
的极限):
当x→0时,lim[(sinx)x]=1
[题外话:这个极限的几何意义是,当x无限
减小时,y=sinx的图象与直线y=x是重合的,在这种情况下,我们可以用x的值来代替sinx,以在某
些
领域做近似计算]
把Sn变形:
Sn=πr²lim[sin(2πn)(2πn)]
于是,当n→∞时,2πn→0
lim[sin(2πn)(2πn)]=1
Sn=πr²
证明方法4：极坐标法
设圆的极坐标方程R(θ)=R
圆心角为dθ扇形的面积dA=12R^2dθ.
则圆的面积为A=∫(0-2π)dA=∫(0-2π)12R^2dθ=πR^2
在极坐标
系中，圆心在原点，圆的半径r。取一微小的圆心角dθ，对应的弧长rdθ，由于rdθ极短，可以看成直线，
则这个微小的扇形可以
看成是一直角三角形，面积ds=(12)*r*r*dθ。
对ds积分就得到圆面积：S=∫ds=(12)∫(r^2)dθ（积分下限为0，上限为2π），
所以S=πr^2
证明方法5：微积分
一个圆可以看成是无数个同心圆
环组成，设所求圆的半径为R，任取某一个内径为r，外径为r+dr的同心圆环，由于dr很小，可以认
为将圆环沿径向剪开后，展开得到的是一个长为2πr，宽为dr的矩形（近似的),易知其面积为2πrdr
。设面积微元dA=2πrdr。A=∫2πrdr（积
分下限是0，积分上限是R)=πR^2
证明方法6：见下图