短裤的英文单词-五角星的画法

一个新三角形面积公式
Sah
的拓展与应用

2009年的中考数学题中，出现了一类新的题型，它以抛物线为试题背景，采用点在抛
物线上运动为方 式，求坐标系下斜三角形面积的最大值。这类试题所涉及的知识面广，综合
强，能力要求高，并且与高中 的数学知识密切相关。这样的试题突出考查了初中数学的核心
内容和学生数学阅读理解能力、综合运用已 学知识解决问题的能力。能有效地考查出学生扎
实的基础和良好的数学学习能力。现以2009年的中考 题举例说明如下：
引例：（2009年益阳市中考题改编）

1
2
阅读材料： 如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的
三 条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的
这条直线在△ABC内部线段 的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得
出一种计算三角形面积的新方法：
S
ABC

于水平宽与铅垂高乘积的一半.
1
ah
，即三角形面 积等
2
11
ADhADh
2

ABCACD1
22
111

AD(h
1
h
2
)ADaah
（其中
h
1
、
h
2
是直线AD与外侧
222
证明：
SS
A BD
S
两直线之间的距离）
研究拓展：
我们如果把△ABC放到直角坐 标系中来研究（如图2），
设
A

x
A
,y
A
，
B

x
B
,y
B

，< br>C

x
C
,y
C

，
D

x
D
,y
D


则铅垂高：
h
ADy
A
y
D
，
水平宽：
ax
C
x
B

∴
S
ABC

11
ah

y
A
y
D

x
C
x
B


22
问题解决：
如图3，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点
A(3,0)，交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式；

(2)点P是抛物线(在第一象限内) 上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，
求△CAB的铅垂高CD及
S
CAB
；
(3)是否存在一点P，使S
△
PAB
=
理由.
解：(1)
y
1
(x1)4x2x3

22
9
S
△
CAB
，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明< br>8
y
2
x3

(2)CD＝4-2＝2
S
CAB

1
323
(平方单位)
2
(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△
PAB的铅垂高为h，
则铅垂高
hy
1
y
2
(x2x3)(x 3)x3x

由S
△
PAB
=
得：
229
S
△
CAB

8
19
3(x
2
3x)3

282
化简得：
4x12x90
，解得，
x
将
x
应用举例
3

2
3315
2
代入
y1
x2x3
中，解得P点坐标为
(,)

224
例1： (2009年四川省内江市)如图4所示，已知点A（－1，0），B（3，0 ），C（0，t），且
t＞0，tan∠BAC=3，抛物线经过A、B、C三点，点P（2，m）是抛 物线与直线
l:yk(x1)
的一个交点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）对于动点Q（1，n），求PQ+QB的最小值；
（3）若动点M在直线
l< br>上方的抛物线上运动，求△AMP的边AP上的高h的最大值。
解：（1） ∴
yx2x3
，∴
P(2,3)
。
∴直线AP
yx1
。
（2）顶点坐标
(1,4)
，对称轴直线
x1
，
2

∴连接AP交对称轴于Q，∴
Q(1,2)
。
（ 3）∵要求△APM边AP上高
h
最大，而AP是定值，所以只要求△APM最大即可， 22
∴铅垂高
MEy
M
y
E
(x2x3) (x1)xx2

水平宽
aAFx
P
x
A
2(1)3
，
∴
S
APM
13127

(x
2
x2) 3(x)
2

2228
1
时, △APM的面积最大时, △APM边AP上高
h
也最大。
2
119
∴铅垂高
ME2

424
9
∵△MEH是等腰直角三角形，∴
hMH2
。∴△AMP的边AP上的高h的最大 值
8
9
是
2
。
8
例2：（
2009年深 圳市）
如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将
∴当
x< br>线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A
、
O
、
B三点的抛物线的解析式；
（3） 在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求
出点C的坐标；若不存 在，请说明理由.
（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否 有最大
面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.
解：（1）B（1，
3
）
（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1,
3
2
23
xx

33
（3）如图，抛物线的对称 轴是直线x=—1，当点C位
于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最
小.
3
），得
a
3
，
3
因此
y
直线AB为
y
323
，
x
33
点C的坐标为（－1，
3
）.
（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D，

S
< br>
PAB
1
(y
D
y
P
)(x
B
x
A
)

2
2
3
3

x

)

3

1

3233
2
(x)(x

2

333


319
(x)
2
3

228
当< br>x
=－

13

93
1
,
时， △
PAB
的面积的最大值为，此时
P


2
< br>.
4
8
2

2
例3、（2009年江西省）如图 7，抛物线
yx2x3
与
x
轴相交于
A
、
B
两点（点
A
在
点
B
的左侧），与
y
轴相 交于点
C
，顶点为
D
.
（1）直接写出
A
、B
、
C
三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接
BC，与抛物线的对称轴交于点
E
，点
P
为线段
BC
上的一 个动点，过点
P
作
PF∥DE
交抛物线于点
F
，
设 点
P
的横坐标为
m
；
①用含
m
的代数式表示线段
PF
的长，并求出当
m
为何值
时，四边形
PEDF
为平行四边形？
②设
△BCF
的面积为
S
，求
S
与
m
的函数关系式.
解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）． ·················································· ····· 2分
抛物线的对称轴是：x=1． ······················· ·············································· 3分
（2）①直线BC的函数关系式为：
yx3
．
∴E（1，2）．∴P （m，

m+3）．∴
D

1

，4
< br>．
当
xm
时，
ym2m3，
∴
Fm，
m
2
2m3．
∴线段DE=4-2=2，线段
PF m2m3

m3

m3m

．
22
2

∵
PF∥DE，

∴当
PFED
时，四边形
PEDF
为平行四边形．
2< br>由
m3m2，
解得：
m
1
2，m
2
1
（不合题意，舍去）．
因此，当
m2
时，四边形
PEDF
为平行四边形．
1< br>(y
F
y
p
)(x
B
x
c
)

BCF
2
13
2
9
2

(m3m)3mm
（0≤
m
≤3）
222
②
S
例4、（2009年济南）已知：如图8，抛物线的对称轴为直线
x1，与
x
轴交于
A，B
两
点，与
y
轴交于点C，
其中
A

3，

0

、
C

0，2

．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得
△PBC
的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）若点
D
是线段
OC
上的一个动点（不与点O、点C重合）．过 点D作
DE∥PC
交
x

轴于点
E．
连接PD
、
PE
．设
CD
的长为
m
，
△P DE
的面积为
S
．求
S
与
m
之间的函数
关 系式．试说明
S
是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）
y
2
2
4
xx2

33
4
3
（2）对称轴直线
x1
，
P(1,)

（3）∵
DE∥PC
，∴铅垂高
PFDCm

2
,2

)
x2

D(0m
3
2
∴直线DE，
yxm2

3
33
∴
E(m3,0
），水平宽
OE3m

22
1
∴
S
PDE
(y
F
y
P
)(x
D
x
E
)

2
133333
(3m)mm
2
m(m1)
2


224244
3
当
m1
时，
S
存在最大值，最大值为。
4
∵直线AC，
y
例5、（2009年莆田市）已知，如图9抛物线yax3axc(a0)
与y轴交于C点，与
x轴交于A、B两点，A点在B点左 侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：
(3)若点E在 x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P
为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求 点P的坐标；若
不存在，请说明理由．
解：（1）∴
y
2
3
2
9
xx3

44

（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N。
直 线AC的解析式为，
y
∵
S
四边形ABCD
＝S

＝
ABC
3
x3

4
S
ACD

151151
(y
M
y
D
)(x
0
x
A
)
2222

339
x3(x
2
x3)
444

4


15

3
2
+

(x2 )6
2

2


27
。
2
∴ 当
x2
时，有最大值四边形ABCD面积有最大值
（3）解（略）

例6、.(2008 四川 广安)如图10，已知抛物线
yxbxc
经过点（1，-5）和（-2，4）
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）设此抛物线与直线
yx
相交于点A ，B（点B在点A的右侧），平行于
y
轴的直线
2
xm0m51与抛物线交于点M，与直线
yx
交于点N，交
x
轴于点P，求
线段MN的长（用含
m
的代数式表示）．
（3）在条件（2）的情况下，连接OM、 BM，是否存在
m
的值，使△BOM的面积S最大？
若存在，请求出
m
的值，若不存在，请说明理由．
（1）
yx2x4

22
（2）
NM(y
N
y
M
)m(m2m4)m3m 4


2
（3）
yx
与
yx2x4< br>的交点B的坐标为

4,4

.
2
∴
S
=
BOM
1


y
N
y
m

x
B
x
0

2
1


m
2
3m4


40


2
2
2
3

25

=
2m6m8
2

m



2

2

325
时，△BOM的面积S最大，最大值是。
22
1
运用上述新的三角形面积公式
Sah
(其中
a为水平宽，
h
为铅垂高)，进行解决有关
2
抛物线背景下斜三角形的面积 问题，它有独到之处，只要找到斜三角形中的水平宽
a
和铅垂
∴当
m
高
h
，运用公式
S



1
ah
列出等量关系，使问题得到解决。
2