李斯特钢琴曲-七上八下舞蹈教学

椭圆面积公式的推导
韩贞焱 （贵州省遵义四中 563000）

椭圆面积公式S=

ab（其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的< br>长）.在中学数学教材中，仅在高中《平面解析几何》的习题中作为已知
公式给出过，直到高等数 学的定积分学习时才给出定积分推导.现用初等
数学方法作两种推导，供读者参考.

定理1
. 若夹在两条平行直线间的两个平面图形，被平行于两条平
行直线的任一直线 所截，如果截得的两条线段长的比例总相等，那么这两
个平面图形的面积比等于截得线段长的比 .
注：此定理相当于祖暅原理的推论，故证明从略.
x
2
y
2< br>方法一：
设椭圆C的方程为
2

2
1
（a>b>0 ）,辅助圆C
'
的方程
ab
为x
2
+y
2
=b
2
,且一直线L：y = m（
bmb
）与两曲线相交,交点分别为
M（x
1
, m）、 N（x
2
, m）及P（x
3
, m）、Q(x
4
, m)，如图1.

ym
a

b
2
m
2
， 由

x
2
y
2
解得 x
1、
=
2
b

2

2
1
b

a
此时，
x
1
x
2
=
2a
2
bm
2
；
b

ym
22
由

2
解得x=±, （图1）
bm
3,4
22

xyb
第 1 页

此时，
x
3
x
4
=2
b
2
m
2
.
1
0
、当
b
2
 m
,即b=|m|时，交点为（0，b）或（0，-b）；

2
、当
bm
，即b≠|m|时，有
0
2 2
x
1
x
2
x
3
x
4
a
.
b
显然
1
0
是一种特殊情况，即直线L与两曲线C、C
'
交于一点， 此时
与求椭圆C的面积无影响，故可忽略；在情况
2
0
下，即椭圆C的弦长| MN|
与圆C
'
的弦长|PQ|比恒为定值
a
时，则当设椭圆C与圆 C
'
的面积分别为S、
b
S
'
时，由定理1得
b< br>2
=πab .
Saa
'
a
''2
=，又圆C的面积S=πb，故有 S =S=π
bb
S
'
b
所以椭圆C的面积公式为S =πab （其中a、b分别是椭圆的长半
轴、短半轴的长）.
注：
此法适应于类似夹在两条平 行直线间的平面图形，若被平行于两
平行直线的任一条直线所截得的线段长成相等比例，当已知线段长的 比值
时，则可利用定理1由一已知平面图形面积求另一平面图形面积.

定理2.若一平面图形M
'
是另一凸平面图形M的射影，且凸平面图
形M与射影平面图形 M
'
所成角为

, 则射影平面图形M
'
的面积与凸平
面图形M的面积比为cos

.
证明：设平面图形M
'
是平面图形M的射影 .1
0
当平面图形M是凸
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1
'
曲边行时，如图2，将平面图形M的边缘进行n+1等分， 设分 点分别为
A
1
、A
2
、A
3
、…、A
i< br>、A
i1
、
…、A
n
、A
n1
，它们分别在平
'
面图形M
'
上的射影为A< br>1
、A
'
2

…、A
i
'
、Ai
'
1
、…、A
'
n
、A
'
n1
,
则分别连结点A
1
、A
2
、A
3
、…
、A
i
、A
i1
、…、A
n
、A
n1
，然
后再将点A
1
分别与点 A
2
、A
3
、
…、A
i
、A
i1
、…、A
n
、A
n1
(图2)
连结得△A
1
A
2
A
3
、△A
1
A
3
A
4
、…△A
1
A
i
A
i1
、…、△A
1
A
n
A
n1
.显然
''
''
它们在平 面图形M
'
上的射影分别是对应的△A
1
A
'
2
A
3
、△A
1
A
3
A
'
4
、…、
''
△A
1
A
i
'
A
i
'
1
、…、△A
1
A
'
n
A
'
n1< br> 由于平面M与平面M
'
所成角为

，则
△A
1A
2
A
3
、△A
1
A
3
A
4
、…、△A
1
A
i
A
i1
、…、△A
1
A
n
A
n1
所在平
''''
''
面与 △A
1
A
'
2
A
3
、△A
1
A< br>3
A
'
4
、…、△A
1
A
i
'A
i
'
1
、…、△A
1
A
'
nA
'
n1
所
在平面所成角均为

，现分别记△A< br>1
A
2
A
3
、△A
1
A
3
A
4
、…、△
''
''
A
1
A
i
A
i1
、…、△A
1
A
n
A
n1
及 △A
1
A
'
2
A
3
、△A
1
A< br>3
A
'
4
、…、△
'''
A
1
A< br>i
'
A
i
'
1
、…、△A
1
A< br>'
n
A
'
n1
的面积为S
1
、S
2
、…、S
i
、…、S
n
及 S
1
、
S
'
2
、…、S
i
'
、…、S
'
n
. 则有S= S
1
con

、S
'
2
= S
2
con

、…、 S
i
'
=
S
i
con

、…、S
'
n
= S
n
cos

.
'
当分点无限增加时, 则S
1
、S
2
、…、S
i
、…、S
n
及S
1
、S
'
2
、…、
第 3 页

S
i
'
、…、S
'
n
的和就分别无限地接近凸曲边形M的面积和射影平面图形
M
'
的面积， 故有
'
S
'
=
lim
( S
1
+S
'
2
+…+S
i
'
+…+S
'
n
)
n
=
lim
( S
1
cos

+ S
2
cos

+… S
i
+cos

+…+S
n
cos

)
n
=
lim
( S
1
+S
2
+…+S
i
+…+S
n
) cos


n
=S cos

.

2
0
当平面图形M是凸多边形时，则在凸多边形M内取适当的点连结
出不重叠的三角形 ，仿上易证，故略 .
方法二
：我们知道，在一
圆柱上作一斜截面可得一椭圆面，
如图3. 设圆柱oo
1
的底面直径
A B
'
=2 b, 斜截面椭圆的长轴长
A B =2a, 椭圆面M
'
与圆柱底面
M所成角为

，将椭圆周n+1等
'
分，设其分点分别为P
1
、P
'
2
、…
、P
i
'
、P
i
'
1
、…、P
'n
、P
'
n1
, 在底 （图3）
面圆周上的 射影分别为P
1
、P
2
、…、P
i
、 P
i1
、…、P
n
、P
n1
,分别连结
''
点A、P
1
、P
'
2
；A、 P
'
2
、P
3
；、…；A、P
i
'
、P
i
'< br>1
；…;A 、 P
'
n
、P
'
n1
及
点A、P
1
、P
2
；A、P
2
、P
3；…；A、P
i
、P
i1
；…; A、P
n
、 P
n1
。设
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椭圆面的面积及圆柱底面面积分别为 S
'
、S，因为圆柱底面面积S
'
=

b
2
.
a
S
'
且 b =a cos

,则仿定理2可证 S= =

b
2
=

ab . 故椭圆的面
b
cos

积公式为 S=

ab . （其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.

注
：此法还适应于可展为平面图形的曲面图形与其射影平面图形间，
当已知一曲面图形形成的侧 面母线与其射影平面图形所成定角的大小时，
则可利用定理2由一已知图形面积求另一图形面积（如圆锥 、圆台的侧面
面积亦可由底面面积求得）.

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